高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数随堂练习题

4.2指数函数

【题组一 指数函数的判断】

1(2019·南昌市新建一中高一月考)下列函数中，指数函数的个数为(　　)

① ②y＝ax ；③y＝1x；④

A．0 B．1

C．3 D．4

【答案】B

【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确．故选B

2．(2020·全国高一课时练习)下列各函数中，是指数函数的是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据指数函数的定义知，，A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；D正确.故选：D

3．(2020·全国高一课时练习)下列函数是指数函数的是________(填序号)．

①y＝4x；②y＝x4；③y＝(－4)x；④y＝4x2.

【答案】①

【解析】形如且)的函数，叫指数函数.

由指数函数定义，只有①是指数函数；②y＝x4是幂函数；③y＝(－4)x，由于底数，所以③不是指数函数；④y＝4x2不是指数函数.故答案为：①

4．(2020·浙江高一课时练习)下列函数中是指数函数的是________.

①；②；③；④；⑤；⑥.

【答案】①④

【解析】函数是指数函数，且也是指数函数，其它函数不符合指数函数的三个特征.

故答案为：①④.

5．(2020·河北鹿泉区第一中学高二月考)若函数是指数函数，则(    )

A． B． C．或 D．且

【答案】B

【解析】由指数函数的定义，得，解得．故选：B

6．(2020·全国高一课时练习)若函数(是自变量)是指数函数，则的取值范围是(    )

A．且 B．且

C．且 D．

【答案】C

【解析】由于函数(是自变量)是指数函数，则且，

解得且.故选：C.

【题组二 定义域和值域】

1．(2020·沙坪坝.重庆八中高一期末)已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】实数且,若函数的值域为,

当时,当时,的值域为,与值域为矛盾,所以不成立

当时,对于函数,,函数的值域为.所以只需当时值域为的子集即可.即,解得(舍去)综上可知的取值范围为故选:D

2．(2020·上海市新中高级中学高一月考)函数的定义域为__________.

【答案】

【解析】函数的自变量满足：，

解得即 .故答案为：

3．函数的定义域为______________．

【答案】

【解析】换元，得出，解得(舍去)或，即，解得.

因此，函数的定义域为，故答案为.

4．(2020·浙江金华.高一期末)已知函数，则的最小值是_____________.

【答案】

【解析】当时，函数单调递增，此时；

当时，设，，

此时，．综上可知，函数的最小值是．故答案为：．

5．(2020·山东滨州.高三三模)已知函数．若，使得，则实数的最大值为__________．

【答案】2

【解析】由题意可知，函数在的值域是函数在上值域的子集，

，

，

等号成立的条件是，即，成立，

即函数在的值域是

，是增函数，当时，函数的值域是，

所以，解得：，

所以实数的最大值是2.

故答案为：2

6．(2020·吉林南关.长春市实验中学高二期中(文))已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是__________.

【答案】

【解析】因为“对任意，存在，使”是真命题，

所以只需，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，

因为函数在上单调递减，所以

所以，故答案为：

7．(2020·贵州高三其他(理))函数的值域为____________.

【答案】

【解析】，，，，

所以，则.故答案为：

8．(2020·上海高三专题练习)函数的值域是_________.

【答案】

【解析】设
当 时，有最大值是9；当 时，有最小值是-9， ，由函数 在定义域上是减函数，∴原函数的值域是 故答案为

9．(2020·陕西新城.西安中学高二期末(文))若函数有最大值3，则实数a的值为__________.

【答案】2

【解析】令，则，由题意有最大值3，则有最小值，

所以且，解得.故答案为：2

10．(2020·上海高一课时练习)函数在的最大值为，那么________.

【答案】

【解析】令，则，对称轴为，在

单调递增，所以，解得.故答案为：

11．(2020·上海黄浦.高三二模)已知函数的定义域和值域都是，则________．

【答案】

【解析】当时，函数在上单调递增，

所以，即，此时方程组无解.

当时，函数在上单调递减，

所以，即，解得：

所以，则

故答案为：.

【题组三 指数函数性质】

1．(2019·宁夏贺兰县景博中学高一月考)函数的增区间是________________ .

【答案】

【解析】函数的定义域为，令，则，

因为在上单调递减，

而在上单调递减，

所以函数的增区间为.故答案为：

2．(2020·四川泸县五中高一月考)若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】本题等价于在上单调递增，对称轴，

所以，得．即实数的取值范围是．

3．(2020·黑龙江萨尔图.大庆实验中学高二期末(文))已知，，，则，，的大小关系是______．

【答案】

【解析】∵指数函数是单调减函数，，∴,

是单调增函数，∴，∴，故答案为：.

4．(2019·贵州高二学业考试)已知在上恒成立，则实数的最大值是__________.

【答案】2

【解析】由指数函数的性质，可得在为单调递增函数，所以，

可得，即最小值为2，又由在上恒成立，所以，

即实数的最大值2.故答案为：2.

5．(2020·上海高一课时练习)求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.

(1)；             (2)；

(3)；              (4).

【答案】(1)定义域：，值域：，减区间：；(2)定义域：，值域：，减区间：和；(3)定义域：R，值域：，增区间：，减区间：；(4)值域，减区间：，增区间：

【解析】(1)由得，所以定义域为，又，

所以，，所以值域中，

在上是减函数，所以的减区间是；

(2)由得，所以定义域是，

又，所以值域是，

在和上都是增函数，

所以的减区间是和；

(3)定义域是，又，所以值域中，

在上递增，在上递减，

所以的增区间，减区间是；

(4)定义域是，令，由，所以，

，所以，值域，

又在上递减，在上递增，而是减函数，

所以的减区间是，增区间．

6．(2019·江西省遂川中学)若函数为奇函数．

(1)求的值；

(2)求函数的定义域；

(3)求函数的值域．

【答案】(1)；(2)；(3)．

【解析】(1)记，∵是奇函数，

∴，∴；

(2)，，∴定义域为；

(3)由(1)，

∵，∴或，

∴或，∴或．

∴值域为．

【题组四 定点】

1．(2020·全国高一课时练习)已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是(    )

A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)

【答案】A

【解析】当，即时，，为常数，

此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.

2．(2020·吉化第一高级中学校高二期末(理))函数且的图象过定点，这个点的坐标为______

【答案】

【解析】令，，所以函数过定点.故答案为:.

3．(2020·公主岭市第一中学校高一期中(理))函数的图象恒过定点P，则点P的坐标为________.

【答案】

【解析】由指数函数过定点

且图像向右平移1个单位，向上移动1个单位得到图像，

所以函数过定点故答案为：

4．(2019·全国高三其他(文))函数(且)的图象过定点，则点的坐标为______.

【答案】

【解析】由得,此时,

即函数过定点，故答案为: .

【题组五 图像】

1．(2020·浙江高一课时练习)二次函数与指数函数的图像的交点个数为(    )

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【解析】二次函数，且时，；时，.

指数函数,当时，；时，.

两个函数上均单调递减，在坐标系中画出与的图象，如图所示，由图可得，两个函数图像的交点个数为1.

故选：C.

2．(2020·河南林州一中高二月考(理))函数的图象大致为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】作出函数的图象，如下图所示，

将的图象向左平移个单位得到图象.

故选：B

3．(2019·辛集市第二中学高二期中)已知a＞1，则函数y=ax与y=(a-1)x2在同一坐标系中的图象可能是(　　　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵a＞1，∴函数y=ax为增函数，

函数y=(a-1)x2在(-∞，0)上为减函数，在(0，+∞)上为增函数．故选：A．

4．(2020·上海高三专题练习)已知,则函数的图像必定不经过(     )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】此题考查指数函数的图像的性质和指数函数的上下平移；有已知得到：此指数函数是减函数，分布在第一，二象限，渐近线是轴，即；()是由指数函数向下平移大于1个单位得到的，即原来指数函数所过的定点向下平移到原点的下方了，所以图像不经过第一象限，所以选A，如下图所示：

5．(2020·四川成都七中高一月考)设且则函数与在同一坐标系中的图象可能是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对A，中的，中的，不能统一，错误；

对B，中的，中的，不能统一，错误；

对C，中的，中的，正确；

对D，中的，中的，不能统一，错误；

故选：C.

6．(2019·安徽省肥东县第二中学高一期中)已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】很显然，均大于1；与的交点在与的交点上方，

故，综上所述:.故选:C.

7．(2019·伊宁市第八中学高一期中)若函数的图象不经过第二象限，则有(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，当时，，所以函数的图象不经过第二象限，

则有，解得，故选：D.

8．(2019·安徽高一月考)若函数，(，且)的图像经过第一，第三和第四象限，则一定有(    )

A．且 B．且

C．且 D．且

【答案】B

【解析】根据指数函数的图象和性质可知，要使函数y＝ax﹣(b+1)(a＞0且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则函数为增函数，∴a＞1，且f(0)＜0，即f(0)＝1﹣b＜0，解得b＞1，故选：B．

9．(2019·河南中原.郑州一中高一开学考试)若函数(且)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(    )．

A．且 B．且 C．且 D．且

【答案】C

【解析】，经过二、三、四象限，则其图像应如图所示：

所以，，即，故选B.

10．(2020·全国高一课时练习)函数的部分图象大致为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，的定义域为，排除C,D；

当时，，∵，∴ 在上单调递减，排除A，故选B.

【题组六  综合运用】

1．(2020·安徽贵池池州一中高二期中(文))已知函数，.

(1)当时，，求函数的值域；

(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)当时，令，由，得，

，

当时，；当时，．

∴函数的值域为；

(2)设，则，在对任意的实数x恒成立，

等价于在上恒成立，

∴在上恒成立，

∴，

设，，函数在上单调递增，在上单调递减，

∴，

∴．

2．(2020·河北承德高一期末)已知函数，.

(1)当时，求的值域；

(2)若的最大值为，求实数的值.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)当时，在上单调递减，

故，，

所以的值域为.

(2)，

令，

则原函数可化为，其图象的对称轴为.

①当时，在上单调递减，

所以，无解；

②当时，，

即，解得；

③当时，在上单调递增，

所以，

解得，不合题意，舍去.

综上，的值为.

3．(2019·甘肃城关兰州五十一中高一期中)已知函数，

(1)若，求的单调区间；

(2)若有最大值3，求的值.

(3)若的值域是，求的取值范围.

【答案】(1)函数f(x)的递增区间是(−2,+∞),递减区间是(−∞,−2)；(2)a=1；(3){0}

【解析】(1)当a=−1时, ，

令，

由于g(x)在(−∞,−2)上单调递增,在(−2,+∞)上单调递减，

而在R上单调递减，

所以f(x)在(−∞,−2)上单调递减,在(−2,+∞)上单调递增，

即函数f(x)的递增区间是(−2,+∞),递减区间是(−∞,−2).

(2)令,,由于f(x)有最大值3，

所以h(x)应有最小值−1，

因此=−1，

解得a=1.

即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

(3)由指数函数的性质知，

要使y=h(x)的值域为(0,+∞).

应使的值域为R，

因此只能有a=0.

因为若a≠0,则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.

故a的取值范围是{0}.

4．(2019·浙江高二学业考试)已知函数，．

(1)若函数为奇函数，求实数的值．

(2)若对任意的都有成立，求实数的取值范围．

【答案】(I)(II)

【解析】(1) 已知函数为奇函数，由，求得的值；(2)恒成立问题通常是求最值，将原不等式整理为对恒成立，进而求在上的最小值，得到结果.

试题解析：(1)因为是奇函数，所以，即所以对一切恒成立，

所以.

(2)因为，均有即成立，

所以对恒成立，

所以,

因为在上单调递增，所以，

所以.