2022届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答字写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝R，集合A＝{x||x－2|≤1}，B＝{x|2x－4≥0}，则集合eq A∩(∁\s\d(U)B)＝
A．(1，2) B．(1，2] C．[1，2) D．[1，2]
2．在eq (x－\f(1,x))\s\up6(4)的二项展开式中，第二项的系数为
A．4 B．－4 C．6 D．－6
3．i是虚数单位，设复数z满足eq iz＝|－\f(\r(,3),2)＋\f(i,2)|＋i，则z的共轭复数 eq \(z,\s\up6(-))＝
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
4．如果在一次实验中，测得(x，y)的五组数值如下表所示，
经计算知，y对x的线性回归方程是ŷ＝6.5x＋，预测当x＝6时，y＝
附：在线性回归方程ŷ＝＋x中，＝，＝ eq \(y,\s\up6(-))－ eq \(x,\s\up6(-))，其中 eq \(x,\s\up6(-))， eq \(y,\s\up6(-))为样本平均值．
A．47.5 B．48 C．49 D．49.5
5．平面内三个单位向量a，b，c满足a＋2b＋3c＝0，则
A．a，b方向相同 B．a，c方向相同
C．b，c方向相同 D．a，b，c两两互不共线
6．若双曲线C1：y2－3x2＝λ(λ≠0)的右焦点与抛物线C2：y2＝8x的焦点重合，则实数λ＝
A．±3 B．eq －\r(,3) C．3 D．－3
7．有5个相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是
A．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件
B．“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件
C．“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率
D．“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率
8．正四面体ABCD的棱长为a，O是棱AB的中点，以点O为球心的球在△BCD上截得的曲线与CD相切，则球O的体积是
A．eq \f(1,6)πa3 B．eq \f(\r(,2),6)πa3 C．eq \f(\r(,3),6)πa3 D．eq \f(\r(,2),3)πa3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和，则
A．eq S\s\d(6)＝2S\s\d(4)－S\s\d(2) B．eq S\s\d(6)＝3(S\s\d(4)－S\s\d(2))
C．S2n，S4n－S2n，S6n－S4n成等差数列 D．EQ \F(S\S\DO(2),2)，EQ \F(S\S\DO(4),4)，EQ \F(S\S\DO(6),6)成等差数列
10．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼．学生的体能检测结果X服从正态分布N(75，81)，其中60为体能达标线，90为体能优秀线，下列说法正确的有
附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.9974．
A．该校学生的体能检测结果的期望为75
B．该校学生的体能检测结果的标准差为81
C．该校学生的体能达标率超过0.98
D．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等
11．下列函数中，最大值是1的函数有
A．y＝|sinx|＋|csx| B．y＝sin2x－cs2x
C．y＝4sin2xcs2x D．eq y＝\f(tanxtan2x,tan2x－tanx)
12．已知函数f(x)＝aEQ \F(e\S(x),x)－x＋lnx(a∈R)，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得f(t)＜f(s)，则满足条件的实数a的可能值有
A．－1 B．0 C．eq \f(1,e) D．1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱和圆锥的表面积分别为S1，S2，则eq \f(S\s\d(1),S\s\d(2))＝ ▲ ．
14．已知圆C：(x－2)2＋(y＋4)2＝2，点A是x轴上的一个动点，直线AP，AQ分别与圆C相切于P，Q两点，则圆心C到直线PQ的距离的取值范围是 ▲ ．
15．已知函数f(x)＝eq \r(,3)sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))在一个周期内的图象如图所示，其中点P，Q分别是图象的最高点和最低点，点M是图象与x轴的交点，且MP⊥MQ．若f(eq \f(1,2))＝eq \f(\r(,3),2)，则tanφ＝ ▲ ．
(第15题图)
16．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(|x|＋1)＝2f(|x|－1)．若当x∈(0，1)时，f(x)＝1－|2x－1|，则f(x)在区间(－1，3)上的值域为 ▲ ，g(x)＝f(x)－eq \f(4,5)x在区间(－1，3)内的所有零点之和为 ▲ ．(本小题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
在①sinB＋sinC＝eq \f(10\r(,2),9)，②csB＋csC＝eq \f(10,9)，③b＋c＝5这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，sinA＝eq \f(2\r(,2),3)， ，求△ABC的面积．
18．(12分)
某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔．为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良”、“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并进入下一个项目，否则该同学在此项目中不通过，且不能参加后续的项目．通过了全部三个项目的同学进入到数学建模社团．现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中得“优”、“良”、“中”的概率都分别为eq \f(1,6)，eq \f(p,2)，eq \f(p,3)，且甲在每个项目中的成绩均相互独立．
(1)求甲能进入到数学建模社团的概率；
(2)设甲在本次数学建模社团选拔中恰好通过X个项目，求X的概率分布及数学期望．
19．(12分)
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an－eq \f(1,n(n＋1))，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{an2}的前n项和为Sn，求证：Sn＜eq \f(4n,2n＋1)．
20．(12分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AA1＝AB，点D，E分别为棱BC，B1C1上的点，且eq \f(BD,BC)＝eq \f(C\s\d(1)E,C\s\d(1)B\s\d(1))＝t(0＜t＜1)．
(1)若t＝eq \f(1,2)，求证：AD∥平面A1EB；
(2)若二面角C1－AD－C的大小为eq \f(π,3)，求实数t的值．
21． (12分)
已知椭圆C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(,2),2)，且椭圆C的右焦点F到右准线的距离为eq \r(,3)．点A是第一象限内的定点，点M，N是椭圆C上两个不同的动点(均异于点A)，且直线AM，AN的倾斜角互补．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线MN的斜率k＝1，求点A的坐标．
22．(12分)
已知实数a＞0，函数f(x)＝xlna－alnx＋(x－e)2，e是自然对数的底数．
(1)当a＝e时，求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：f(x)存在极值点x0，并求x0的最小值．
x
0
1
2
3
4
y
10
15
20
30
35