清单38 离散型随机变量的分布列、均值与方差(原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单38 离散型随机变量的分布列、均值与方差(原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共19页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单38 离散型随机变量的分布列、期望与方差
一、知识与方法清单
1.随机变量与离散型随机变量
如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母，，，等表示.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
【对点训练1】已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x，则当在内增大时，（ ）
A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)减小，D(ξ)增大
C．E(ξ)减小，D(ξ)减小 D．E(ξ)增大，D(ξ)减小
2. 离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量可能取的值为，，…，，…，，取每一个值的概率，则称表



…

…




…

…

为随机变量的概率分布列，简称为的分布列.有时为了简单起见，也可用，表示的分布列.
【对点训练2】（2021·重庆西南大学附中高三月考）据了解，现在快节奏的工作、不健康的生活方式，使人们患上“三高（高血压、高血脂、高血糖）”的几率不断升高，患病人群也日渐趋向年轻化．某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，现对该市30名男性成人进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“平均每天喝以上的”为常喝．已知在所有的30人中随机抽取1人，是糖尿病的概率为．

常喝
不常喝
合计
有糖尿病

2

无糖尿病
4


合计


30
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：（其中）．
（1）请将上述列联表补充完整；根据列联表判断是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由．
（2）研究发现，有5种药物对糖尿病有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是200元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望．
3. 离散型随机变量分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
【对点训练3】（2021浙江模拟预测）随机变量满足分布列如下：

0
1
2
P



则随着的增大（ ）
A．增大，越来越大
B．增大，先增大后减小
C．减小，先减小后增大
D．增大，先减小后增大
4. 用定义法求离散型随机变量ξ的分布列及均值、方差的步骤：
(1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值；
(2)求ξ取每个值的概率；
(3)写出ξ的分布列；
(4)由均值的定义求E(ξ)．
【对点训练4】（2021·四川·成都七中高三期中（理））某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为 .现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记.
产品件数
一等品
二等品
总计
甲生产线



乙生产线



总计



（1）请将列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关?
（2）为进一步了解产品出现等级差异的原因，现将样本中所有二等品逐个进行技术检验（随机抽取且不放回）.设甲生产线的两个二等品恰好检验完毕时，已检验乙生产线二等品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望.
















参考公式：.
5.求离散型随机变量的分布列一般要涉及到随机变量概率的求法,求概率时一定要弄清相应的概率类型（古典概型、相互独立事件的概率、独立重复实验、条件概率）.
(1) 利用古典概型求事件A的概率,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)＝求出事件A的概率,注意列举时必须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m,n,再运用公式P(A)＝求概率.
(2)较为复杂的概率问题的处理方法有：
①转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解；
②采用间接法,先求事件A的对立事件的概率,再由P(A)＝1－P()求事件A的概率.
【对点训练5】（2021·江苏·海安高级中学高三月考）某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，具体保养安排如下：
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
保养车辆尾号
和
和
和
和
和
该公司下属的某分公司有押运车共3辆，车牌尾号分别为0，5，6，分别记为A，B，C．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A，B，C三辆车每天出车的概率依次为，，，且A，B，C三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车．
（1）求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；
（2）设表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分布列及其数学期望．
6.两点分布(0－1分布)
随机变量的分布列为
X
1
0
P
p
1－p
则称服从两点分布，并称为成功概率，两点分布也称分布.
【对点训练6】设随机变量的分布列为
X
1
0
P


则
7.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝,k＝0,1,2,…,m,其中m＝min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列为超几何分布列.记为X～H(n,M,N).此时有.
【对点训练7】（2020·北京八中高三期中）1.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为，，…，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为重量超过505克的产品数量，求X的分布列．
（3）从流水线上任取2件产品，求恰有1件产品的重量超过505克的概率．
8.超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女生”“正品、次品”等,②总体一般是有限个.超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型的小球等模型注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不放回地抽取n个元素,当两类对象的总数量很大时,超几何分布近似于二项分布.
【对点训练8】（2021·云南·曲靖一中高三月考（理））“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人” 称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们的运动情况，选取了老师们在某日的运动数据进行分析，统计结果如下：

运动达人
参与者
合计
男教师
60
20
80
女教师
40
20
60
合计
100
40
140
（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关?
（2）从具有“运动达人”称号的教师中采用按性别分层抽样的方法选取5人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的5人中随机抽取2人作为代表参加开幕式，抽取的2人都为女教师的人数为随机变量X，求X的分布列.
参考公式：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
9.二项分布
如果随机变量的可能取值为0，1，2，…，n，且取值的概率(其中)，其随机变量分布列为

0
1
…
k
…
n



…

…

则称服从二项分布，记为.
【对点训练9】（2021吉林长春外国语学校高三期中）很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分､6分､3分､2分的新规定设置了一份试卷（满分100分），发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95分的为合格.

（1）求这12名新手的平均成绩与方差；
（2）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X表示成绩合格的人数，求X的分布列与数学期望.
10.条件概率
一般地，设，为两个事件，且，称为事件发生的条件下，事件发生的条件概率.读作发生的条件下发生的概率.
在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.
【对点训练10】（2021·四川成都·高三月考（理））若随机事件，满足，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11.条件概率具有的性质：
①；
②如果和是两个互斥事件，则.
【对点训练11】从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名.则其中学生丙被选取和被剔除的概率分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12.条件概率的求法
①利用定义,分别求出P(A),P(AB),得P(B|A)＝；
⑵借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB),即P(B|A)＝.
③为了求一些复杂事件的条件概率,往往可以先把它分解为两个(或若干个)互斥事件的和,利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)进行计算,其中B,C互斥.
【对点训练12】甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（　　）
A． B． C． D．
13.相互独立事件
(1)对于事件，，若事件的发生不会影响事件发生的概率，则称相互独立.
(2)若与相互独立，则，.
(3)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立.
(4)若，则，相互独立.
(5) 理解事件中常见词语的含义：
①A,B中至少有一个发生的事件为A∪B；
②A,B都发生的事件为AB；
③A,B都不发生的事件为；
④A,B恰有一个发生的事件为A∪B；
⑤A,B至多一个发生的事件为A∪B∪.
【对点训练13】（2021·云南·昆明一中高三月考）某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
14.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生、要么不发生,且任何一次试验中事件发生的概率都是一样的.在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,若Ai(i＝1,2,…,n)是第i次试验的结果,则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
(2)在n次独立重复试验中,事件A发生k次的概率为(每次试验中事件A发生的概率为p) Cpk(1－p)n－k　,事件A发生的次数是一个随机变量X,其分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k (k＝0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X～B(n,p).此时有.
【对点训练14】已知随机变量，，，则（ ）
A． B．
C． D．
15.离散型随机变量的数学期望（均值）
(1)若离散型随机变量的概率分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)若，其中，为常数，则也是随机变量，且 .
(3)①若服从两点分布，则；②若，则.
【对点训练15】（2022·江苏高三专题练习）已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为（ ）
A． B． C．3 D．4
16.离散型随机变量的方差
(1)若离散型随机变量的概率分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称DX＝为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差.
(2).
(3)①若服从两点分布，则；②若，则.
【对点训练16】设，随机变量X的分布列是：
X
-1
1
2
P



则当最大时的a的值是
A． B． C． D．
17.D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散；反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近,统计中常用来描述X的分散程度．随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定．
【对点训练17】（2021广东高三月考）已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．
（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；
（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．
18.高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度：(1)已知离散型随机变量符合条件,求其均值与方差；(2)已知离散型随机变量的均值与方差,求参数值；(3)已知离散型随机变量满足两种方案,试作出判断．利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策,品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否等很多问题都与这两个特征两量有关.若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量的期望,当时,不应认为它们一定一样好,需要用来比较这两个随机变量的方差,确定它们的偏离程度.若我们希望比较稳定性,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或接近.
【对点训练18】（2021·福建宁德·高三期中）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.
19.正态曲线的性质
(1)正态曲线的定义
函数，，其中实数和为参数，

我们称的图象(如图)为正态分布密度曲线.简称正态曲线.
(2)正态曲线的性质：
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在处达到峰值；
④曲线与轴之间的面积为1；
⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示.

⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.

【对点训练19】（2021广东湛江高三月考）某学校有100人参加暑期社会实践，实践结束时的综合能力测试成绩近似服从正态分布，若，则综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为___________.
20.正态分布的定义与简单计算
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布，记作.我们把在正态曲线函数中，，的正态分布叫做标准正态分布.
(2)服从正态分布的变量在三个特殊区间内取值的概率
①；
②；
③.
可以看到，正态总体几乎总取值于区间之内.而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则.
【对点训练20】（2021河北沧州高三月考）某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高（单位：）的情况，得出，随机测量一株水稻，其株高在（单位：）范围内的概率为（ ）
（附：若随机变量，则，）
A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174
21.正态分布是概率统计中相对较独立的一个考点,且已经从冷点转化为热点,求解此类问题,一般从入手,对于应用问题,要注意从较大的阅读量中提取有用的信息.以下两类问题是正态分布中的基本问题：
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ－σ,μ＋σ),(μ－2σ,μ＋2σ),(μ－3σ,μ＋3σ)中的哪一个.
【对点训练21】对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．
二、跟踪检测
一、单选题
1．（2021·河北邢台高三月考）已知随机变量服从正态分布N（3，4），若，则c的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
2．（2021重庆南开中学高三月考）在一次试验中，随机事件A，B满足，则（ ）
A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B一定不互斥
C．事件A，B一定互相独立 D．事件A，B一定不互相独立
3（2021·海南三模）“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多．假设每个“臭皮匠”单独解决某个问题的概率均为，现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少有一人解决该问题的概率为（ ）
A． B． C． D．0．936
4．（2020江苏仪征市第二中学高三月考）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究､应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法正确的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在和在单位：的概率一样大
5．设，则随机变量的分布列是：

0

1




则当在内增大时（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
6．（某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021河南驻马店模拟预测）已知从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．投壶是我国古代的一种娱乐活动，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”.“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，未投中（0筹）的概率为.乙的投掷水平与甲相同，且甲､乙投掷相互独立.比赛第一场，两人平局；第二场甲投中“有初”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知数列{an}满足a1＝0，且对任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，设an的值为随机变量ξn，则（　　）
A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1
C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）
10．随机变量的分布列如下图所示（且均为正数），则（ ）

A．
B．
C．,
D．
11．（1）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为；（2）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中小球的个数为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，那么（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．（2021江苏海安·高三开学考试）袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（ ）
A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．甲与乙对立
14． 4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间服从正态分布，则（ ）
（附：，，，.）
A．该校学生每周平均阅读时间为9小时；
B．该校学生每周阅读时间的标准差为4；
C．该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%；
D．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在3-5小时的人数约为210.
15．（2022江苏高三专题练习）掷一个均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为，恰好出现次正面的概率记为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．，，，，中最大值为
16．（2021广东·普宁市华侨中学高三期中）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，

则下列说法中正确的是（ ）
附：若随机变量X服从正态分布，则.
A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587
17．已知随机变量满足，，，若，则（ ）
A．有最大值 B．无最小值
C．有最大值 D．无最小值
18．（2021江苏盐城中学模拟预测）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．个球都是红球的概率为 B．个球不都是红球的概率为
C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为
三、填空题
19．（2021浙江丽水高三期中）一个袋子中有个大小相同的球，其中个黄球，个红球．规定：取出一个黄球得分，取出一个红球得分．现随机从袋中有放回地取次球（每次一个），记次取球得分之和为随机变量，则________．
20．校庆杯篮球赛期间，安排了投篮比赛游戏，现有20名同学参加投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.6，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为___________.
21．暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是.记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为，若当时，恒成立，则M的最小值为__________.
四、解答题
22．（2021北京市第十三中学高三期中）某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．（规定成绩不低于90分为“优秀”）

（1）估计高一年级知识竞赛的优秀率；
（2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列；
（3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差，的大小关系．（只需写出结论）
23．（2021江苏高邮高三月考）某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售.如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理.商家记录了100天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
频数
10
20
25
20
15
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（1）若商家一天购进该商品16件，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望；
（2）若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由.
24．（2021山东广饶一中高三月考）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.
（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为.
①求出的最大值点；
②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.