2021-2022学年下学期北京初中数学八年级期中典型试卷1（含答案）

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2021-2022学年下学期北京初中数学八年级期中典型试卷1
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•和平区期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝1，c＝ B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝1，b＝，c＝2 D．a＝3，b＝4，c＝
2．（2021春•西城区校级期中）下列方程中，一元二次方程是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x﹣2y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．
3．（2020春•朝阳区期末）若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（　　）
A．60 B．30 C．24 D．15
4．（2021春•曲阜市期末）下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2019•德保县模拟）已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2019春•顺义区期末）方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝5 B．x＝2 C．x＝5或x＝2 D．x＝1或x＝2
7．（2021春•曲阜市期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．AC＝BD B．∠DAB＝90°
C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°
8．（2019•河东区一模）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．10
二．填空题（共8小题）
9．（2014春•天津期末）二次根式有意义的条件是　 　．
10．（2009•大连）计算：（）（）＝　 　．
11．（2019•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件　 　，使平行四边形ABCD是矩形．

12．（2021春•西城区校级期中）方程（x﹣4）（x﹣5）＝0的解为　 　．
13．（2021春•昌平区校级期中）点B（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是　 　．
14．（2021春•昌平区校级期中）如图，为估计池塘两岸边A、B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC、BC的中点D、E，测得DE＝15m，则A、B两点间的距离是　 　．

15．（2019春•大兴区期末）一次函数y＝ax+b的图象如图，则不等式ax+b＞0的解集为　 　．

16．（2016•睢宁县一模）关于x的方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实根，则m＝　 　．
三．解答题（共10小题）
17．（2021春•海淀区校级期中）计算：
（1）（3.14﹣π）0﹣|2﹣|﹣（）﹣1；
（2）﹣×+．
18．（2021秋•芝罘区期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CB＝15，BD＝9．求AD与△ABC的面积．

19．（2021春•大兴区期中）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，AB＝8，求BC的长．

20．（2021春•大兴区期中）△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a：b：c＝1：：2，试判断△ABC的形状并说明理由．
21．（2020春•丰台区期末）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD是平行四边形．
求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
所以四边形ABEF为所求的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB，
∴　 　＝　 　．
在▱ABCD中，AD∥BC，
即AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形． （　 　）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为菱形．（　 　）（填推理的依据）

22．（2021•重庆模拟）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．

23．（2009•永州）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECF是平行四边形．

24．（2021春•辛集市期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：
（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；
（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；
（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．

25．（2021春•东城区期中）直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝ax+1（a≠0）相交于点A（1，3）．
（1）求直线l2的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记直线l1，直线l2，和x轴围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝﹣3时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整点个数恰好为3个，求k的取值范围．

26．（2021春•东城区期中）阅读下列材料：
小明同学遇到了这样一个问题：如图1，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分．
小明是这样思考的：数学课上曾经做过一道类似的题目，如图2，O是边长为a的正方形ABCD的对角线的交点，将以点O为顶点的直角绕点O旋转，且两直角边分别与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比解决此问题．
参考小明同学的想法，解答问题：
（1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为　 　；
（2）请你在图3中，解决原问题：
（3）如图4，在四边形AOCD中，A（0，1），C（4，0），D（4，3），点P是AD的中点，在边OC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形AOCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，并直接写出该直线的表达式．


2021-2022学年下学期北京初中数学八年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•和平区期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝1，c＝ B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝1，b＝，c＝2 D．a＝3，b＝4，c＝
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵12+12＝（）2，
∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵32+（）2＝42，
∴以3，4，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
2．（2021春•西城区校级期中）下列方程中，一元二次方程是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x﹣2y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．
【考点】一元二次方程的一般形式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．属于一元二次方程，符合题意；
B．属于二元二次方程，不符合题意；
C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；
D．属于分式方程，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
3．（2020春•朝阳区期末）若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（　　）
A．60 B．30 C．24 D．15
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
【解答】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：S＝×10×6＝30．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．
4．（2021春•曲阜市期末）下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的概念．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【分析】根据函数的定义解答即可．
【解答】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
5．（2019•德保县模拟）已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】模型思想．
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小
∴k＜0
又∵kb＜0
∴b＞0
∴此一次函数图象过第一，二，四象限．
故选：A．
【点评】熟练掌握一次函数的性质．k＞0，图象过第1，3象限；k＜0，图象过第2，4象限．b＞0，图象与y轴正半轴相交；b＝0，图象过原点；b＜0，图象与y轴负半轴相交．
6．（2019春•顺义区期末）方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝5 B．x＝2 C．x＝5或x＝2 D．x＝1或x＝2
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题；一元二次方程及应用．
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵（x﹣2）2＝3（x﹣2），
∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，
∴x＝2或x＝5，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型、
7．（2021春•曲阜市期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．AC＝BD B．∠DAB＝90°
C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°
【考点】矩形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】首先证出四边形ABCD是平行四边形，再分别对各个选项分别进行判定是不是矩形即可．
【解答】解：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，
故选项A不符合题意；
若∠DAB＝90°，则四边形ABCD是矩形，
故选项B不符合题意；
若AB＝AD，则四边形ABCD是菱形，
故选项C符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，
若∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
则四边形ABCD是矩形，
故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，关键是熟练掌握矩形的判定定理．
8．（2019•河东区一模）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．10
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接BM，

∵点B和点D关于直线AC对称，
∴NB＝ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的边长是8，DM＝2，
∴CM＝6，
∴BM＝＝10，
∴DN+MN的最小值是10．
故选：D．
【点评】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
二．填空题（共8小题）
9．（2014春•天津期末）二次根式有意义的条件是　x≥　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意得 2x﹣1≥0，
解得 x≥．
故答案是：x≥．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（2009•大连）计算：（）（）＝　2　．
【考点】二次根式的乘除法；平方差公式．
【分析】直接利用平方差公式解题即可．
【解答】解：（）（）＝（）2﹣1＝3﹣1＝2．
【点评】本题考查学生利用平方差公式进行实数的运算能力，既要掌握数学中常用的平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），还要掌握无理数乘方的运算规律．
11．（2019•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件　∠ABC＝90°或AD⊥AB　，使平行四边形ABCD是矩形．

【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”填空．
【解答】解：添加条件：∠ABC＝90°或AD⊥AB（答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）．
故答案是：∠ABC＝90°．
【点评】考查了矩形的判定，平行四边形的性质．矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）．
12．（2021春•西城区校级期中）方程（x﹣4）（x﹣5）＝0的解为　x1＝4，x2＝5　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】直接利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：∵（x﹣4）（x﹣5）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝4，x2＝5；
故答案为：x1＝4，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
13．（2021春•昌平区校级期中）点B（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是　（2，3）　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】直接利用关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：点B（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
14．（2021春•昌平区校级期中）如图，为估计池塘两岸边A、B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC、BC的中点D、E，测得DE＝15m，则A、B两点间的距离是　30m　．

【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；运算能力．
【分析】根据三角形中位线定理得出DE＝AB，再求出答案即可．
【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE＝AB，
即AB＝2DE，
∵DE＝15m，
∴AB＝30（m），
故答案为：30m．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
15．（2019春•大兴区期末）一次函数y＝ax+b的图象如图，则不等式ax+b＞0的解集为　x＞1　．

【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】数形结合．
【分析】观察函数图象得到当x＞1时，一次函数图象在x轴上方，即y＝ax+b＞0．
【解答】解：当x＞1时，y＞0，即ax+b＞0．
故答案为x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．（2016•睢宁县一模）关于x的方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实根，则m＝　±4　．
【考点】根的判别式．
【专题】探究型．
【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出Δ＝0即可得到关于m的方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×4＝0，解得m＝±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查的是根的判别式，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键．
三．解答题（共10小题）
17．（2021春•海淀区校级期中）计算：
（1）（3.14﹣π）0﹣|2﹣|﹣（）﹣1；
（2）﹣×+．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算；
（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣（2﹣）﹣3
＝1﹣2+﹣3
＝﹣4；
（2）原式＝﹣+3
＝2﹣+3
＝4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（2021秋•芝罘区期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CB＝15，BD＝9．求AD与△ABC的面积．

【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；运算能力．
【分析】利用勾股定理求得CD的长度，再次利用勾股定理可求得AD的长度，从而结合三角形的面积公式可求△ABC的面积．
【解答】解：∵CD⊥AB于点D，CB＝15，BD＝9，
∴CD＝
＝
＝12，
∵AC＝20，
∴AD＝
＝
＝16，
∴S△ABC＝AB•CD
＝（AD+BD）•CD
＝×（16+9）×12
＝150．
【点评】本题主要考查三角形的面积，勾股定理，解答的关键是利用勾股定理求得CD的长与AD的长．
19．（2021春•大兴区期中）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，AB＝8，求BC的长．

【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】直接根据勾股定理求出BC的长即可；
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，
∴BC＝＝＝＝2．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
20．（2021春•大兴区期中）△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a：b：c＝1：：2，试判断△ABC的形状并说明理由．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】根据勾股定理的逆定理即可得到△ABC为直角三角形．
【解答】解：△ABC是直角三角形．
理由：
∵a：b：c＝1：：2，
∴设a＝k，b＝k，c＝2k，
∵，c2＝4k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查勾股定理与其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
21．（2020春•丰台区期末）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD是平行四边形．
求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
所以四边形ABEF为所求的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB，
∴　AF　＝　BE　．
在▱ABCD中，AD∥BC，
即AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形． （　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为菱形．（　邻边相等的四边形是菱形　）（填推理的依据）

【考点】作图—复杂作图；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【专题】作图题；应用意识．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．
【解答】（1）解：菱形ABEF即为所求．


（2）证明：∵AF＝AB，BE＝AB，
∴AF＝BE，
在▱ABCD中，AD∥BC，
即AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形． （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为菱形．（邻边相等的四边形是菱形）
故答案为：AF＝BE，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的四边形是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（2021•重庆模拟）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．

【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE∥BC，推出四边形BCED是平行四边形，得到CE＝BD．根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到．根据平行四边形的周长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴CE＝BD．
∵CE＝AC，
∴AC＝BD．
∴▱ABCD是矩形；
（2）解：∵AB＝4，AD＝3，∠DAB＝90°，
∴．
∵四边形BCED是平行四边形，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（3+5）＝16．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
23．（2009•永州）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECF是平行四边形．

【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵BE＝DF，∴OE＝OF．
∴四边形AECF为平行四边形．

【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
24．（2021春•辛集市期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：
（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；
（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；
（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．

【考点】作图—应用与设计作图；矩形的性质．
【专题】作图题；应用意识．
【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质即可得到结论；
（3）根据正方形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，矩形ABCD即为所求；
（2）如图2，平行四边形ABCSD即为所求；
（3）如图3，正方形ABCD即为所求．

【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
25．（2021春•东城区期中）直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝ax+1（a≠0）相交于点A（1，3）．
（1）求直线l2的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记直线l1，直线l2，和x轴围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝﹣3时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整点个数恰好为3个，求k的取值范围．

【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数图象与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）①当k＝﹣3时代入点A坐标即可求出直线解析式，进而分析出整点个数；
②当l1 绕点A旋转至经过点（2，1）时，当l1 绕点A旋转至经过点（2，2）时，当l1 绕点A旋转至经过点（﹣3，1）时，当l1 绕点A旋转至经过点（﹣2，1）时，然后把这些边界点代入确定k的值，即可求得k的取值范围．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝ax+1过点A（1，3）．
∴a＝2，
∴直线l2为y＝2x+1．
（2）①当k＝﹣3时，y＝﹣3x+b，把A（1，3）代入得3＝﹣3+b，
解得：b＝6，
∴y＝﹣3x+6，
如图，区域W内的整点个数为2个；

②当l1 绕点A旋转至经过点（2，1）时，
此时满足，
解得：，
当l1 绕点A旋转至经过点（2，2）时，
此时满足，
解得：，
∴当﹣2＜k≤﹣1时，区域W内的整点个数恰好为3个；
当l1 绕点A旋转至经过点（﹣3，1）时，
此时满足，
解得：，
当l1 绕点A旋转至经过点（﹣2，1）时，
此时满足，
解得：，
∴当≤k＜时，区域W内的整点个数恰好为3个；
综上所述，k的取值范围是﹣2＜k≤﹣1或≤k＜．
【点评】此题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，会运用边界点分析问题是解题的关键．
26．（2021春•东城区期中）阅读下列材料：
小明同学遇到了这样一个问题：如图1，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分．
小明是这样思考的：数学课上曾经做过一道类似的题目，如图2，O是边长为a的正方形ABCD的对角线的交点，将以点O为顶点的直角绕点O旋转，且两直角边分别与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比解决此问题．
参考小明同学的想法，解答问题：
（1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为　a2　；
（2）请你在图3中，解决原问题：
（3）如图4，在四边形AOCD中，A（0，1），C（4，0），D（4，3），点P是AD的中点，在边OC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形AOCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，并直接写出该直线的表达式．

【考点】一次函数综合题．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力；应用意识．
【分析】（1）证明△EOB≌△FOC从而S△EOB＝S△FOC，重叠部分（即阴影部分）的面积为S△BOF+S△EOB＝S△BOF+S△FOC＝S△BOC，且S△BOC＝S△ABC＝×a2＝a2，即可得到答案；
（2）连接AC、BD交于O，作直线OM交AD、BC于G、F，过O作EH⊥OM，交AB、CD于E、H，直线GF、EH即为满足条件的直线；
（3）连接OP并延长交CD延长线于E，在CO上取CQ，使CQ＝DE，连接PQ，则直线CQ即为所求直线，求出P、Q坐标，即可得解析式．
【解答】解：（1）如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝90°﹣∠BOF＝∠FOC，
在△EOB和△FOC中，
，
∴△EOB≌△FOC（ASA），
∴S△EOB＝S△FOC，
∴重叠部分（即阴影部分）的面积为S△BOF+S△EOB＝S△BOF+S△FOC＝S△BOC，
而正方形ABCD的边长为a，
∴S△BOC＝S△ABC＝×a2＝a2，
∴重叠部分（即阴影部分）的面积为a2，
故答案为：a2；
（2）连接AC、BD交于O，作直线OM交AD、BC于G、F，过O作EH⊥OM，交AB、CD于E、H，如图：

由（1）知S四边形OEBF＝a2，
同理可得S四边形AEOG＝S四边形DGOH＝S四边形CHOF＝a2，
∴S四边形OEBF＝S四边形AEOG＝S四边形DGOH＝S四边形CHOF＝a2，
∴直线GF、EH即为满足条件的直线；
（3）连接OP并延长交CD延长线于E，在CO上取CQ，使CQ＝DE，连接PQ，则直线CQ即为所求直线，如图：

过P作PM⊥OC于M，PN⊥CD于N，
∵A（0，1），C（4，0），D（4，3），点P是AD的中点，
∴P（2，2），CD∥OA，PA＝PD①，
∴∠EDP＝∠OAP②，
设直线OP解析式为y＝mx，将P（2，2）代入得：
2＝2m，解得m＝1，
∴直线OP解析式为y＝x，
令x＝4得y＝4，
∴E（4，4），
∴DE＝1，
∴DE＝OA③，
由①②③可得：△AOP≌△DEP（SAS），
∴S△AOP＝S△DEP，
∴S四边形AOCD＝S△EOC，
∵点P是AD的中点，
∴S△POC＝S△EPC＝S△EOC＝S四边形AOCD，
∵P（2，2），C（4，0），PM⊥OC于M，PN⊥CD于N，
∴PM＝2＝PN，
又DE＝OA＝CQ，
∴S△DEP＝S△CPQ，
∴S△CPQ＝S△DEP＝S△AOP，
∴S四边形AOQP＝S△AOP+S△POQ＝S△CPQ+S△POQ＝S△POC＝S四边形AOCD，
∴PQ所在直线将四边形AOCD的面积分成相等的两部分，
∵C（4，0），CF＝OA＝1，
∴Q（3，0），
设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（2，2），Q（3，0）代入得：
，解得，
∴PQ解析式为y＝﹣2x+6．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定、性质，一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握正方形的中心对称性．

考点卡片
1．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
2．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
3．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
4．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
5．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）

规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
8．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
9．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
10．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
12．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
13．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
14．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
15．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
16．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
17．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
19．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
20．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

21．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
22．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
23．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
24．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
25．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
26．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
27．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

28．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
29．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
30．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
31．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．