人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积当堂达标检测题

8.3  简单几何体的表面积与体积(精讲)

考法一  多面体表面积

【例1】(1)(2020·全国高一课时练习)已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为(    )

A． B．

C． D．

(2)(2021·江苏南京市)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为(      ).

A． B． C． D．

【答案】(1)A(2)B

【解析】(1)由题知侧面积为，两底面积之和为，所以表面积.故选：A.

(2)由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为和，腰长为的等腰梯形

等腰梯形的高为：

等腰梯形的面积为：棱台的侧面积为：

本题正确选项：

【举一反三】

1．(2020·湖南怀化市)已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意侧棱长为．所以表面积为：．故选：A.

2．(2020·张家界市民族中学高一月考)棱长为的正四面体的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图

由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，

所以，所以可知：正四面体的表面积为，

故选：A

3．(2020·长春市第二实验中学高一期末)正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.

考法二  多面体台体积

【例2】(2020·江苏南京市)底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是(    )

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是故选：A

【举一反三】

1．(2020·河北秦皇岛市)如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】三棱锥的体积为：故选：C

2．(2020·广东惠州市·高一期末)正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为(    )

A． B． C． D．8

【答案】C

【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，

∴该四棱锥的体积.故选：C.

3．(2020·六盘山高级中学高一月考)已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥如图所示，求它的体积.

【答案】

【解析】如图所示：

连接AC，BD交于点O，连接SO，

因为四棱锥的棱长均为4，

所以平面ABCD，即SO为四棱锥的高，

所以,

所以，

所以.

4．(2020·北京高一期末)如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.

(1)求正三棱锥的表面积；

(2)求正三棱锥的体积.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)取的中点D，连接，

在中，可得.

∴.

∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，

∴正三棱锥的侧面积是.

∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.

则正三棱锥的表面积为；

(2)连接，设O为正三角形的中心，则底面.

且.

在中，.

∴正三棱锥的体积为.

考法三  旋转体的表面积

【例3】(2020·山东德州市·高一期末)若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为，即，，,

所以，所以圆锥的侧面积为.

故选：C.

【举一反三】

1．(2021·浙江高一期末)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，

圆柱的侧面展开图是一个正方形，

，

圆柱的侧面积为，

圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，

圆柱的表面积与侧面积的比为：，

故选：．

2．(2020·全国高一)把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为(    )

A．10 B． C． D．

【答案】B

【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为，

所以底面圆的半径为r=10，

所以圆锥的高为.

故选：B

3．(2020·全国高一课时练习)一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

圆锥的底面半径为2，高为4，

设内接圆柱的底面半径为，

则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为，

因此，内接圆柱的高；

圆柱的侧面积为，

令，当时，；

所以当时，，

即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为.

故选：D.

考法四 旋转体的体积

【例4】(2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学)已知圆锥的母线长为5，底面周长为，则它的体积为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，

因为底面周长为，所以，解得，

又因为母线长为5，所以h=4，所以圆锥的体积是故选：B

【举一反三】

1．(2020·浙江杭州市·高一期末)将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为(     )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由扇形弧长公式可求得弧长，圆锥底面周长为，

圆锥底面半径，圆锥的高，

圆锥的体积.

故选：.

2．(2020·威海市教育教学研究中心高一期末)古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为(    )

A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈

【答案】B

【解析】由题意得，下底半径(丈)，上底半径(丈)，高(丈)，

所以它的体积为

所以(立方丈).故选：B.

3．(2020·贵州毕节市·高一期末)已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为(    )

A．3 B． C．9 D．

【答案】B

【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，

则圆柱的侧面积为，

故表面积为，得①，

又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，

得②，

联立①②得：，.

故该圆锥的体积为.

故选：B.

考法五 球

【例5】(1)(2020·长春市第二实验中学高一期末)已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为(    )

A． B． C． D．

(2)．(2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末(理))已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积(    )

A． B． C． D．

【答案】(1)B(2)C

【解析】(1)设正方体的棱长为a，球的半径为R，则，

球的表面积为，正方体的表面积为，

.故选：B

(2)设该正三棱锥为，将三棱锥补成正方体，如下图所示：

则正方体的棱长为，该正方体的体对角线长为，

所以，正三棱锥的外接球直径为，可得，

该球的表面积为.

故选：C.

【举一反三】

1．(2020·浙江高一期末)若一个球的直径为2，则此球的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积为，故选：D.

2．(2020·天津和平区·耀华中学高一期末)棱长为的正方体的外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以，解得，

所以球的表面积为：.故选：C

3．(2021·宁夏长庆高级中学高一期末)已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积，故选：C.

4.(2020·山东济宁市·高一期末)将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】正方体的棱长为3cm，所以球体最大体积的半径，

所以球的体积：.故选：B

考法六 组合体的体积表面积

【例6】(2020·全国高一课时练习)如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成(半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心)，则该器皿的表面积为(    )

A．54 B． C． D．

【答案】C

【解析】器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积

．

故选：C．

【举一反三】

1．(2020·山东菏泽市·菏泽一中高一月考)某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为(    )

A．20 B． C．16 D．

【答案】A

【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.

故选：A

2．(2020·河北沧州市一中高一期末)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为

.

故选：A.

3．(2021·周至县第二中学高一期末)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______．

【答案】8

【解析】由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径，

如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积

所以

故答案为：8