2021-2022学年下学期北京初中数学八年级期中典型试卷2（含答案）

这是一份2021-2022学年下学期北京初中数学八年级期中典型试卷2（含答案），共35页。
2021-2022学年下学期北京初中数学八年级期中典型试卷2
一．选择题（共10小题）
1．（2020春•大兴区期末）为了加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康，2020年5月1日起，北京市实施《北京市生活垃圾管理条例》．如图分别是厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2010•嘉兴）在直角坐标系中，点（2，1）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2021•沈阳）一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2020春•丰台区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（　　）

A． B．3 C． D．2
5．（2021春•武安市期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2021春•长清区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．AO＝DO B．CD＝AB
C．∠BAD＝∠BCD D．AD∥BC，且AD＝BC
7．（2021春•大兴区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝2，则四边形OCED的周长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021•商河县校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（0，﹣1），C（3，0）．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，所有符合条件的D点坐标是（　　）

A．（﹣3，0） B．（3，﹣2），（﹣3，0）
C．（3，2），（3，﹣2） D．（﹣3，0），（3，﹣2），（3，2）
9．（2021春•雨花区期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．125.6（1﹣x）2＝130 B．125.6（1+2x）＝130
C．130（1﹣x）2＝125.6 D．125.6（1+x）2＝130
10．（2021春•西城区校级期中）等腰三角形的一边长是4，方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根是三角形的两边长，则m为（　　）
A．7 B．8 C．4 D．7或8
二．填空题（共6小题）
11．（2019•锦州）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（2021春•昌平区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠D＝　 　．
13．（2021春•东城区期中）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，这个菱形的面积是　 　．
14．（2021春•宁阳县期末）方程x2﹣2x﹣5＝0配方后可化为　 　．
15．（2021春•海淀区校级期中）已知在三角形ABC中，AB＝13，AC＝，AD为BC边上的高，且AD＝5，则BC＝　 　．
16．（2021春•海淀区校级期中）如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：
（1）测量得出AC的中点E；
（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；
（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是 　 　．

三．解答题（共9小题）
17．（2021春•大兴区期中）计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣1．
18．（2021春•饶平县校级期末）计算：（）÷．
19．（2021春•西城区校级期中）计算题：
（1）；
（2）．
20．（2021春•永嘉县校级期中）解方程：
（1）4x2＝16．
（2）x2﹣3x＝0．
（3）x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．
（4）x2+x＝1（用公式法）．
21．（2021春•昌平区校级期中）下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程：
求作：菱形ABCD作法：
①作线段AC；
②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；
④连接AB、BC、CD、DA，所以四边形ABCD为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形　 　（填推理的依据）．

22．（2021春•昌平区校级期中）已知：直线l图象如图所示：
（1）点A的坐标为　 　；
（2）点B的坐标为　 　；
（3）求直线l的解析式．

23．（2021•湖里区校级二模）列方程解应用题：
口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2021年某厂家口罩产量由1月份的125万只增加到3月份的180万只．该厂家口罩产量的月平均增长率是多少？
24．（2019春•延庆区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形AEFD的面积．

25．（2021春•海淀区校级期中）数学上，把一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．平行的一组对边叫做梯形的底，短的称为上底，长的称为下底；另一组不平行的对边叫做梯形的腰．连接两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为两腰AB和DC的中点，连接EF，则EF为梯形ABCD的中位线．
（1）经观察和测量你能发现EF和两底AD、BC的关系是 　 　；
（2）请用你所学过的知识证明你的结论．
（3）利用你所发现的结论解决问题：
已知如图2，直线n为平行四边形ABCD外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作垂线段BE、AF、CG和DH，则线段BE、AF、CG和DH的数量关系是 　 　．


2021-2022学年下学期北京初中数学八年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020春•大兴区期末）为了加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康，2020年5月1日起，北京市实施《北京市生活垃圾管理条例》．如图分别是厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
2．（2010•嘉兴）在直角坐标系中，点（2，1）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【解答】解：因为点P（2，1）的横坐标是正数，纵坐标也是正数，所以点在平面直角坐标系的第一象限．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中四个象限的点的坐标的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
3．（2021•沈阳）一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用．
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1，k＝﹣3，b＝1，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
4．（2020春•丰台区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（　　）

A． B．3 C． D．2
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝3即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
5．（2021春•武安市期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】二次根式的定义．
【专题】二次根式；符号意识．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的性质得出n的最小值．
【解答】解：∵＝2是整数，
∴正整数n的最小值是：7．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
6．（2021春•长清区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．AO＝DO B．CD＝AB
C．∠BAD＝∠BCD D．AD∥BC，且AD＝BC
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，AD＝BC，AD∥BC，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
7．（2021春•大兴区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝2，则四边形OCED的周长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【分析】根据矩形的性质可求解OC的长，再利用菱形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∵AC＝2，
∴OC＝1，
∵四边形ABCD为菱形，
∴菱形OCED的周长为4•OC＝4×1＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查矩形的性质，菱形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
8．（2021•商河县校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（0，﹣1），C（3，0）．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，所有符合条件的D点坐标是（　　）

A．（﹣3，0） B．（3，﹣2），（﹣3，0）
C．（3，2），（3，﹣2） D．（﹣3，0），（3，﹣2），（3，2）
【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观．
【分析】因为点D与A，B，C三点构成平行四边形，所以需分情况讨论：因为A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），利用平行四边形的对边分别平行且相等，若AD∥BC，AD＝BC＝2，则符合条件的点D的坐标分别是D1（3，2）；若平行四边形是ABDC，则对角线AD、BC互相平分，所以D2（3，﹣2），D3（﹣3，0）．
【解答】解：如图所示，符合条件的点D的坐标分别是D1（﹣3，0）．
D2（3，2），D3（3，﹣2），
故选：D．

【点评】本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的判定是解决问题的关键．
9．（2021春•雨花区期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．125.6（1﹣x）2＝130 B．125.6（1+2x）＝130
C．130（1﹣x）2＝125.6 D．125.6（1+x）2＝130
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设年平均增长率为x，由题意得等量关系：2018年销量×（1+增长率）2＝2020年销量，根据等量关系列出方程．
【解答】解：设年平均增长率为x，可列方程为：
125.6（1+x）2＝130，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
10．（2021春•西城区校级期中）等腰三角形的一边长是4，方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根是三角形的两边长，则m为（　　）
A．7 B．8 C．4 D．7或8
【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质；一元二次方程的解．
【专题】分类讨论；一元二次方程及应用；三角形；运算能力．
【分析】由于一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是关于x的方程x2﹣6x+m+1＝0的两根，有两种情况：
①当腰长为4时，直接把x＝4代入原方程即可求出m的值，然后求出方程的另一根，即可判断能否构成三角形；
②当底边为4时，那么x的方程x2﹣6x+m+1＝0的两根是相等的，利用判别式为0即可求出m的值，然后就可以求出方程的解，即可判断能否构成三角形．
【解答】解：∵一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根，
①当腰长为4时，把x＝4代入原方程得
16﹣24+m+1＝0，
∴m＝7，
∴原方程变为：x2﹣6x+8＝0，
设方程的另一个根为a，
则4+a＝6，
∴a＝2，
∴能构成三角形；

②当底边为4时，那么x的方程x2﹣6x+m+1＝0的两根是相等的，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（m+1）＝0，
∴m＝8，
∴方程变为x2﹣6x+9＝0，
∴方程的两根相等为x1＝x2＝3，
∴能构成三角形．
综上，m的值是7或8，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解的定义和等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到方程的解，把方程的解代入原方程即可求出待定字母的取值即可解决问题．
二．填空题（共6小题）
11．（2019•锦州）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥1　．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（2021春•昌平区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠D＝　60°　．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由平行四边形的性质得出∠A+∠B＝180°，再由已知条件∠A＝2∠B，即可得出∠B的度数，进而可求出∠D的度数．
【解答】解：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝2∠B，
∴2∠B+∠B＝180°，
解得：∠B＝60°，
∴∠D＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13．（2021春•东城区期中）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，这个菱形的面积是　20　．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为5和8，
∴这个菱形的面积＝×5×8＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了菱形的性质，是基础题，菱形利用对角线求面积的方法需熟记．
14．（2021春•宁阳县期末）方程x2﹣2x﹣5＝0配方后可化为　（x﹣1）2＝6　．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x+1＝6，
∴（x﹣1）2＝6，
故答案为：（x﹣1）2＝6．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
15．（2021春•海淀区校级期中）已知在三角形ABC中，AB＝13，AC＝，AD为BC边上的高，且AD＝5，则BC＝　7或17　．
【考点】勾股定理．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】结合题意，画出图形，高AD可能在形内，也可能在形外，分别求解
【解答】解：当高AD在△ABC内部时，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
BD＝，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
CD＝，
∴BC＝BD+DC＝17，

当高AD在△ABC外部时

由上面解答可知BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7，
故答案为：7或17．
【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理，解决本题的关键是对高在形内还是形外进行分类．
16．（2021春•海淀区校级期中）如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：
（1）测量得出AC的中点E；
（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；
（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是 　有一个角是直角的平行四边形为矩形　．

【考点】矩形的判定；平行四边形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】先证四边形ABD是平行四边形，再由∠ABC＝90°，即可得出结论．
【解答】解：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵ED＝BE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，
故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，熟记“有一个角是直角的平行四边形为矩形”是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．（2021春•大兴区期中）计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+1﹣3
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（2021春•饶平县校级期末）计算：（）÷．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（3﹣6×）÷×（﹣2）
＝（3﹣2）÷×（﹣2）
＝÷×（﹣2）
＝1×（﹣2）
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19．（2021春•西城区校级期中）计算题：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+3﹣
＝+；
（2）原式＝﹣
＝3﹣1
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（2021春•永嘉县校级期中）解方程：
（1）4x2＝16．
（2）x2﹣3x＝0．
（3）x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．
（4）x2+x＝1（用公式法）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
（3）利用配方法解方程；
（4）利用公式法解方程．
【解答】解：（1）4x2＝16，
两边除以4得：x2＝4，
两边开平方得：x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3；
（3）x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
（4）∵x2+x﹣1＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．（2021春•昌平区校级期中）下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程：
求作：菱形ABCD作法：
①作线段AC；
②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；
④连接AB、BC、CD、DA，所以四边形ABCD为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形　对角线互相垂直的平行四边形为菱形　（填推理的依据）．

【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，然后利用对角线垂直可判断四边形ABCD为菱形．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD为所作；

（2）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）．
故答案为四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AC，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．
22．（2021春•昌平区校级期中）已知：直线l图象如图所示：
（1）点A的坐标为　（﹣3，﹣1）　；
（2）点B的坐标为　（1，3）　；
（3）求直线l的解析式．

【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）（2）根据点的坐标的表示方法求解；
（3）利用待定系数法求直线l的解析式．
【解答】解：（1）A点坐标为（﹣3，﹣1）；
（2）B点坐标为（1，3）；
故答案为（﹣3，﹣1）；（1，3）；
（3）设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣3，﹣1），B（1，3）分别代入得，解得，
∴直线l的解析式为y＝x+2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求正比例函数，只要一对的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
23．（2021•湖里区校级二模）列方程解应用题：
口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2021年某厂家口罩产量由1月份的125万只增加到3月份的180万只．该厂家口罩产量的月平均增长率是多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“1月份的125万只增加到3月份的180万只”，列出方程即可得出答案．
【解答】解：从1月份到3月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，
根据题意可得：125（1+x）2＝180，
解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：该厂家口罩产量的月平均增长率是20%．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
24．（2019春•延庆区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形AEFD的面积．

【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF （HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，根据等腰三角形的性质得到AO＝AC＝2，AB＝4，BO＝2于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴BC＝EF，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF （HL），
∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC＝4，
∴AO＝AC＝2，AB＝4，BO＝2，
∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×4×4＝8．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
25．（2021春•海淀区校级期中）数学上，把一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．平行的一组对边叫做梯形的底，短的称为上底，长的称为下底；另一组不平行的对边叫做梯形的腰．连接两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为两腰AB和DC的中点，连接EF，则EF为梯形ABCD的中位线．
（1）经观察和测量你能发现EF和两底AD、BC的关系是 　EF＝（AD+BC），EF∥AD∥BC　；
（2）请用你所学过的知识证明你的结论．
（3）利用你所发现的结论解决问题：
已知如图2，直线n为平行四边形ABCD外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作垂线段BE、AF、CG和DH，则线段BE、AF、CG和DH的数量关系是 　AF+CG＝BE+DH．　．

【考点】四边形综合题．
【专题】综合题；推理能力．
【分析】（1）观察和测量，直接得出结论；
（2）连接AF，并延长交BC的延长线于N，判断出△ADF≌△NCF（AAS），进而判断出EF是△ABN的中位线，即可得出结论；
（3）连接AC，BD交于点O，过点O作OM⊥n于M，由（1）的结论，即可得出结论．
【解答】解：（1）由观察和测量得，EF＝（AD+BC），EF∥AD∥BC，
故答案为EF＝（AD+EF），EF∥AD∥BC；

（2）如图（1），连接AF，并延长交BC的延长线于N，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠N，∠D＝∠NCF，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF和△NCF中，，
∴△ADF≌△NCF（AAS），
∴AD＝CN，AF＝NF，
∴点F是AN的中点，
∵点E是AB的中点，
∴EF是△ABN的中位线，
∴EFBC，
∵BN＝BC+CN＝BC+AD，
∴EF＝（AD+BC），EF∥AD∥BC；

（3）如图（2），
连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
过点O作OM⊥n于M，
∵AF⊥n，CG⊥n，
∴AF∥OM∥CG，
∴FM＝GM，
∴OM是梯形AFGC的中位线，
∴OM＝（AF+CG），
同理：OM＝（BE+DH），
∴（AF+CG）＝（DE+DH），
∴AF+CG＝BE+DH，
故答案为AF+CG＝BE+DH．


【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，判断出EF是△ABN的中位线时解本题的关键．

考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
3．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
4．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；

学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
5．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
7．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
8．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
9．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
10．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
11．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
13．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
14．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
15．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
16．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
17．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
18．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
19．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
20．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
21．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
22．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
23．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
24．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
25．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
26．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
27．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
28．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
29．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
30．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
31．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

32．四边形综合题
四边形综合题．
33．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
34．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．