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2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷1（含答案）
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这是一份2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷1（含答案），共47页。试卷主要包含了写出一个比3大且比4小的无理数等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷1
一．选择题（共8小题）
1．（2014•来宾）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥3 C．x＞3 D．x≤3
2．（2021•西城区校级模拟）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6
3．（2021•潮南区模拟）下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．河图幻方 D．谢尔宾斯基三角形
4．（2014•重庆校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠ABC＝60°，则∠D的度数为（ ）
A．60° B．30° C．45° D．75°
5．（2020•海门市一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2
6．（2021•洛阳二模）小军为了解同学们的课余生活，设计了如下的调查问卷（不完整）：
他准备在“①看课外书，②体育活动，③看电视，④踢足球，⑤看小说”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③④ D．②④⑤
7．（2018•北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10m B．15m C．20m D．22.5m
8．（2021春•丰台区校级月考）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
二．填空题（共8小题）
9．（2021春•海淀区校级月考）如果在实数范围内有意义，那么实数a的取值范围是 ．
10．（2017•北京）写出一个比3大且比4小的无理数： ．
11．（2002•汕头）比较大小： 0.5．
12．（2021•西城区校级模拟）如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 ．
13．（2020秋•宝应县期末）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm．
14．（2021春•锡山区期中）如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是 ．
15．（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为 ．
16．（2021•朝阳区模拟）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BE，若CE＝1，则BD的长为 ．
三．解答题（共10小题）
17．（2021春•丰台区校级月考）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PB，QB．
∵PA＝QB，
∴＝ ．
∴∠PBA＝∠QPB（ ）（填推理的依据）．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
18．（2021•饶平县校级模拟）计算：2﹣1﹣2cos30°+|﹣|+（3.14﹣π）0．
19．（2021秋•江油市月考）已知x2+4x+3＝0，求代数式（x+3）2﹣2（x﹣2）的值．
20．（2017•北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
21．（2021春•东城区校级月考）如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sin∠ADE＝，AE＝2，求⊙O的半径．
22．（2021秋•涟水县期中）商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
23．（2021春•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2与一次函数y＝﹣x+m的图象交于点P，与反比例函数y＝的图象交于点Q，点A（2，2）与点B关于y轴对称．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求点P，Q的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若P，Q两点中只有一个点在线段AB上，直接写出m的取值范围．
24．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．
25．（2019•海淀区一模）为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）．
b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
46%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 分的学生才可以入选．
26．（2021春•丰台区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点A（﹣3，0），B（﹣1，），C（2，﹣1）中，⊙O的伴随点是 ；
②点D在直线y＝﹣x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；
（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．
2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2014•来宾）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥3 C．x＞3 D．x≤3
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即根号下大于等于0，求出即可．
【解答】解：∵有意义的条件是：x﹣3≥0．
∴x≥3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数变量的取值范围，此题是中考考查重点，同学们应重点掌握，特别注意根号下可以等于0这一条件．
2．（2021•西城区校级模拟）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；数据分析观念．
【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形三边关系定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3．（2021•潮南区模拟）下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．河图幻方 D．谢尔宾斯基三角形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（2014•重庆校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠ABC＝60°，则∠D的度数为（ ）
A．60° B．30° C．45° D．75°
【考点】圆周角定理．
【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝60°，即可求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得∠D的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2020•海门市一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2
【考点】勾股定理的应用．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
6．（2021•洛阳二模）小军为了解同学们的课余生活，设计了如下的调查问卷（不完整）：
他准备在“①看课外书，②体育活动，③看电视，④踢足球，⑤看小说”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③④ D．②④⑤
【考点】调查收集数据的过程与方法．
【分析】利用调查问卷内容要全面且不能重复，进而得出答案．
【解答】解：∵看课外书包含看小说，体育活动包含踢足球，
∴④⑤的选项重复，
故选取合理的是①②③．
故选：A．
【点评】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确把握选项设计的合理性是解题关键．
7．（2018•北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10m B．15m C．20m D．22.5m
【考点】二次函数的应用．
【专题】函数思想．
【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
【解答】解：
法一：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），
则
解得，
所以x＝﹣＝﹣＝15（m）．
法二：∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越近，位置越高，
从A、C两点来看，对称轴更靠近A，即在20左边，
从A、B两点来看，对称轴更靠近B，即在10右边，
故选：B．
【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．
8．（2021春•丰台区校级月考）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
【考点】推理与论证．
【专题】分类讨论；推理能力．
【分析】根据四场比赛总得分，结合a，b，c满足的条件，可求出a，b，c，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决．
【解答】解：∵甲最后得分为16分，
∴a＞4，
接下来以乙为主要研究对象，
①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则a+3b＝8，
则3b＝8﹣a＜4，而bb为正整数，
则b＝1，又cc为正整数，a＞b＞c，
此时不合题意；
②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，
则a+2b+c＝8，
则2b+c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，
不符合题意；
③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，
则a+b+2c＝8，则b+2c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，cc为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，不符合题意；
④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，
则a+3c＝8，此时显然a＝5，c＝1，
则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共3×5+1＝16分，
乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5+3×1＝8分，
丙的得分情况为4场第二名，则4b＝8，即b＝2，
此时符合题意．
综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．
故选：C．
【点评】本题考查了合情推理的问题，考查了推理论证能力，考查了化归与转化思想，审清题意是正确解题的关键，属于中档题．
二．填空题（共8小题）
9．（2021春•海淀区校级月考）如果在实数范围内有意义，那么实数a的取值范围是 a≥2 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴a﹣2≥0，
解得a≥2．
故答案为：a≥2．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
10．（2017•北京）写出一个比3大且比4小的无理数： π（答案不唯一） ．
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的定义即可．
【解答】解：写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．
故答案为：π（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
11．（2002•汕头）比较大小： ＞ 0.5．
【考点】实数大小比较．
【分析】首先把0.5变为，然后估算的整数部分，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】解：∵0.5＝，2＜＜3，
∴＞1，
∴
故填空答案：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较．此题应把0.5变形为分数，然后根据无理数的整数部分再来比较即可解决问题．
12．（2021•西城区校级模拟）如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 （答案不唯一） ．
【考点】二次根式的乘除法；无理数．
【专题】二次根式；数感．
【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的值．
【解答】解：∵＝2，
∴无理数a与的积是一个有理数，a的值可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
13．（2020秋•宝应县期末）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 16 cm．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
即水的最大深度为16cm，
故答案为：16．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．（2021春•锡山区期中）如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是 （﹣，1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；等边三角形的性质．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．
∵B（2，0），△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵AE⊥OB，
∴OE＝EB＝1，
∴AE＝＝＝，
∵A′H⊥OH，
∴∠A′HO＝∠AEO＝∠AOA′＝90°，
∴∠A′OH+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠A′OH＝∠OAE，
∴△A′OH≌△OAE（AAS），
∴A′H＝OE＝1，OH＝AE＝，
∴A′（﹣，1），
故答案为：（﹣，1）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似．
【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE＝∠FCD，结合∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出＝＝2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF＝•AC，即可求出CF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠FAE＝∠FCD，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴＝＝2．
∵AC＝＝5，
∴CF＝•AC＝×5＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF＝2AF是解题的关键．
16．（2021•朝阳区模拟）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BE，若CE＝1，则BD的长为 2 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】推理填空题；图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】延长BA和CE交于点F，根据已知条件证明△FBE≌△CBE，可得EF＝CE＝1，得CF＝2，再证明△ABD≌△ACF，进而可得结果．
【解答】解：如图，延长BA和CE交于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝CE＝1，
∴CF＝EF+EC＝2，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵CF＝2，
∴BD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握三角形全等的判定与性质．
三．解答题（共10小题）
17．（2021春•丰台区校级月考）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PB，QB．
∵PA＝QB，
∴＝ ．
∴∠PBA＝∠QPB（ 等弧所对的圆周角相等 ）（填推理的依据）．
∴PQ∥l（ 内错角相等两直线平行 ）（填推理的依据）．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定与性质；圆周角定理．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据平行线的判定方法解决问题即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）理由：连接PB，QB．
∵PA＝QB，
∴＝．
∴∠PBA＝∠QPB（等弧所对的圆周角相等）．
∴PQ∥l（内错角相等两直线平行）．
故答案为：，等弧所对的圆周角相等，内错角相等两直线平行．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2021•饶平县校级模拟）计算：2﹣1﹣2cos30°+|﹣|+（3.14﹣π）0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】将原式每一项分别求值为再进行化简即可；
【解答】解：原式＝＝
【点评】本题考查实数的运算；能熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
19．（2021秋•江油市月考）已知x2+4x+3＝0，求代数式（x+3）2﹣2（x﹣2）的值．
【考点】一元二次方程的解；代数式求值．
【专题】一元二次方程及应用；数感．
【分析】变形已知为x2+4x＝﹣3的形式，再变形（x+3）2﹣2（x﹣2）为x2+4x+13的形式，然后整体代入求值．
【解答】解：∵x2+4x+3＝0，
∴x2+4x＝﹣3，
∴（x+3）2﹣2（x﹣2）
＝x2+6x+9﹣2x+4
＝x2+4x+13
＝﹣3+13
＝10．
【点评】本题考查了代数式的求值，发现代数式2x2+2x+3与方程x2+x﹣1＝0的关系是解决本题的关键．
20．（2017•北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．
21．（2021春•东城区校级月考）如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sin∠ADE＝，AE＝2，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】证明题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠2，证出∠1＝∠3，得出MN∥OD，证出DE⊥OD，即可得出DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，在Rt△ADE中，由锐角三角函数的定义求出AD的长，证明∠ADE＝∠ACD，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠3＝∠2，
∵AD平分∠CAM，
∴∠2＝∠1，
∴∠1＝∠3，
∴MN∥OD，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，如图所示：
在Rt△ADE中，sin∠ADE＝，AE＝2，
∴，
∴AD＝10，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴sin∠ADE＝sin∠ACD＝，
∴，
∴AC＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
22．（2021秋•涟水县期中）商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 24 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）利用平均每天销售量＝20+2×降低的价格，即可求出结论；
（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1050元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，根据每天的销售利润＝每件的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）20+2×2＝24（件）．
故答案为：24．
（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1050元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，
整理得：x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝5，x2＝25．
当x＝5时，40﹣x＝35＞25，符合题意；
当x＝25时，40﹣x＝15＜25，不合题意，舍去．
答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（2021春•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2与一次函数y＝﹣x+m的图象交于点P，与反比例函数y＝的图象交于点Q，点A（2，2）与点B关于y轴对称．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求点P，Q的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若P，Q两点中只有一个点在线段AB上，直接写出m的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据关于y轴对称的两点，其纵坐标相等横坐标互为相反数，即可写出点B的坐标；
（2）把y＝2代入y＝﹣x+m，求出x，进而得到点P的坐标；把y＝2代入y＝，求出x，进而得到点Q的坐标；
（3）由点P，Q的坐标，可知点P在点Q的左边．当P，Q两点中只有一个点在线段AB上时，分两种情况进行讨论：①只有P点在线段AB上；②只有Q点在线段AB上．分别列出关于m的不等式组，求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（2，2）与点B关于y轴对称，
∴点B的坐标是（﹣2，2）；
（2）把y＝2代入y＝﹣x+m，得2＝﹣x+m，解得x＝m﹣2，
∴点P的坐标为（m﹣2，2）；
把y＝2代入y＝，得2＝，解得x＝m，
∴点Q的坐标为（m，2）；
（3）∵点P的坐标为（m﹣2，2），点Q的坐标为（m，2），
∴点P在点Q的左边．
当P，Q两点中只有一个点在线段AB上时，分两种情况：
①只有P点在线段AB上时，
由题意，得，解得2＜m≤4；
②只有Q点在线段AB上时，
由题意，得，解得﹣2≤m＜0．
综上可知，所求m的取值范围是﹣2≤m＜0或2＜m≤4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了关于y轴对称的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用．
24．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．
【考点】切线的判定与性质；平行四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【分析】（1）连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只要证明CD⊥OC即可．
（2）连接AC，BD交于点E．求出BE，再根据BD＝2BE可得结论．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OB＝OC，∠B＝45°，
∴∠BCO＝∠B＝45°．
∴∠BOC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠OCD＝∠BOC＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接AC，BD交于点E．
∵AB是直径，AB＝8，
∴∠ACB＝90°．
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查切线的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（2019•海淀区一模）为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）．
b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
46%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 A （填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断 乙学校综合素质展示的水平更高 学校综合素质展示的水平更高，理由为 与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 88.5 分的学生才可以入选．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；用样本估计总体．
【专题】统计的应用．
【分析】（1）求得甲校的中位数即可得到结论；
（2）根据频数分布直方图和表中信息即可得到结论；
（3）求得每所学校被取了50名学生的综合素质展示的前15名学生将被选入志愿服务团队，于是得到结论．
【解答】解：（1）甲学校学生成绩的中位数为＝81.25，
乙学校学生成绩的中位数为84，
故这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A，
故答案为：A；
（2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为：与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多；
故答案为：乙学校，与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多
（3）×50＝15，
故甲学校分数至少达到88.5分的学生才可以入选，
故答案为：88.5．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，众数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．（2021春•丰台区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点A（﹣3，0），B（﹣1，），C（2，﹣1）中，⊙O的伴随点是 B，C ；
②点D在直线y＝﹣x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；
（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）①画出图形，求出切线长，根据⊙O的伴随点的定义判断即可．
②如图2中，设点D的坐标为（d，﹣d+3），构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问题．
（2）求出几种特殊位置时m的值即可判断．①如图3﹣1中，设ET是⊙M的切线，当FT＝6时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点．②如图3﹣2中，设ET是⊙M的切线，连接MT，则∠MTE＝90°．③如图3﹣3中，当⊙M在直线EF的右侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．分别求出m的值，结合图形即可得出结论．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵A（﹣3，0），B（﹣1，），C（2，﹣1），
∴切线AG的长＝＝2＞2，
切线BN的长＝2，
切线CM的长＝2，
∴点B，C是，⊙O的伴随点，
故答案为：B，C．
②如图2中，设点D的坐标为（d，﹣d+3），
当过点D的切线长为2r＝2时，
OD＝＝，
∴d2+（﹣d+3）2＝5，
解得 d1＝2，d2＝1．
结合图象可知，点D的横坐标d的取值范围是1≤d≤2．
（2）由题意E（﹣，0），F（0，3）．
①如图3﹣1中，设ET是⊙M的切线，当FT＝6时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，此时m＝6．
观察图象可知：当﹣6≤m＜﹣时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点．
②如图3﹣2中，设ET是⊙M的切线，连接MT，则∠MTE＝90°
当ET＝6时，EM＝＝＝3，此时m＝3﹣，
③如图3﹣3中，当⊙M在直线EF的右侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．
∵E（﹣，0），F（0，3），
∴OE＝，OF＝3，
∴EF＝＝，
∵EF是切线，
∴EF⊥MT，
∴∠MTE＝∠EOF＝90°，
∵∠MET＝∠FEO，
∴△MTE∽△FOE，
∴＝，
∴＝
∴EM＝，
此时m＝﹣，
结合图象可知，当﹣＜m≤3﹣时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，
综上所述，m的取值范围是﹣6≤m＜﹣或﹣＜m≤3﹣．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆的伴随点的定义，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
2．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
5．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
6．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
7．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
8．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
9．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
10．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
13．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
14．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
15．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
16．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
17．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
18．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
21．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
22．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
23．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
25．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
26．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
27．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
28．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
29．圆的综合题
圆的综合题．
30．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
31．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
32．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
33．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
34．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
35．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
36．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
37．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
38．调查收集数据的过程与方法
（1）在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况．
（2）统计图通常有条形统计图，扇形统计图，折线统计图．
（3）设计调查问卷分以下三步：①确定调查目的；②选择调查对象；③设计调查问题．
（4）统计调查的一般过程：
①问卷调查法﹣﹣﹣﹣﹣收集数据；
②列统计表﹣﹣﹣﹣﹣整理数据；
③画统计图﹣﹣﹣﹣﹣描述数据．
39．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
40．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
41．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
42．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
43．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷1
一．选择题（共8小题）
1．（2014•来宾）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥3 C．x＞3 D．x≤3
2．（2021•西城区校级模拟）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6
3．（2021•潮南区模拟）下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．河图幻方 D．谢尔宾斯基三角形
4．（2014•重庆校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠ABC＝60°，则∠D的度数为（ ）
A．60° B．30° C．45° D．75°
5．（2020•海门市一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2
6．（2021•洛阳二模）小军为了解同学们的课余生活，设计了如下的调查问卷（不完整）：
他准备在“①看课外书，②体育活动，③看电视，④踢足球，⑤看小说”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③④ D．②④⑤
7．（2018•北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10m B．15m C．20m D．22.5m
8．（2021春•丰台区校级月考）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
二．填空题（共8小题）
9．（2021春•海淀区校级月考）如果在实数范围内有意义，那么实数a的取值范围是 ．
10．（2017•北京）写出一个比3大且比4小的无理数： ．
11．（2002•汕头）比较大小： 0.5．
12．（2021•西城区校级模拟）如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 ．
13．（2020秋•宝应县期末）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm．
14．（2021春•锡山区期中）如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是 ．
15．（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为 ．
16．（2021•朝阳区模拟）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BE，若CE＝1，则BD的长为 ．
三．解答题（共10小题）
17．（2021春•丰台区校级月考）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PB，QB．
∵PA＝QB，
∴＝ ．
∴∠PBA＝∠QPB（ ）（填推理的依据）．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
18．（2021•饶平县校级模拟）计算：2﹣1﹣2cos30°+|﹣|+（3.14﹣π）0．
19．（2021秋•江油市月考）已知x2+4x+3＝0，求代数式（x+3）2﹣2（x﹣2）的值．
20．（2017•北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
21．（2021春•东城区校级月考）如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sin∠ADE＝，AE＝2，求⊙O的半径．
22．（2021秋•涟水县期中）商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
23．（2021春•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2与一次函数y＝﹣x+m的图象交于点P，与反比例函数y＝的图象交于点Q，点A（2，2）与点B关于y轴对称．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求点P，Q的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若P，Q两点中只有一个点在线段AB上，直接写出m的取值范围．
24．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．
25．（2019•海淀区一模）为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）．
b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
46%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 分的学生才可以入选．
26．（2021春•丰台区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点A（﹣3，0），B（﹣1，），C（2，﹣1）中，⊙O的伴随点是 ；
②点D在直线y＝﹣x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；
（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．
2021-2022学年下学期北京初中数学九年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2014•来宾）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥3 C．x＞3 D．x≤3
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即根号下大于等于0，求出即可．
【解答】解：∵有意义的条件是：x﹣3≥0．
∴x≥3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数变量的取值范围，此题是中考考查重点，同学们应重点掌握，特别注意根号下可以等于0这一条件．
2．（2021•西城区校级模拟）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；数据分析观念．
【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形三边关系定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3．（2021•潮南区模拟）下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．河图幻方 D．谢尔宾斯基三角形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（2014•重庆校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠ABC＝60°，则∠D的度数为（ ）
A．60° B．30° C．45° D．75°
【考点】圆周角定理．
【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝60°，即可求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得∠D的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2020•海门市一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2
【考点】勾股定理的应用．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
6．（2021•洛阳二模）小军为了解同学们的课余生活，设计了如下的调查问卷（不完整）：
他准备在“①看课外书，②体育活动，③看电视，④踢足球，⑤看小说”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③④ D．②④⑤
【考点】调查收集数据的过程与方法．
【分析】利用调查问卷内容要全面且不能重复，进而得出答案．
【解答】解：∵看课外书包含看小说，体育活动包含踢足球，
∴④⑤的选项重复，
故选取合理的是①②③．
故选：A．
【点评】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确把握选项设计的合理性是解题关键．
7．（2018•北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10m B．15m C．20m D．22.5m
【考点】二次函数的应用．
【专题】函数思想．
【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
【解答】解：
法一：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），
则
解得，
所以x＝﹣＝﹣＝15（m）．
法二：∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越近，位置越高，
从A、C两点来看，对称轴更靠近A，即在20左边，
从A、B两点来看，对称轴更靠近B，即在10右边，
故选：B．
【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．
8．（2021春•丰台区校级月考）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
【考点】推理与论证．
【专题】分类讨论；推理能力．
【分析】根据四场比赛总得分，结合a，b，c满足的条件，可求出a，b，c，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决．
【解答】解：∵甲最后得分为16分，
∴a＞4，
接下来以乙为主要研究对象，
①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则a+3b＝8，
则3b＝8﹣a＜4，而bb为正整数，
则b＝1，又cc为正整数，a＞b＞c，
此时不合题意；
②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，
则a+2b+c＝8，
则2b+c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，
不符合题意；
③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，
则a+b+2c＝8，则b+2c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，cc为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，不符合题意；
④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，
则a+3c＝8，此时显然a＝5，c＝1，
则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共3×5+1＝16分，
乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5+3×1＝8分，
丙的得分情况为4场第二名，则4b＝8，即b＝2，
此时符合题意．
综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．
故选：C．
【点评】本题考查了合情推理的问题，考查了推理论证能力，考查了化归与转化思想，审清题意是正确解题的关键，属于中档题．
二．填空题（共8小题）
9．（2021春•海淀区校级月考）如果在实数范围内有意义，那么实数a的取值范围是 a≥2 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴a﹣2≥0，
解得a≥2．
故答案为：a≥2．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
10．（2017•北京）写出一个比3大且比4小的无理数： π（答案不唯一） ．
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的定义即可．
【解答】解：写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．
故答案为：π（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
11．（2002•汕头）比较大小： ＞ 0.5．
【考点】实数大小比较．
【分析】首先把0.5变为，然后估算的整数部分，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】解：∵0.5＝，2＜＜3，
∴＞1，
∴
故填空答案：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较．此题应把0.5变形为分数，然后根据无理数的整数部分再来比较即可解决问题．
12．（2021•西城区校级模拟）如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 （答案不唯一） ．
【考点】二次根式的乘除法；无理数．
【专题】二次根式；数感．
【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的值．
【解答】解：∵＝2，
∴无理数a与的积是一个有理数，a的值可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
13．（2020秋•宝应县期末）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 16 cm．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
即水的最大深度为16cm，
故答案为：16．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．（2021春•锡山区期中）如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是 （﹣，1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；等边三角形的性质．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．
∵B（2，0），△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵AE⊥OB，
∴OE＝EB＝1，
∴AE＝＝＝，
∵A′H⊥OH，
∴∠A′HO＝∠AEO＝∠AOA′＝90°，
∴∠A′OH+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠A′OH＝∠OAE，
∴△A′OH≌△OAE（AAS），
∴A′H＝OE＝1，OH＝AE＝，
∴A′（﹣，1），
故答案为：（﹣，1）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似．
【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE＝∠FCD，结合∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出＝＝2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF＝•AC，即可求出CF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠FAE＝∠FCD，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴＝＝2．
∵AC＝＝5，
∴CF＝•AC＝×5＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF＝2AF是解题的关键．
16．（2021•朝阳区模拟）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BE，若CE＝1，则BD的长为 2 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】推理填空题；图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】延长BA和CE交于点F，根据已知条件证明△FBE≌△CBE，可得EF＝CE＝1，得CF＝2，再证明△ABD≌△ACF，进而可得结果．
【解答】解：如图，延长BA和CE交于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝CE＝1，
∴CF＝EF+EC＝2，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵CF＝2，
∴BD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握三角形全等的判定与性质．
三．解答题（共10小题）
17．（2021春•丰台区校级月考）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PB，QB．
∵PA＝QB，
∴＝ ．
∴∠PBA＝∠QPB（ 等弧所对的圆周角相等 ）（填推理的依据）．
∴PQ∥l（ 内错角相等两直线平行 ）（填推理的依据）．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定与性质；圆周角定理．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据平行线的判定方法解决问题即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）理由：连接PB，QB．
∵PA＝QB，
∴＝．
∴∠PBA＝∠QPB（等弧所对的圆周角相等）．
∴PQ∥l（内错角相等两直线平行）．
故答案为：，等弧所对的圆周角相等，内错角相等两直线平行．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2021•饶平县校级模拟）计算：2﹣1﹣2cos30°+|﹣|+（3.14﹣π）0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】将原式每一项分别求值为再进行化简即可；
【解答】解：原式＝＝
【点评】本题考查实数的运算；能熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
19．（2021秋•江油市月考）已知x2+4x+3＝0，求代数式（x+3）2﹣2（x﹣2）的值．
【考点】一元二次方程的解；代数式求值．
【专题】一元二次方程及应用；数感．
【分析】变形已知为x2+4x＝﹣3的形式，再变形（x+3）2﹣2（x﹣2）为x2+4x+13的形式，然后整体代入求值．
【解答】解：∵x2+4x+3＝0，
∴x2+4x＝﹣3，
∴（x+3）2﹣2（x﹣2）
＝x2+6x+9﹣2x+4
＝x2+4x+13
＝﹣3+13
＝10．
【点评】本题考查了代数式的求值，发现代数式2x2+2x+3与方程x2+x﹣1＝0的关系是解决本题的关键．
20．（2017•北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．
21．（2021春•东城区校级月考）如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sin∠ADE＝，AE＝2，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】证明题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠2，证出∠1＝∠3，得出MN∥OD，证出DE⊥OD，即可得出DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，在Rt△ADE中，由锐角三角函数的定义求出AD的长，证明∠ADE＝∠ACD，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠3＝∠2，
∵AD平分∠CAM，
∴∠2＝∠1，
∴∠1＝∠3，
∴MN∥OD，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，如图所示：
在Rt△ADE中，sin∠ADE＝，AE＝2，
∴，
∴AD＝10，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴sin∠ADE＝sin∠ACD＝，
∴，
∴AC＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
22．（2021秋•涟水县期中）商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 24 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）利用平均每天销售量＝20+2×降低的价格，即可求出结论；
（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1050元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，根据每天的销售利润＝每件的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）20+2×2＝24（件）．
故答案为：24．
（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1050元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，
整理得：x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝5，x2＝25．
当x＝5时，40﹣x＝35＞25，符合题意；
当x＝25时，40﹣x＝15＜25，不合题意，舍去．
答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（2021春•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2与一次函数y＝﹣x+m的图象交于点P，与反比例函数y＝的图象交于点Q，点A（2，2）与点B关于y轴对称．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求点P，Q的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若P，Q两点中只有一个点在线段AB上，直接写出m的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据关于y轴对称的两点，其纵坐标相等横坐标互为相反数，即可写出点B的坐标；
（2）把y＝2代入y＝﹣x+m，求出x，进而得到点P的坐标；把y＝2代入y＝，求出x，进而得到点Q的坐标；
（3）由点P，Q的坐标，可知点P在点Q的左边．当P，Q两点中只有一个点在线段AB上时，分两种情况进行讨论：①只有P点在线段AB上；②只有Q点在线段AB上．分别列出关于m的不等式组，求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（2，2）与点B关于y轴对称，
∴点B的坐标是（﹣2，2）；
（2）把y＝2代入y＝﹣x+m，得2＝﹣x+m，解得x＝m﹣2，
∴点P的坐标为（m﹣2，2）；
把y＝2代入y＝，得2＝，解得x＝m，
∴点Q的坐标为（m，2）；
（3）∵点P的坐标为（m﹣2，2），点Q的坐标为（m，2），
∴点P在点Q的左边．
当P，Q两点中只有一个点在线段AB上时，分两种情况：
①只有P点在线段AB上时，
由题意，得，解得2＜m≤4；
②只有Q点在线段AB上时，
由题意，得，解得﹣2≤m＜0．
综上可知，所求m的取值范围是﹣2≤m＜0或2＜m≤4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了关于y轴对称的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用．
24．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．
【考点】切线的判定与性质；平行四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【分析】（1）连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只要证明CD⊥OC即可．
（2）连接AC，BD交于点E．求出BE，再根据BD＝2BE可得结论．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OB＝OC，∠B＝45°，
∴∠BCO＝∠B＝45°．
∴∠BOC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠OCD＝∠BOC＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接AC，BD交于点E．
∵AB是直径，AB＝8，
∴∠ACB＝90°．
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查切线的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（2019•海淀区一模）为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）．
b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
46%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 A （填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断 乙学校综合素质展示的水平更高 学校综合素质展示的水平更高，理由为 与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 88.5 分的学生才可以入选．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；用样本估计总体．
【专题】统计的应用．
【分析】（1）求得甲校的中位数即可得到结论；
（2）根据频数分布直方图和表中信息即可得到结论；
（3）求得每所学校被取了50名学生的综合素质展示的前15名学生将被选入志愿服务团队，于是得到结论．
【解答】解：（1）甲学校学生成绩的中位数为＝81.25，
乙学校学生成绩的中位数为84，
故这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A，
故答案为：A；
（2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为：与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多；
故答案为：乙学校，与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多
（3）×50＝15，
故甲学校分数至少达到88.5分的学生才可以入选，
故答案为：88.5．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，众数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．（2021春•丰台区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点A（﹣3，0），B（﹣1，），C（2，﹣1）中，⊙O的伴随点是 B，C ；
②点D在直线y＝﹣x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；
（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）①画出图形，求出切线长，根据⊙O的伴随点的定义判断即可．
②如图2中，设点D的坐标为（d，﹣d+3），构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问题．
（2）求出几种特殊位置时m的值即可判断．①如图3﹣1中，设ET是⊙M的切线，当FT＝6时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点．②如图3﹣2中，设ET是⊙M的切线，连接MT，则∠MTE＝90°．③如图3﹣3中，当⊙M在直线EF的右侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．分别求出m的值，结合图形即可得出结论．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵A（﹣3，0），B（﹣1，），C（2，﹣1），
∴切线AG的长＝＝2＞2，
切线BN的长＝2，
切线CM的长＝2，
∴点B，C是，⊙O的伴随点，
故答案为：B，C．
②如图2中，设点D的坐标为（d，﹣d+3），
当过点D的切线长为2r＝2时，
OD＝＝，
∴d2+（﹣d+3）2＝5，
解得 d1＝2，d2＝1．
结合图象可知，点D的横坐标d的取值范围是1≤d≤2．
（2）由题意E（﹣，0），F（0，3）．
①如图3﹣1中，设ET是⊙M的切线，当FT＝6时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，此时m＝6．
观察图象可知：当﹣6≤m＜﹣时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点．
②如图3﹣2中，设ET是⊙M的切线，连接MT，则∠MTE＝90°
当ET＝6时，EM＝＝＝3，此时m＝3﹣，
③如图3﹣3中，当⊙M在直线EF的右侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．
∵E（﹣，0），F（0，3），
∴OE＝，OF＝3，
∴EF＝＝，
∵EF是切线，
∴EF⊥MT，
∴∠MTE＝∠EOF＝90°，
∵∠MET＝∠FEO，
∴△MTE∽△FOE，
∴＝，
∴＝
∴EM＝，
此时m＝﹣，
结合图象可知，当﹣＜m≤3﹣时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，
综上所述，m的取值范围是﹣6≤m＜﹣或﹣＜m≤3﹣．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆的伴随点的定义，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
2．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
5．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
6．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
7．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
8．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
9．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
10．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
13．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
14．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
15．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
16．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
17．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
18．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
21．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
22．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
23．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
25．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
26．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
27．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
28．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
29．圆的综合题
圆的综合题．
30．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
31．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
32．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
33．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
34．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
35．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
36．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
37．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
38．调查收集数据的过程与方法
（1）在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况．
（2）统计图通常有条形统计图，扇形统计图，折线统计图．
（3）设计调查问卷分以下三步：①确定调查目的；②选择调查对象；③设计调查问题．
（4）统计调查的一般过程：
①问卷调查法﹣﹣﹣﹣﹣收集数据；
②列统计表﹣﹣﹣﹣﹣整理数据；
③画统计图﹣﹣﹣﹣﹣描述数据．
39．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
40．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
41．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
42．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
43．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
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