数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）复习练习题

4.5  函数的应用(二)

考点一 零点的求解

【例1】(2020·武威第六中学高二期末(文))若函数的零点是()，则函数的零点是(    )

A． B．和 C． D．和

【答案】B

【解析】由条件知，∴，∴的零点为和.故选B.

【举一反三】

1．(2020·全国高三课时练习(理))已知函数f(x)＝，则函数f(x)的零点为(    )

A．，0 B．－2，0 C． D．0

【答案】D

【解析】当时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，

又因为，所以此时方程无解.综上所述，函数f(x)的零点只有0.故选：D

2.已知函数，则函数的零点为________．

【答案】0

【解析】当时，由，解得；

当时，由，解得，又因为，所以此时方程无解．

综上，函数的零点为0.

考点二 零点区间的判断

【例2】(2020·湖南娄底·高二期末)函数的零点所在的区间为( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】可以求得，所以函数的零点在区间内．故选C．

【举一反三】

1．(2020·宁县第二中学高二期中(文))函数f(x)=的零点所在的一个区间是

A．(-2，-1) B．(-1,0) C．(0,1) D．(1,2)

【答案】B

【解析】因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f(0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(-1,0)，选B．

2．(2020·甘肃省岷县第一中学高二月考(文))函数的零点所在区间为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，，

，，，

由零点存在定理可知：零点所在区间为.故选：.

3．(2020·浙江衢州·高一期末)函数的零点所在的区间是(     )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，，，

    零点所在区间为故选：

考点三 零点个数的判断

【例3】(1)(2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末(文))函数的零点个数为(    )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

(2)(2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中)方程的实数解的个数为(    )

A．1 B．2 C．3 D．0

【答案】(1)C(2)A

【解析】(1)令，则，即，又，故该方程有两根，且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选：

(2)方程的实数解的个数，即为方程的实数解的个数，

即为函数与函数图象的交点的个数，

在同一坐标系中作出函数与函数的图象，如图所示：

只有一个交点，所以方程的实数解的个数为1故选：A

【举一反三】

1．(2020·四川内江·高三三模(理))函数的零点个数为_______.

【答案】2

【解析】令，则，

在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：

由图象可知，函数当时，则与的图象有必有两个交点，

所以方程有两个不同实根，所以函数的零点个数为2.

故答案为：2.

2．(2020·浙江高一课时练习)方程的实根的个数为________．

【答案】2个

【解析】方程的实根个数可转为函数和的交点个数，

在同一坐标系中作出和的图像，

如图，可得交点个数为2个，

故方程的实根个数是2个，

故答案为：2个

3.已知，则函数的零点的个数为______.

【答案】2

【解析】函数的零点的个数即为方程的解的个数，也就是函数与的图象的交点的个数.

画出函数图象如图所示，

观察可得函数与的图象的交点的个数为2，从而函数的零点的个数为2

考点四 根据零点求参数

【例4】．(2020·山西应县一中高二期中(文))已知关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意,画出的图像如下图所示:

由图像可知,若方程有两个不等实根则函数图像在轴左侧的最大值大于等于1即可

所以 即故选:D

【举一反三】

1．(2020·江苏省海头高级中学高一月考)方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】方程中，令，得，

化简得，解得，所以时，方程有两个不相等的实数根；故选：B.

2．(2020·内蒙古集宁一中高二月考(文))若函数的零点所在的区间为,则k=(    )

A．3 B．4 C．1 D．2

【答案】D

【解析】∵且单调递增,∴的零点所在的区间为(2,3),∴.故选：D

3．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围              ．

【答案】(1,2)

【解析】由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，

因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，

所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知， 0<a－1<1，所以1<a<2.

即a的取值范围为(1,2)．

考点五 二分法

【例5】(2020·福建高一期中)设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，则方程的根落在区间　　

A． B． C． D．不能确定

【答案】B

【解析】 又

由零点存在定理可得在区间存在零点.方程的根落在区间

故选：B．

【举一反三】

1．(2020·全国高一单元测试)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)

A．[1,4] B．[－2,1]

C． D．

【答案】D

【解析】∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为.

2．(2020·浙江高一单元测试)利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：

那么方程的一个根位于下列区间 ( )

A．(0.6，1.0) B．(1.4，1.8) C．(1.8，2.2) D．(2.6，3.0)

【答案】C

【解析】构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C

3．(2019·海南龙华·海口一中高二月考)下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)•f(b)＜0A、B中不存在f(x)＜0，D中函数不连续．故选C．

考法六 函数模型

【例6】(2020·定远县育才学校)某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：)

A．2022年 B．2023年

C．2024年 D．2025年

【答案】C

【解析】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过万元，

由题意可得：，即，

两边取对数可得：，则，

即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是年.故选C.

【举一反三】

1．(2020·湖北郧阳·高二月考)一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过(    )小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：，，答案采取四舍五入精确到)

A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时

【答案】A

【解析】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．

则，，，，

．故选：A．

2．(2020·重庆)某品牌牛奶的保质期(单位：天)与储存温度(单位：)满足函数关系.该品牌牛奶在的保质期为270天，在的保质期为180天，则该品牌牛奶在的保质期是(    )

A．60天 B．70天 C．80天 D．90天

【答案】C

【解析】由题意可知，，，可得，

所以，

故该品牌牛奶在的保质期是80天.

故选：C

3．(2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为(    )(提示：)

A．93.8万亿元 B．97万亿元 C．99.9万亿元 D．106.39万亿元

【答案】C

【解析】依题意可得2020年的国内生产总值约为

故选：C

4．(2020·辽宁锦州)水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为. 现水葫芦覆盖面积(单位)与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.

(参考数据： )

(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(Ⅱ)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.

【答案】(1)(2)原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.

【解析】(Ⅰ)的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢.

   则有，    解得 ，

(Ⅱ)当时，

该经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 有

答：原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.