2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷3（含答案）

这是一份2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷3（含答案），共40页。

2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷3
一．选择题（共8小题）
1．（2019•皇姑区二模）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是（　　）

A．a B．b C．c D．d
2．（2017•朝阳区一模）京津冀一体化是由京津唐工业基地的概念发展而来，涉及到的人口总数约为90 000 000人．将90 000 000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.9×108 B．9×107 C．90×106 D．9×106
3．（2021•湘潭模拟）下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2019•丰台区模拟）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b＝0，那么下列结论正确的是（　　）

A．|a|＞|c| B．a+c＜0 C．abc＜0 D．
5．（2019•江干区二模）如图是实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置，则正确的结论是（　　）

A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞0
6．（2019•泸州）把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（　　）
A．2（a2﹣4） B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2
7．（2021•西城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为（　　）

A．（1，2） B．（4，2） C．（2，4） D．（2，1）
8．（2021•西城区校级模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．10
二．填空题（共8小题）
9．（2021春•东城区校级月考）如果抛物线y＝3x2向下平移2个单位，所得到的抛物线是　 　．
10．（2021春•东城区校级月考）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任意抽取一个数字，抽到的数是5的倍数的概率是　 　．
11．（2018•北京）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
12．（2015•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝　 　，b＝　 　．
13．（2020秋•门头沟区期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠CBD+∠ABC＝　 　°．（点A，B，C，D是网格线交点）

14．（2019•丰台区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AD为直径，如果∠BAD＝70°，∠CDA＝50°，BC＝2，那么AD＝　 　．

15．（2021•滨城区二模）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是　 　．
16．（2021春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．
（1）点（﹣3，4）的“可控变点”的坐标为　 　；
（2）若点N（m，2）是函数y＝x﹣1图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为　 　．
三．解答题（共9小题）
17．（2021•西城区校级模拟）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD与点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．

18．（2021•西城区校级模拟）如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上的任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长与边AD交于点F，点M为边CD上的一点，且CM＝DE，连接FM．
（1）依题意补全图形；
（2）求证∠DMF＝∠ABF．

19．（2021春•东城区校级月考）已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根均大于2，求m的取值范围．
20．（2021春•东城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），C（0，4）．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）横纵坐标均为偶数的点称为偶点，比如E（2，4）．反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）与线段BM，BN围成的图形记为G．求图形G（包含边界）内偶点的个数．

21．（2021春•朝阳区校级月考）运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度．为了解A，B两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了20段话，其中每段话都含100个文字（不计标点符号）．在保持相同语速的条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性．他的测试和分析过程如下，请补充完整．
（1）收集数据：两种软件每次识别正确的字数记录如下：

（2）整理、描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：

（3）分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：

平均数
众数
中位数
方差
A
84.7
　 　
84.5
88.91
B
83.7
96
　 　
184.01
（4）得出结论：根据以上信息，判断　 　种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：　 　（至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．
22．（2021•朝阳区模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．
（1）求b，c的值；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使当m≤x≤n时，二次函数的最小值是4m，最大值是4n．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
23．（2021春•丰台区校级月考）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．

（1）依题意补全图1，并直接写出∠FBE的度数；
（2）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
24．（2021春•海淀区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上任意一点，将DA绕D点逆时针旋转120°得到DE，连接AE，将AE绕A点逆时针旋转120°得到AG，连接CG．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠EBD的度数；
（3）直接写出BE2，CD2与AD2的数量关系．

25．（2021春•海淀区校级月考）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形W：若在图形G上存在点P，使得P到图形W上各点的最短距离为1，称图形G为图形W的同类图形，点P为图形W的同类点

（1）已知直线l：y＝x，
①判断直线m：y＝﹣x是否为直线l的同类图形，如果是，写出直线l的同类点P的坐标，如果不是，请说明理由；
②点A为x轴上一动点，⊙A半径为1，若⊙A为直线l的同类图形，求点A的横坐标xA的取值范围；
（2）已知坐标轴上的点R（5，0），Q（0，5）．点B，C在直线y＝x+b上，且B（﹣1，t），C（1，s）．线段RQ是线段BC的同类图形，直接写出b的取值范围．

2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2019•皇姑区二模）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是（　　）

A．a B．b C．c D．d
【考点】实数大小比较；实数与数轴．
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论．
【解答】解：由图可知：c到原点O的距离最短，
所以在这四个数中，绝对值最小的数是c．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数．
2．（2017•朝阳区一模）京津冀一体化是由京津唐工业基地的概念发展而来，涉及到的人口总数约为90 000 000人．将90 000 000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.9×108 B．9×107 C．90×106 D．9×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：90 000 000＝9×107，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2021•湘潭模拟）下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（2019•丰台区模拟）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b＝0，那么下列结论正确的是（　　）

A．|a|＞|c| B．a+c＜0 C．abc＜0 D．
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】常规题型．
【分析】根据a+b＝0，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
【解答】解：∵a+b＝0，
∴原点在a，b的中间，
如图，

由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
5．（2019•江干区二模）如图是实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置，则正确的结论是（　　）

A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞0
【考点】数轴；绝对值．
【专题】常规题型．
【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a，b，c，d的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答案．
【解答】解：由数轴上点的位置，得
a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．
A、a＜﹣4，故A不符合题意；
B、bd＜0，故B不符合题意；
C、∵|a|＞4，|b|＜2，∴|a|＞|b|，故C符合题意；
D、b+c＜0，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得出a，b，c，d的大小是解题关键．
6．（2019•泸州）把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（　　）
A．2（a2﹣4） B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2），
故选：C．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7．（2021•西城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为（　　）

A．（1，2） B．（4，2） C．（2，4） D．（2，1）
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系．
【分析】根据三角形的中位线定理和坐标解答即可．
【解答】解：过N作NE⊥y轴，NF⊥x轴，
∵点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，
∴NE＝2，NF＝1，
∴点N的坐标为（2，1），
故选：D．

【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的中位线定理和坐标解答．
8．（2021•西城区校级模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．10
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝6，
在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，
解得x＝8．
即BN＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
二．填空题（共8小题）
9．（2021春•东城区校级月考）如果抛物线y＝3x2向下平移2个单位，所得到的抛物线是　y＝3x2﹣2　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向下平移2个单位，得到的抛物线是：y＝3x2﹣2．
故答案是：y＝3x2﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10．（2021春•东城区校级月考）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任意抽取一个数字，抽到的数是5的倍数的概率是　　．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】用抽到的数是5的倍数的结果数除以所有等可能结果数即可．
【解答】解：∵任意抽取一个数字共有10种等可能结果，其中抽到的数是5的倍数的有5、10这2种结果，
∴抽到的数是5的倍数的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（2018•北京）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝　1　，b＝　2　，c＝　﹣1　．
【考点】命题与定理．
【专题】推理填空题．
【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．
【解答】解：当a＝1，b＝2，c＝﹣1时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），
∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，
故答案为：1；2；﹣1．
【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12．（2015•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝　4　，b＝　2　．
【考点】根的判别式．
【专题】开放型．
【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，得到a＝b2，找一组满足条件的数据即可．
【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4×a＝b2﹣a＝0，
∴a＝b2，
当b＝2时，a＝4，
故b＝2，a＝4时满足条件．
故答案为：4，2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．
13．（2020秋•门头沟区期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠CBD+∠ABC＝　45　°．（点A，B，C，D是网格线交点）

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】连接DC并延长到点E，使CE＝DC，连接EA、EB，根据勾股定理得到BE＝BD＝＝，AE＝＝，AB＝＝，求得AE2+AB2＝2AB2＝BE2，于是得到∠ABE＝45°，进而得到结论．
【解答】解：如图，连接DC并延长到点E，使CE＝DC，连接EA、EB，
则BC是ED的垂直平分线，
∴BE＝BD＝＝，
∴∠CBD＝∠CBE．
∵AE＝＝，AB＝＝，
∴AE2+AB2＝2AB2＝BE2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠CBD+∠ABC＝∠CBE+∠ABC＝∠ABE＝45°．
故答案为：45．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．（2019•丰台区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AD为直径，如果∠BAD＝70°，∠CDA＝50°，BC＝2，那么AD＝　4　．

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质．
【分析】连接OB，OC，根据等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠A＝70°，∠OCD＝∠D＝50°，推出△COB是等边三角形，得到OB＝OA＝2，于是得到结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵OB＝OA，OC＝OD，
∴∠OBA＝∠A＝70°，
∠OCD＝∠D＝50°，
∴∠AOB＝40°，∠COD＝80°，
∴∠COB＝60°，
∴△COB是等边三角形，
∴OB＝OA＝2，
∴AD＝2OA＝4．
故答案为：4．

【点评】本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（2021•滨城区二模）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是　（，2）或（﹣，﹣2）　．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】根据以原点为位似中心的位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，点A的坐标为（2，3），
∴点A1的坐标为（2×，3×）或（2×（﹣），3×（﹣）），
即（，2）或（﹣，﹣2），
故答案为：（，2）或（﹣，﹣2）．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
16．（2021春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．
（1）点（﹣3，4）的“可控变点”的坐标为　（﹣3，﹣4）　；
（2）若点N（m，2）是函数y＝x﹣1图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为　（3，2），（﹣1，﹣2）　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】创新题型；推理能力．
【分析】（1）将点（﹣3，4）代入对应解析式求出y'．
（2）讨论m≥及m＜0两种情况求解．
【解答】解：（1）根据题意∵﹣3＜0，
∴y'＝﹣y＝﹣4，
∴点（﹣3，4）的“可控变点”的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案为：（﹣3，﹣4）．
（2）点M的“可控变点”N所在函数解析式为：，
∴当m≥0时，将（m，2）代入y＝x﹣1得m＝3，
当m＜0时，将（m，2）代入y＝﹣x+1得m＝﹣1．
把m＝3代入M点所在解析式y＝x﹣1，得y＝2，即M点坐标为（3，2），
把m＝﹣1代入M点解析式y＝x﹣1，得y＝﹣2，及M点坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（3，2），（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查一次函数上点的特征，解题关键是掌握新定义材料所讲内容，根据定义区分点M和点N．
三．解答题（共9小题）
17．（2021•西城区校级模拟）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD与点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．

【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】由平行四边形的性质及角平分线的性质可得AB＝AE，CF＝CD，进而可得四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
又BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，即AB＝AE，
同理CF＝CD，
又AB＝CD，∴CF＝AE，
∴BF＝DE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质问题，要熟练掌握，并能够求解一些简单的计算、证明问题．
18．（2021•西城区校级模拟）如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上的任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长与边AD交于点F，点M为边CD上的一点，且CM＝DE，连接FM．
（1）依题意补全图形；
（2）求证∠DMF＝∠ABF．

【考点】矩形的性质．
【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）按要求画图；
（2）延长BF交CD的延长线于点N，首先证明△APB和△EPN全等，得到EN＝AB，再根据已知条件证明FN＝FM，可得结论．
【解答】（1）解：如图所示，

（2）证明：延长BF交CD的延长线于点N，

∵点P为线段AE中点，
∴AP＝PE，
∵AB∥CD，
∴∠PEN＝∠PAB，∠2＝∠N，
∵在△APB和△EPN中，
∵，
∴△APB≌△EPN（AAS），
∴AB＝EN，
∴AB＝CD＝EN，
∵EN＝DN+DE，CD＝DM+CM，
∵DE＝CM，
∴DN＝DM，
∵FD⊥MN，
∴FN＝FM，
∴∠N＝∠1，
∴∠1＝∠2，
即∠DMF＝∠ABF．
【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，还考查了根据几何语言准确作图的能力．
19．（2021春•东城区校级月考）已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根均大于2，求m的取值范围．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判断方程的根的情况；
（2）先求出原方程的两个实数根，根据方程的两根均大于2，列出不等式组，求出m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m＝1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，
∴（x﹣m+1）（x﹣m）＝0，
∴x1＝m﹣1，x2＝m．
则由题意，得，
解得m＞3．
即m的取值范围是m＞3．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根．同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式组．
20．（2021春•东城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），C（0，4）．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）横纵坐标均为偶数的点称为偶点，比如E（2，4）．反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）与线段BM，BN围成的图形记为G．求图形G（包含边界）内偶点的个数．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【分析】（1）先求得D点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据反比例函数的解析式求得M、N的坐标，结合图形，即可得到图形G内的偶点．
【解答】解：（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A（8，0），C（0，4），
∴点D的坐标为（4，2）．
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝2×4＝8；
（2）∵A（8，0），C（0，4），
∴B（8，4），
由题意可得：点M的纵坐标为4，点N的横坐标为8．
∵点M、点N在反比例函数y＝的图象上，
∴点M的坐标为（2，4），N（8，1），
∵点D的坐标为（4，2），
∴在图形G（包含边界）内偶点有（2，4），（4，2），（4，4）（6，2），（6，4），（8，2），（8，4）共7个．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
21．（2021春•朝阳区校级月考）运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度．为了解A，B两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了20段话，其中每段话都含100个文字（不计标点符号）．在保持相同语速的条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性．他的测试和分析过程如下，请补充完整．
（1）收集数据：两种软件每次识别正确的字数记录如下：

（2）整理、描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：

（3）分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：

平均数
众数
中位数
方差
A
84.7
　92　
84.5
88.91
B
83.7
96
　88.5　
184.01
（4）得出结论：根据以上信息，判断　B　种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：　B种软件识别字数的中位数比A软件的高，B种软件识别字数的众数比A软件的高　（至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）绘制成数据收集表；
（2）补全频数分布直方图即可；
（3）根据中位数、众数的意义求解即可；
（4）根据中位数、众数的意义进行判断即可．
【解答】解：（1）绘制成数据收集表；

（2）补全频数分布直方图如下：

（3）A种软件识别字数出现次数最多的是92，因此A种软件识别字数的众数是92，
B种软件识别字数从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为＝88.5，
故答案为：92，88.5；
（3）B，理由：B种软件识别字数的中位数比A软件的高，B种软件识别字数的众数比A软件的高．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
22．（2021•朝阳区模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．
（1）求b，c的值；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使当m≤x≤n时，二次函数的最小值是4m，最大值是4n．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）先根据对称轴求得b，进而把点（1，16）代入解析式即可求得c；
（2）分三种情况：a、若n≤1，有：﹣m2+2m+15＝4m①，﹣n2+2n+15＝4n②，m＜n③，由此求出m、n的值相同，不合题意；b、若m≥1，有：﹣m2+2m+15＝4n①，﹣n2+2n+15＝4m②，m＜n③，由此确定m＝n＝3，不合题意；c、若m＜1，n＞1，此时函数的最大值为16，4n＝16，得出n＝4，再由最小值是4m，确定m＜1，且﹣m2+2m+15＝4m，解得符合条件的m的值，便可得出结果．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．
∴﹣＝1，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+c，
把（1，16）代入得，16＝﹣1+2+c，
∴c＝15；
（2）存在，理由如下，
分三种情况：
a、n≤1，有：﹣m2+2m+15＝4m①，﹣n2+2n+15＝4n②，m＜n③，
解得m＝n，不合题意；
b、m≥1，有：﹣m2+2m+15＝4n①，﹣n2+2n+15＝4m②，m＜n③，
①﹣②得：（n﹣m）（m+n）＝6（n﹣m），n﹣m＞0，
∴m+n＝6，
代入①解得：m＝3，n＝3；
不合题意，
c、若m＜1，n＞1，
∵此时函数的最大值为16，
∴4n＝16，
∴n＝4，
∴当x＝m时，﹣m2+2m+15＝4m，
解得m1＝﹣5，m2＝3（舍去），
当x＝n时，﹣n2+2n+15＝4m，
∴﹣16+8+15＝4m，
解得m＝（舍去），
综上所述：m＝﹣5，n＝4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，关键是分情况讨论和根据特征点解题．
23．（2021春•丰台区校级月考）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．

（1）依题意补全图1，并直接写出∠FBE的度数；
（2）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
【考点】作图﹣旋转变换；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）按照题中的表述画出图形即可．∠FBE的度数为45°．由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，根据三角形内角和与互余关系分别推理即可；
（2）作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，判定△HAB≌△FAD（ASA），可得HB＝FD，AH＝AF，HF＝DE，∠H＝45°，从而可得HF与AF的数量关系，则可得线段AF与DE的数量关系．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：

∠FBE＝45°．设DF与AB交于点G，如图所示：

由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣α，∠BCE＝90°﹣α，
∴∠CBE＝45°+α，∠ADF＝α，
∴∠ABE＝45°﹣α．
∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°．
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝α
∴∠FBE＝∠FEB＝45°．

（2）DE＝AF．
证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，

由（2）得∠FBE＝∠FEB＝45°．
∴FB＝FE．
∵AH⊥AF，∠BAD＝90°，
∴∠HAB＝∠FAD，
∵∠BFG＝∠DAG＝90°，∠BGF＝∠DGA，
∴∠FBG＝∠ADG，即∠ABH＝∠ADF，
∴△HAB≌△FAD（ASA），
∴HB＝FD，AH＝AF，
∴HF＝DE，∠H＝45°．
∴HF＝AF．
∴DE＝AF．
【点评】考查了等腰三角形的性质、互余关系及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
24．（2021春•海淀区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上任意一点，将DA绕D点逆时针旋转120°得到DE，连接AE，将AE绕A点逆时针旋转120°得到AG，连接CG．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠EBD的度数；
（3）直接写出BE2，CD2与AD2的数量关系．

【考点】作图—复杂作图；旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．
（3）结论：CD2+CG2＝4AD2．如图2中，连接DG，EG，证明∠DCG＝90°，DG＝2AD即可解决问题．
【解答】解：（1）补全图形如图1所示．


（2）如图2中，设BD交AE于J．

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵DA＝DE，∠ADE＝120°，
∴∠AED＝∠EAD＝30°，
∵∠ABJ＝∠DEJ＝30°，∠AJB＝∠DJE，
∴△AJB∽△DJE，
∴＝，
∴＝，
∵∠AJD＝∠BJE，
∴△AJD∽△BJE，
∴∠EBD＝∠DAJ＝30°．

（3）结论：CD2+CG2＝4AD2．
理由：如图2中，连接DG，EG，
∵AE＝AG，∠EAG＝120°，
∴∠AEG＝∠AGE＝30°，
∵∠AED＝30°，
∴E，D，G共线，
∵∠EAD＝30°，∠EAG＝120°，
∴∠DAG＝120°﹣30°＝90°，
∴DG＝2AD，
∵∠BAC＝∠EAG＝120°，
∴∠BAE＝∠CAG，
∵AB＝AC，AE＝AG，
∴△BAE≌△CAG（SAS），
∴∠ABE＝∠ACG＝60°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠DCG＝90°，
∴DG2＝CD2+CG2，
∴CD2+CG2＝4AD2．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（2021春•海淀区校级月考）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形W：若在图形G上存在点P，使得P到图形W上各点的最短距离为1，称图形G为图形W的同类图形，点P为图形W的同类点

（1）已知直线l：y＝x，
①判断直线m：y＝﹣x是否为直线l的同类图形，如果是，写出直线l的同类点P的坐标，如果不是，请说明理由；
②点A为x轴上一动点，⊙A半径为1，若⊙A为直线l的同类图形，求点A的横坐标xA的取值范围；
（2）已知坐标轴上的点R（5，0），Q（0，5）．点B，C在直线y＝x+b上，且B（﹣1，t），C（1，s）．线段RQ是线段BC的同类图形，直接写出b的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【专题】压轴题；阅读型；空间观念；创新意识．
【分析】（1）①在直线y＝﹣x上找一点P，是P到直线y＝x的最短距离为1即可；
②求出A到直线y＝x距离等于2时的横坐标即可得到答案；
（2）分BC在点Q上方和下方，分别求出到线段BC上各点的最短距离为1时b的值即可得到答案．
【解答】解：（1）①直线y＝﹣x是直线l的同类图形，如图：

∵直线y＝﹣x，直线y＝x分别是二四象限、一三象限的角平分线，
∴直线l⊥直线m，
在直线y＝﹣x上取点P，使OP＝1，则P到直线y＝x的距离为1，点P即为直线y＝x的同类点，
过P作PA⊥x轴于A，则AP＝OP•sin45°＝，OA＝OP•cos45°＝，
∴同类点P的坐标为（﹣，），
同理若OP′＝1，则P′也为直线y＝x的同类点，且P′（，﹣），
∴直线y＝﹣x是直线l的同类图形，同类点坐标为：（﹣，）或（，﹣）；
②如图：

⊙A为直线l的同类图形即是在⊙A上能找一点，使这点到直线l的距离为1，
过A作AC⊥直线l于C，交⊙A于B，
若BC＝1，则此时⊙A为直线l的同类图形，B即为直线l的同类点，而⊙A半径为1，则AC＝2，
∵∠AOC＝45°，
∴OA＝2，即A（2，0），
若A从（2，0）再向右移，A到直线l的距离＞2，⊙A上的点到直线l距离＞1，⊙A不是直线l的同类图形，
∴⊙A为直线l的同类图形，点A的横坐标xA＜2，
同理DE＝1，A′E＝2，⊙A′为直线l的同类图形，A′（﹣2，0），
∴⊙A′为直线l的同类图形，点A′的横坐标xA′＞﹣2，
综上所述，⊙A为直线l的同类图形，﹣2＜xA＜2；
（2）如答图3：

∵R（5，0），Q（0，5），
∴OQ＝OR，
∴∠OQR＝∠ORQ＝45°，
∵点B，C在直线y＝x+b上，B（﹣1，t），C（1，s），
∴BC与y轴夹角为45°，B在直线x＝﹣1上运动，C在直线x＝1上运动，
当QB＝1时，线段RQ是线段BC的同类图形，Q为线段BC的同类点，
DQ＝BQ＝，OD＝5+，
∴D（0，5+），
∵点B，C所在直线y＝x+b过点D，
∴b＝5+，
若B、C再向上移，Q到线段BC距离＞1，线段RQ不是线段BC的同类图形，
∴线段RQ是线段BC的同类图形，b＜5+，
若线段BC移到B′C′位置，B′C′交y轴于E，C′F⊥QR，且C′F＝1，过C′作HG∥x轴交RQ于G，交y轴于H，
∵C′F＝1，△C′FG是等腰直角三角形，
∴C′G＝，
由R（5，0），Q（0，5）可知直线QR解析式是y＝﹣x+5，
令x＝1+得y＝4﹣，
∴G（1+，4﹣），C′（1，4﹣），
而C′在y＝x+b上，
∴b＝3﹣，
若B′、C′再向下移，C′到QR距离＞1，线段RQ上没有点到线段BC最小距离为1的点，QR不是线段BC的同类图形，
∴线段RQ是线段B′C′的同类图形，b＞3﹣，
综上所述，线段RQ是线段BC的同类图形，3﹣＜b＜5+，
【点评】本题考查一次函数、圆及等腰直角三角形等综合知识，难度较大，解题的关键是求出“临界点”时结果．

考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
4．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
6．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
9．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
10．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
11．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
12．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
13．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
14．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
15．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
16．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
17．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
18．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
19．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
20．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
21．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
22．圆的综合题
圆的综合题．
23．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
25．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
26．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
27．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
28．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
29．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
30．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
　　注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
31．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
32．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
33．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
34．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
35．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．