2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷2（含答案）

这是一份2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷2（含答案），共43页。

2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷2
一．选择题（共8小题）
1．（2020•绍兴）实数2，0，﹣2，中，为负数的是（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．
2．（2020•绍兴）某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.202×1010 B．2.02×109 C．20.2×108 D．2.02×108
3．（2017•朝阳区一模）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．棱柱 B．圆锥 C．球 D．圆柱
4．（2017•朝阳区一模）一个试验室在0：00﹣4：00的温度T（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系的图象如图所示，在0：00﹣2：00保持恒温，在2：00﹣4：00匀速升温，则开始升温后试验室每小时升高的温度为（　　）

A．5℃ B．10℃ C．20℃ D．40℃
5．（2021春•丰台区校级月考）右图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．长方体 B．正方体 C．三棱锥 D．三棱柱
6．（2020•张店区一模）如果x﹣3y＝0，那么代数式的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．3
7．（2021春•海淀区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若DE+BF＝8，则BF的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2015•北京）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型
办卡费用（元）
每次游泳收费（元）
A 类
50
25
B 类
200
20
C 类
400
15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20＝550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（　　）
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
二．填空题（共8小题）
9．（2021•西城区校级模拟）如图，在▱ABCD中，BC＝9，AB＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为　 　．

10．（2021•西城区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝3，则BC的长为　 　．

11．（2021春•东城区校级月考）在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则sinA的值为　 　．
12．（2017秋•西城区期末）如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝　 　．

13．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝　 　．

14．（2021•朝阳区模拟）如图所示的正方形网格中，A，B，C是网格线交点，∠CAB的度数为　 　．

15．（2020•澄海区一模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为　 　．
16．（2021春•丰台区校级月考）小周自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、55元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，小周对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，小周会得到支付款的80%．
（1）当x＝6时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付　 　元；
（2）在促销活动中，为保证小周每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为　 　．
三．解答题（共10小题）
17．（2017•北京）计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．
18．（2021春•海淀区校级月考）解不等式组．
19．（2021春•东城区校级月考）已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根均大于2，求m的取值范围．
20．（2021春•东城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），C（0，4）．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）横纵坐标均为偶数的点称为偶点，比如E（2，4）．反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）与线段BM，BN围成的图形记为G．求图形G（包含边界）内偶点的个数．

21．（2021•聊城一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：▱ABCD是矩形；
（2）若AD＝2，cos∠ABE＝，求AC的长．

22．（2020•石景山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

23．（2019•石景山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣1，6），直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求k，m的值；
（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数的图象于点D．
①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；
②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

24．（2019•丰台区一模）如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．
（1）求证：GC∥AE；
（2）若sin∠EAB＝，OD＝，求AE的长．

25．（2021•西城区校级模拟）如图所示，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为边BC上动点（不含端点），点B关于直线AE的对称点为点F，点G为DF中点，连接AG．
（1）依题意，补全图形；
（2）点E运动过程中，是否可能EF∥AG？若可能，求BE长；若不可能，请说明理由；
（3）连接CG，点E运动过程中，直接写出CG的最小值．

26．（2021•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“极好菱形”．如图为点A，C的“极好菱形”的一个示意图．
已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）．
（1）点E（2，1），F（1，3），G（4，0）中，能够成为点M，P的“极好菱形”的顶点的是　 　；
（2）如果四边形MNPQ是点M，P的“极好菱形”．
①当点N的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ的面积；
②当四边形MNPQ的面积为8，且与直线y＝x+b有公共点时，写出b的取值范围．


2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2020•绍兴）实数2，0，﹣2，中，为负数的是（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．
【考点】实数．
【专题】实数；数感．
【分析】根据负数定义可得答案．
【解答】解：实数2，0，﹣2，中，为负数的是﹣2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数，关键是掌握负数定义．
2．（2020•绍兴）某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.202×1010 B．2.02×109 C．20.2×108 D．2.02×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：2020000000＝2.02×109，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2017•朝阳区一模）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．棱柱 B．圆锥 C．球 D．圆柱
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：根据俯视图和左视图为矩形是柱体，根据主视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选：D．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
4．（2017•朝阳区一模）一个试验室在0：00﹣4：00的温度T（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系的图象如图所示，在0：00﹣2：00保持恒温，在2：00﹣4：00匀速升温，则开始升温后试验室每小时升高的温度为（　　）

A．5℃ B．10℃ C．20℃ D．40℃
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数图象，用2时至4时升高的温度除以时间即可得．
【解答】解：由函数图象知t＝2时，温度T＝20℃，当t＝4时，温度T＝40℃，
∴开始升温后试验室每小时升高的温度为＝10（℃），
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象的性质，解决本题的关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
5．（2021春•丰台区校级月考）右图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．长方体 B．正方体 C．三棱锥 D．三棱柱
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据三视图的形状可以判断成该几何体的形状．
【解答】解：下面的这个几何体的三视图与所给的三视图相同，

因此这个几何体是三棱柱，
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
6．（2020•张店区一模）如果x﹣3y＝0，那么代数式的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．3
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x＝3y代入化简可得．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
∵x﹣3y＝0，
∴x＝3y，
则原式＝＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
7．（2021春•海淀区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若DE+BF＝8，则BF的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据直角三角形的性质得到BF＝AC，根据三角形中位线定理得到DE＝AC，根据题意计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点F是边CA的中点，
则BF＝AC，
∵点D、E分别是边AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC，
∴DE＝BF，
∵DE+BF＝8，
∴BF＝4，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（2015•北京）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型
办卡费用（元）
每次游泳收费（元）
A 类
50
25
B 类
200
20
C 类
400
15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20＝550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（　　）
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
【考点】一次函数的应用．
【分析】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA＝50+25x，yB＝200+20x，yC＝400+15x，当45≤x≤55时，确定y的范围，进行比较即可解答．
【解答】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，
根据题意得：
yA＝50+25x，
yB＝200+20x，
yC＝400+15x，
当45≤x≤55时，
1175≤yA≤1425；
1100≤yB≤1300；
1075≤yC≤1225；
发现x＝45时，yC＜yB，x＝46时，yC＜yB，…，由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，并确定函数值的范围．
二．填空题（共8小题）
9．（2021•西城区校级模拟）如图，在▱ABCD中，BC＝9，AB＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为　4　．

【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BC＝9，CD＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝9﹣5＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE＝∠AEB．
10．（2021•西城区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝3，则BC的长为　3　．

【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】根据矩形的性质求出AC＝2AO，AO＝BO，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，求出AB＝AO＝3，求出AC，再根据勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝3，
∴AO＝3，
∴AC＝2AO＝6，
由勾股定理得：BC＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
11．（2021春•东城区校级月考）在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则sinA的值为　　．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；模型思想．
【分析】根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，
所以sinA＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
12．（2017秋•西城区期末）如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝　4　．

【考点】平行线分线段成比例．
【专题】三角形．
【分析】由DE∥BC，推出＝＝，可得EC＝AC，由此即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
∵AC＝10，
∴EC＝×10＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
13．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝　70°　．

【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】常规题型．
【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．
【解答】解：∵＝，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ADB＝∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．
14．（2021•朝阳区模拟）如图所示的正方形网格中，A，B，C是网格线交点，∠CAB的度数为　45°　．

【考点】勾股定理；解直角三角形；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；应用意识．
【分析】连接BC，过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB＝2，AC＝3．利用割补法求出S△ABC＝6×6﹣×6×3﹣×6×2﹣×4×3＝15，根据三角形的面积公式求出CD＝．在Rt△ACD中求出sin∠CAB＝＝，即可得出∠CAB＝45°．
【解答】解：如图，连接BC，过C作CD⊥AB于D，
根据勾股定理，得AB＝＝2，AC＝＝3．
∵S△ABC＝6×6﹣×6×3﹣×6×2﹣×4×3＝15，
S△ABC＝AB•CD＝×2•CD＝CD，
∴CD＝15，
∴CD＝．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴sin∠CAB＝＝＝，
∴∠CAB＝45°．
故答案为：45°．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点，准确作出辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
15．（2020•澄海区一模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用．
【分析】设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设绳索长x尺，竿长y尺，
根据题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．（2021春•丰台区校级月考）小周自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、55元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，小周对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，小周会得到支付款的80%．
（1）当x＝6时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付　94　元；
（2）在促销活动中，为保证小周每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为　10　．
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）根据付款金额减去x，即可求解．
（2）根据保证小周每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，建立不等式，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝6时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒．可得：40+60＝100（元）．
顾客支付：100﹣6＝94（元）．
故答案为：94．
（2）设订单总金额为m元．
∴（m﹣x）80%≥m×70%．
∴．
若m＜80．可得支付款的80%．
当m≥80时，x．
则x的最大值为：10．
故答案为：10．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用知识，关键在于根据题意找到不等关系，属于中等难度题．
三．解答题（共10小题）
17．（2017•北京）计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4×+1﹣2+2
＝2﹣2+3
＝3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（2021春•海淀区校级月考）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x﹣3≤2x+9，得：x≤4，
解不等式3x＞，得：x＞2，
则不等式组的解集为2＜x≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（2021春•东城区校级月考）已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根均大于2，求m的取值范围．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判断方程的根的情况；
（2）先求出原方程的两个实数根，根据方程的两根均大于2，列出不等式组，求出m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m＝1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，
∴（x﹣m+1）（x﹣m）＝0，
∴x1＝m﹣1，x2＝m．
则由题意，得，
解得m＞3．
即m的取值范围是m＞3．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根．同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式组．
20．（2021春•东城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），C（0，4）．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）横纵坐标均为偶数的点称为偶点，比如E（2，4）．反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）与线段BM，BN围成的图形记为G．求图形G（包含边界）内偶点的个数．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【分析】（1）先求得D点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据反比例函数的解析式求得M、N的坐标，结合图形，即可得到图形G内的偶点．
【解答】解：（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A（8，0），C（0，4），
∴点D的坐标为（4，2）．
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝2×4＝8；
（2）∵A（8，0），C（0，4），
∴B（8，4），
由题意可得：点M的纵坐标为4，点N的横坐标为8．
∵点M、点N在反比例函数y＝的图象上，
∴点M的坐标为（2，4），N（8，1），
∵点D的坐标为（4，2），
∴在图形G（包含边界）内偶点有（2，4），（4，2），（4，4）（6，2），（6，4），（8，2），（8，4）共7个．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
21．（2021•聊城一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：▱ABCD是矩形；
（2）若AD＝2，cos∠ABE＝，求AC的长．

【考点】矩形的判定与性质；解直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，求得AC＝BD，于是得到结论；
（2）根据矩形的性质得到∠BAD＝∠ADC＝90°，求得∠CAD＝∠ABE，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形；
（2）解：∵▱ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠CAD＝∠ABE，
在Rt△ACD中，AD＝2，cos∠CAD＝cos∠ABE＝，
∴AC＝5．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
22．（2020•石景山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）先利用一次函数解析式确定m的值得到A点坐标，然后把A点坐标代入y＝得到k的值；
（2）①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；
②先确定（﹣3，0），由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C（，n），D（n﹣3，n），讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD＝OB得到﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），再结合图象可判断当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，先利用CD＝OB得到n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），再结合图象可判断当n≥3+时，CD≥OB．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），
∴m＝1+3＝4，
∵反比例函数的图象经过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
（2）①当n＝2时，点P的坐标为（0，2），
当y＝2时，2＝，解得x＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
当y＝2时，x+3＝2，解得x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，2），
∴CD＝2﹣（﹣1）＝3；
②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0）
当y＝n时，n＝，解得x＝，
∴点C的坐标为（，n），
当y＝n时，x+3＝n，解得x＝n﹣3，
∴点D的坐标为（n﹣3，n），
当点C在点D的右侧时，
若CD＝OB，即﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），
∴当0＜n≤2时，CD≥OB；
当点C在点D的左侧时，
若CD＝OB，即n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），
∴当n≥3+时，CD≥OB，
综上所述，n的取值范围为0＜n≤2或n≥3+．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
23．（2019•石景山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣1，6），直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求k，m的值；
（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数的图象于点D．
①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；
②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】（1）把A（﹣1，6）代入函数，即可求出k；把点B（﹣1，0）代入直线y＝mx﹣2，即可求出m；
（2）①求出PC和PD，即可判断PC和PD之间的关系；
②求出P点y值的取值范围，即可n的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数的图象经过点A（﹣1，6），
∴k＝﹣6．
∵直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0），
∴m＝﹣2．
（2）①判断：PD＝2PC．理由如下：
当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2），
∵y＝﹣2x﹣2交于于点C，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，
∴点C的坐标为（﹣2，2），
∵函数的图象于点D，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，
点D的坐标为（﹣3，2）．
∴PC＝1，PD＝2．
∴PD＝2PC．
②当PD＝2PC时，有两种情况，分别为：y＝2，或者y＝6．
若PD≥2PC，0＜y≤2，或y≥6
即0＜﹣2n≤2，或﹣2n≤6
解得﹣1≤n＜0．或n≤﹣3

【点评】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特点，熟悉反比例函数图象上点的特点是解答此题的关键．
24．（2019•丰台区一模）如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．
（1）求证：GC∥AE；
（2）若sin∠EAB＝，OD＝，求AE的长．

【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系．
【分析】（1）连接OC，交AE于点H．根据垂径定理得到OC⊥AE．根据切线的性质得到OC⊥GC，于是得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到sin∠OCD＝sin∠EAB＝．连接BE．AB是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，交AE于点H．
∵C是弧AE的中点，
∴OC⊥AE．
∵GC是⊙O的切线，
∴OC⊥GC，
∴∠OHA＝∠OCG＝90°，
∴GC∥AE；
（2）解：∵OD⊥AE，CD⊥AB，
∴∠OCD＝∠EAB．
∴sin∠OCD＝sin∠EAB＝．
在Rt△CDO中，OD＝，
∴，
∴，
连接BE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°．
在Rt△AEB中，
∵，
∴，
∴．

【点评】本题考查了切线的性质，三角函数的定义，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（2021•西城区校级模拟）如图所示，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为边BC上动点（不含端点），点B关于直线AE的对称点为点F，点G为DF中点，连接AG．
（1）依题意，补全图形；
（2）点E运动过程中，是否可能EF∥AG？若可能，求BE长；若不可能，请说明理由；
（3）连接CG，点E运动过程中，直接写出CG的最小值．

【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；应用意识．
【分析】（1）根据题意画出图形即可．
（2）如图1中，结论：不可能．连接BD．只要证明平行时，点E与B重合，不符合题意即可．
（3）如图2中，取AD的中点T，连接GT，CG，CT，AC．解直角三角形求出CT，GT，根据CG≤CT﹣GT，求出CG的最小值即可．
【解答】解：（1）图形如图1所示：


（2）如图1中，结论：不可能．
理由：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠BDC＝30°，
∵点B关于直线AE的对称点为点F，
∴AF＝AB＝AD，∠AFE＝∠ABE＝60°，
∵点G为DF中点，
∴FG＝DG，
∴AG⊥DF，
若EF∥AG，则EF⊥DF，
∴∠EFG＝90°，
∴∠AFG＝30°，
∵∠AFD＝∠ADF，
∴∠ADF＝30°，
∴∠ADB＝∠ADF，此时点F与B重合，不符合题意，
∴不可能存在EF∥AG．

（3）如图2中，取AD的中点T，连接GT，CG，CT，AC．

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠ADC＝60°，DA＝DC，
∴△ACD是等边三角形，
∵AT＝TD，
∴CT⊥AD，
∴CT＝CD•sin60°＝，
∵AG⊥DF，
∴∠AGD＝90°，
∵AT＝TD，
∴TG＝AD＝1，
∵CG≥CT﹣GT，
∴CG≥﹣1，
∴CG的最小值为﹣1．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．（2021•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“极好菱形”．如图为点A，C的“极好菱形”的一个示意图．
已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）．
（1）点E（2，1），F（1，3），G（4，0）中，能够成为点M，P的“极好菱形”的顶点的是　F、G　；
（2）如果四边形MNPQ是点M，P的“极好菱形”．
①当点N的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ的面积；
②当四边形MNPQ的面积为8，且与直线y＝x+b有公共点时，写出b的取值范围．

【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；应用意识．
【分析】（1）如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M，P的“极好菱形”顶点．
（2）①如图2中，根据已知三点的坐标可得极好菱形为正方形，根据正方形面积公式可得结果；
②根据菱形的性质得：PM⊥QN，且对角线互相平分，由菱形的面积为8，且菱形的面积等于两条对角线积的一半，可得QN的长，证明Q在y轴上，N在x轴上，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M，P的“极好菱形”顶点．

故答案为：F，G；
（2）①如图2，∵M（1，1），P（3，3），N（3，1），
∴MN＝2，PN⊥MN，
∵四边形MNPQ是菱形，
∴四边形MNPQ是正方形，
∴S四边形MNPQ＝2×2＝4；
②如图3，∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3），
∴PM＝2，
∵四边形MNPQ的面积为8，
∴S四边形MNPQ＝PM•QN＝8，
即××QN＝8，
∴QN＝4，
∵四边形MNPQ是菱形，
∴QN⊥MP，ME＝，EN＝2，
作直线QN，交x轴于A，
∵M（1，1），
∴OM＝，
∴OE＝2，
∵M和P在直线y＝x上，
∴∠MOA＝45°，
∴△EOA是等腰直角三角形，
∴EA＝2，
∴A与N重合，即N在x轴上，
同理可知：Q在y轴上，且ON＝OQ＝4，
由题意得：四边形MNPQ与直线y＝x+b有公共点时，b的取值范围是﹣4≤b≤4．


【点评】本题是一次函数的综合题，考查了菱形的性质、正方形的判定、点M，P的“极好菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，属于中考创新题目．

考点卡片
1．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
6．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
7．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
10．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
12．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
13．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
14．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
15．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
16．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
17．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
18．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
19．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
20．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
21．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
22．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
23．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

24．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
25．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
26．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

27．四边形综合题
四边形综合题．
28．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
29．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
30．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
31．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
32．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
33．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
34．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
35．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
36．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．