高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图课后测评

8.2  立体图形的直观图(精讲)

考法一 平面图形的直观图

【例1-1】按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．

【答案】参考答案见试题解析．

【解析】

画法：

(1)在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H．

(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°．

(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD．

(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．

【例1-2】．如图，四边形是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.

【答案】图像见解析，

【解析】

画出平面直角坐标系，使点与原点重合，在轴上取点，使，再在轴上取点，使，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，则四边形为正方形的原图形，如图所示.

易知四边形为平行四边形.

∵，，

∴，即原图形的面积为.

【举一反三】

1．一个菱形的边长为4cm，一内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图。

【答案】见解析.

【解析】

菱形直观图如下：

2．画出图中水平放置的四边形的直观图.

【答案】图见解析.

【解析】

由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点，而B、D对应点位置不变，如下图示：

3．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，，，能否判断的形状并求边的实际长度是多少？

【答案】答案见解析

【解析】根据斜二测画法规则知：，故为直角三角形，

中，，，故.

考法二 空间几何体的直观图

【例2-1】用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体的直观图.

【答案】见解析

【解析】

如图所示：在空间直角坐标系中画出一个正方体的直观图，

擦除坐标轴，即可得到直方图的直观图.

【例2-2】．用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.

【答案】见解析

【解析】

(1)如图，在正六边形中，取所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O.在图中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使；

(2)根据斜二测画法法，画出正六边形水平放置的直观图；

(3)画侧棱，过各点分别作z轴的平行线，得到正六棱柱的侧棱；

(4)成图，顺次连接，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，

【举一反三】

1．用斜二测画法画一个上底面边长为1cm，下底面边长为2cm，高(两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度)为2cm的正四棱台.

【答案】见解析

【解析】(1)画轴.如图(1)所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使.

(2)画下底面.以点O为中点，在x轴上截取线段，在y轴上截取线段，分别过点作y轴的平行线，过点作x轴的平行线，设它们的交点分别为，四边形就是正四棱台的下底面.

(3)画高.在上截取，过分别作平行于的直线.

(4)画上底面.在平面上用画正四棱台下底面的方法画出边长为1cm的正四棱台的上底面的直观图.

(4)成图.顺次连接，整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)得到正四棱台的直观图，如图(2)所示.

2．用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧楼长为3cm的正三棱柱的直观图.

【答案】见解析.

【解析】

正三棱柱直观图如图：

3．画底面半径为1cm，母线长为3cm的圆柱的直观图。

【答案】见解析.

【解析】

圆柱直观图如图：

4．画出各条棱长都相等的正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图.

【答案】见解析

【解析】

第一步：画轴、轴、轴，使，

第二步：按轴、轴，画正六边形的直观图

第三步：过各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取都等于棱的长

第四步：顺次连接，去掉辅助线及字母，将被遮挡的部分改为虚线，就得到所求作的正六棱柱的直观图.

考法三 直观图与原图的周长面积

【例3】如图是水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图，且轴，轴，则原四边形ABCD的面积是(    )

A．14 B． C．28 D．

【答案】C

【解析】

(方法一)还原平面图形，如图左所示，延长，交轴于，如图右所示，画出平面直角坐标系，取，过点E作轴，在EF上截取，，再过点D作轴，过点A作轴，并截取，.连接BC，可得直观图的原平面图形ABCD.

由作出的图形可知，.

(方法二)因为，所以梯形的高为，

故，

则.

故选：C

【举一反三】

1．是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，

画对应的轴，轴，使，如下图所示，

结合图形，的面积为，

作，垂足为，

则，，

所以的面积，

即原图和直观图面积之间的关系为，

所以，的面积为.

故选：A.

2．用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

可以以直角顶点为坐标原点建立坐标系，由斜二测画法规则知，

在直观图中此角为钝角，排除C和D，

又原三角形的高在轴上，在直观图中在上，长度减半，排除A.

故选：B.

3．为边长为的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的面积为______．其直观图的周长为______．

【解析】

如图所示

为边长为2cm的正三角形，

则其水平放置的直观图的面积为

sin45°＝×2×(×2×sin60°)×sin45°＝；

其直观图的周长为

＝+2+

＝(+)+2+(﹣)＝2+.

故答案为：，2+.

考向四 斜二测法

【例4】关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是(    )

A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变

B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的

C．在画与直角坐标系对应的坐标系时,必须是45°

D．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同

【答案】C

【解析】根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的,并且或135°,

故选：C.

【举一反三】

1．利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是(    )

①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【答案】B

【解析】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错；

两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错；

根据直观图的画法中，平行性保持不变，可得③，④正确.

故选：B.

2.下列说法正确的是(    )

A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线

B．梯形的直观图可能是平行四边形

C．矩形的直观图可能是梯形

D．正方形的直观图可能是平行四边形

【答案】D

【解析】A项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A项错误。B项，原图形中平行的两条线段仍然平行，不平行的两条线段也不会平行，所以梯形的直观图不可能为平行四边形，故B项错误。C项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行，所以矩形的直观图中对边仍然平行，所以矩形的直观图可能为平行四边形而不能为梯形。故C项错误。D项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行，所以正方形中垂直的两边不一定仍然垂直，但是对边仍然平行，所以正方形的直观图可能是平行四边形。故D项正确。选D

3.下列命题中正确的是(   )

A．利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形

B．利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形

C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

【答案】B

【解析】利用斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形；

利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形；

有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；

用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台；

因此B正确，选B.