苏州工业园区东沙湖学校2020-2021学年初二数学下学期期中试卷（含答案）

这是一份苏州工业园区东沙湖学校2020-2021学年初二数学下学期期中试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年第二学期期中调研试卷
初二数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．
1. 下面图形是用数学家名字命名，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）．
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线
2. 为了调查某校学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了100名学生，下列说法正确的是（ ）
A. 此次调查属于全面调查 B. 样本容量是100
C. 1000名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生称为个体
3. 在中，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
4. 下列分式一定有意义的是（　　）
A. B. C. D.
5. 下列运算中正确的是（　　）
A. ＝ B.
C. •＝﹣ D.
6. 如图，函数与（）在同一平面直角坐标系中的图像大致（ ）
A. B. C. D.
7. 若点、都在反比例函数的图象上，则有（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　）

A. 四边形是平行四边形
B. 如果，那么四边形是矩形
C. 如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形
D. 如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形
9. 如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形，则三角形面积的最小值为（ ）

A. B. C. 1 D.
10. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝．其中正确结论的个数是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．
11. 下列事件，①通常加热到100℃，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°．其中是不确定事件的是____（只填写序号即可）
12. 反比例函数的图像经过点，则 的值为 ______ ．
13. 将八年级3班分成五个组，各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为1∶2∶5∶3∶1，人数最多的一组有15人，则该班共有_______人．
14. 已知，则代数式的值为_______________
15. 已知，，，都在反比例函数的图象上．若，则的值为___．
16. 已知关于分式方程的解是非负数，则的取值范围为______．
17. 如图，点P，Q分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为8，则菱形的边长为________．

18. 如图，一次函数的图象与轴交于两点，与反比例的图象交于两点，分别过两点作轴的垂线，垂足为，连接，有下列结论：①与面积相等；②；③；④．中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．

三、解答题：本大题共8小题，共54分．
19. 计算：．
20. 解方程：．
21. 先化简：，并从-1，0，1，2中选一个合适的数作为的值代入求值．
22. 某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除，按学校的卫生要求需要完成总面积为的三个项目的任务，三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如下图所示：

（1）从上述统计图中可知：①每人每分钟擦课桌椅______；
②擦玻璃、擦课桌椅、扫地拖地的面积分别是________，_______，________；
（2）他们一起完成扫地和拖地的任务后，把这13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，如果你是卫生委员，该如何分配这两组的人数，才能同时地完成任务．
23. 如图，已知在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点E是边AB上一动点，EF⊥AC于点F，ED⊥BC于点D，点G为FD的中点．
（1）求证：四边形CDEF矩形
（2）当点E由点A运动到点B时，求点G的运动路径长．

24. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）．

（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中；
（2）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？
25. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
26. 如图，反比例函数的图象与一次函数相交于，，直线与轴，轴分别交于点，．

（1）求，的值；
（2）求出点坐标，再直接写出不等式的解集；
（3）点在函数图象上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点坐标．



27. （1）下列关于反比例函数的性质，描述正确的有________．（填所有描述正确的选项）
A．y随x的增大而减小
B．图像关于原点中心对称
C．图像关于直线成轴对称
D．把双曲线绕原点逆时针旋转可以得到双曲线
（2）如图，直线、经过原点且与双曲线分别交于点A、B、C、D．点A、C的横坐标分别为，连接、、、．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若点A的横坐标，四边形的面积为S，求S与n之间的函数表达式；
③当m、n满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？并说明理由．


一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．
1. 下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）．
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对四个选项中的图形分别进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、“笛卡尔心形线”是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、“科克曲线”是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、“斐波那契螺旋线” 不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
2. 为了调查某校学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了100名学生，下列说法正确的是（ ）
A. 此次调查属于全面调查 B. 样本容量是100
C. 1000名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生称为个体
【答案】B
【解析】
【分析】根据全面调查与随机抽样调查、样本容量、总体、个体的定义逐项判断即可得．
【详解】A、此次调查属于随机抽样调查，此项错误；
B、样本容量是100，此项正确；
C、1000名学生的视力是总体，此项错误；
D、被抽取的每一名学生的视力称为个体，此项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了全面调查与随机抽样调查、样本容量、总体、个体，熟练掌握统计调查的相关概念是解题关键．
3. 在中，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4. 下列分式一定有意义的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可．
【详解】解：A.，当x=0时，分式无意义，故不合题意；
B.，无论x取何值，，分式有意义，故符合题意；
C.，当x=±1时，，分式无意义，故不合题意；
D.，当x=-1时，x+1=0，分式无意义，故不合题意．
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
5. 下列运算中正确的是（　　）
A. ＝ B.
C. •＝﹣ D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的性质以及运算法则逐项分析即可．
【详解】A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查分式的性质以及分式的乘除运算，熟记基本性质和运算法则是解题关键．
6. 如图，函数与（）在同一平面直角坐标系中的图像大致（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分k＞0和k＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】解：当k＞0时，函数的图象经过一、二、三象限，反比例函数的图象分布在二、四象限，没有选项符合题意；
当时，函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在一、三象限，B选项正确，
故选：B.
【点睛】考查了反比例函数和一次函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．
7. 若点、都在反比例函数的图象上，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据反比例函数y＝中k＜0判断出函数图象所在的象限，再得出在每一象限内函数的增减性，再根据三点横坐标的值即可判断出y1，y2，y3的大小．
【详解】解：∵反比例函数y＝中k＜0，
∴函数图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴y2＞y1＞0，
∵1＞0，
∴y3＜0，
∴y2＞y1＞y3．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8. 如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　）

A. 四边形是平行四边形
B. 如果，那么四边形是矩形
C. 如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形
D. 如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形
【答案】D
【解析】
【详解】由DE∥CA,DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形
故A. B正确；
如果AD平分∠BAC,那么∠EAD=∠FAD,又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形故C正确；
如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形，故D错误.
故选D
9. 如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形，则三角形面积的最小值为（ ）

A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形性质得出S△OAB＝OA•OB＝OA²，先求得OA取最小值时A的坐标，即可求得OA的长，从而求得△OAB面积的最小值．
【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝OB，
∴S△OAB＝OA•OB＝OA²，
∴OA取最小值时，△OAB面积的值最小，
∵当直线OA为y＝x时，OA最小，
解得或，
∴此时A的坐标为（1，1），
∴OA＝，
∴S△OAB＝OA²＝＝1，
∴△OAB面积的最小值为1，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
10. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝．其中正确结论的个数是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形和折叠的性质得出AF＝AB，∠B＝∠AFG＝90°，由HL即可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；
设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2，由勾股定理求出x＝3，得出②正确；
由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB＝∠FCG，证出平行线，得出③正确；
根据三角形的特点及面积公式求出△FGC的面积＝，得出④正确．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°，
∵CD＝3DE，
∴DE＝2，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE＝EF＝2，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，
∴AF＝AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，
设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2＋CE2＝EG2，
∵CG＝6−x，CE＝4，EG＝x＋2
∴（6−x）2＋42＝（x＋2）2
解得：x＝3，
∴BG＝GF＝CG＝3，
∴②正确；
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG，
∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，
又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF，
∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF，
∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，
∴∠AGB＝∠FCG，
∴AG∥CF，
∴③正确；
∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴，
∵S△GCE＝×3×4＝6，
∴S△CFG＝×6＝，
∴④正确；
正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．
11. 下列事件，①通常加热到100℃，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°．其中是不确定事件的是____（只填写序号即可）
【答案】②
【解析】
【分析】根据随机事件的定义分析，即可得到答案．
【详解】通常加热到100℃，水沸腾，是必然事件；
人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票，是不确定事件；
在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°，是不可能事件；
∴不确定事件的是②
故答案为：②．
【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握随机事件的分类，从而完成求解．
12. 反比例函数的图像经过点，则 的值为 ______ ．
【答案】6．
【解析】
【分析】直接把点代入反比例函数即可求出 的值．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，
解得：，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13. 将八年级3班分成五个组，各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为1∶2∶5∶3∶1，人数最多的一组有15人，则该班共有_______人．
【答案】36
【解析】
【分析】依据各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为1：2：5：3：1，人数最多的一组有15人，可得各组人数，进而得出总人数．
【详解】解：∵各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为1：2：5：3：1，人数最多的一组有15人，
∴各组人数分别为3人、6人、15人、9人、3人，
∴总人数为：3+6+15+9+3=36（人），
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，解题时注意：频数分布直方图中的小长方形高的比就是各组的频数之比．
14. 已知，则代数式的值为_______________
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可知y-x=3xy，整体代入原式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
原式

，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
15. 已知，，，都在反比例函数的图象上．若，则的值为___．
【答案】-9．
【解析】
【分析】根据反比例函数上点的特征得到、分别与、的关系，再把它们相乘，最后把代入即可．
【详解】将点A和B代入反比例函数得：，，
所以．
故答案为-9
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，图像为双曲线，图像上点的横、纵坐标的积是定值．
16. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】先解分式方程可得检验可得再由关于的分式方程的解是非负数，列不等式，解不等式，从而可得答案．
【详解】解：
去分母得：


检验：


关于分式方程的解是非负数，


综上：且
【点睛】本题考查的是分式方程的解与解分式方程，解一元一次不等式，掌握解分式方程一定要检验是解题的关键．
17. 如图，点P，Q分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为8，则菱形的边长为________．

【答案】10
【解析】
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH=8，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，
∵S菱形ABCD=AD×8=AB×CH，
∴CH=8，
∴，
∵BC2=CH2+BH2，
∴BC2=（16-BC）2+64，
∴BC=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
18. 如图，一次函数的图象与轴交于两点，与反比例的图象交于两点，分别过两点作轴的垂线，垂足为，连接，有下列结论：①与面积相等；②；③；④．中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．

【答案】①②④
【解析】
【分析】设点D的坐标为（，），则F（，0），根据三角形面积公式得到S△DFE＝S△CEF＝k，再根据面积相等的两个三角形若同底，则它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF；要判断△DCE≌△CDF，则四边形CEFD为等腰梯形，△OAB为等腰直角三角形，而a的值不确定，所以△DCE和△CDF不一定全等；易得四边形ACEF，四边形BDFE都是平行四边形，则AC＝EF＝BD，所以BD＝AC．
【详解】解：设点D的坐标为（，），则F（x，0）．
∵由函数的图象可知：x＞0，k＞0．
∴S△DFE＝DF•OF＝••＝，
同理可得S△CEF＝，
∴S△DEF＝S△CEF，故①正确；
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，
∴AC＝EF＝BD，
∴BD＝AC，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的满足其解析式；熟练由运用三角形面积公式和平行四边形的判定与性质解决线段相等的关键．
三、解答题：本大题共8小题，共54分．
19. 计算：．
【答案】x+2
【解析】
【分析】先计算括号里的，经过通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是通分、分解因式、约分，用到了平方差公式．
20. 解方程：．
【答案】无解
【解析】
【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．
【详解】解：去分母得：
整理得，解得，
经检验，是分式方程的增根，
故此方程无解．
【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．
21. 先化简：，并从-1，0，1，2中选一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再从﹣1，0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
∵2x≠0，(x+1)(x-1)≠0，
∴x≠0，x≠-1，x≠1，
∴当x＝2时，原式＝＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值，正确计算是解答本题的关键．
22. 某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除，按学校的卫生要求需要完成总面积为的三个项目的任务，三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如下图所示：

（1）从上述统计图中可知：①每人每分钟擦课桌椅______；
②擦玻璃、擦课桌椅、扫地拖地的面积分别是________，_______，________；
（2）他们一起完成扫地和拖地的任务后，把这13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，如果你是卫生委员，该如何分配这两组的人数，才能同时地完成任务．
【答案】（1）①；②16；20；44；（2）8人擦玻璃，5人擦课桌椅
【解析】
分析】（1）①②观察统计图，直接计算；
（2）把这13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，设有x人擦玻璃，则有（13-x）人擦课桌椅，擦玻璃面积是16m2，擦课桌椅的面积是20m2，据此列出方程，解之即可．
【详解】解：（1）①由统计图可得，
每人每分钟能擦课桌椅m2；
②擦玻璃的面积是80×20%=16m2，
擦课桌椅的面积是80×25%=20m2，
扫地拖地的面积是80×55%=44m2；
（2）设有x人擦玻璃，则有（13-x）人擦课桌椅，由题意得：
，
解得x=8，
经检验：x=8是方程的解，
∴13-x=13-8=5（人），
所以派8人擦玻璃，5人擦课桌椅，能同时完成任务．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23. 如图，已知在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点E是边AB上一动点，EF⊥AC于点F，ED⊥BC于点D，点G为FD的中点．
（1）求证：四边形CDEF是矩形
（2）当点E由点A运动到点B时，求点G的运动路径长．

【答案】（1）证明见详解；（2）．
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理逆定理证△ABC为直角三角形，可得∠ACB=90°，由EF⊥AC，ED⊥BC，可得∠CFE=∠CDE=90°，可证四边形CDEF为矩形；
（2）连结CE，由四边形CDEF为矩形，证点G在CE上，点G的路径为△ACB的中位线MN，由M，N分别为AC，BC中点，可得MN∥AB，且MN=即可．
【详解】解：（1）在△ABC中，，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵EF⊥AC，ED⊥BC，
∴∠CFE=∠CDE=90°，
∴∠ACB=∠CFE=∠CDE=90°，
∴四边形CDEF为矩形．
（2）连结CE，
∵四边形CDEF为矩形，
∵点G为FD的中点，
∴FG=GD，
∴点G在CE上，
根据矩形性质CG=GE，
当点E与点A重合时，点G与AC中点M重合，当点E与点B重合时，点G与BC中点N重合，
∴点G的路径为△ACB的中位线MN，
∵M，N分别为AC，BC中点，
∴MN∥AB，且点G的运动路径长=MN=．

【点睛】本题考查勾股定理逆定理，直角三角形，矩形的判定与性质，三角形中位线判定与性质，掌握勾股定理逆定理，直角三角形，矩形的判定与性质，三角形中位线判定与性质是解题关键．
24. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）．

（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中；
（2）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？
【答案】（1）5；（2）能
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求解时的注意力指数，即可得到答案；
（2）利用AB和CD的函数表达式，分别求出注意力指数为40时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能．
【详解】解：（1）设线段AB的解析式为：yAB=kx+b，
把（10，50）和（0，30）代入得，，
解得：，
∴直线AB的解析式为：yAB=2x+30；
当时，
设双曲线CD的函数关系式为：yCD=，
把（20，50）代入得，50=，
∴a=1000，
∴双曲线CD的函数关系式为：yCD＝，
当时，

上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第分钟时学生的注意力更集中
（2）由（1）得：当y=40时，2x+30=40，x=5；＝40，x＝25．
∴25-5=20＞18．
∴教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
25. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出，，，在中，由勾股定理得：，得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【详解】解：（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
26. 如图，反比例函数的图象与一次函数相交于，，直线与轴，轴分别交于点，．

（1）求，的值；
（2）求出点坐标，再直接写出不等式的解集；
（3）点在函数的图象上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点坐标．
【答案】（1），；（2）B（-2，-3），或；（3），，
【解析】
【分析】（1）将点A坐标代入直线和双曲线的解析式中，建立方程求解，即可得出结论；
（2）利用直线上点的特点，求出点B坐标，最后利用图象，即可得出结论；
（3）先求出点C，D坐标，最后利用平行四边形的对角线互相平分，建立或方程组求解，即可得出结论．
【详解】解：（1）把分别代入和得，
，
解得，
（2）由（1）知，，
∴直线AB的解析式为y=x-2，
将点B（n，-3）代入直线y=x-2中，得n-2=-3，

点坐标为
由图像可知，不等式的解集为：，
（3）由（2）知，直线AB的解析式为y=x-2，
当x=0时，y=-2，
∴D（0，-2），
当y=0时，x-2=0，
∴x=4，∴C（4，0），
由（1）知，k=6，
∴反比例函数的解析式为y=，
设点M（a，），N（b，0），
∵以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
①当CD与MN为对角线时，（0+4）=（a+b），（-2+0）=（+0），
∴a=-3，b=7，
∴N（7，0），
②当CM与DN为对角线时，（a+4）=（0+b），（+0）=（-2+0），
∴a=-3，b=1，
∴N（1，0），
③当CN与DM为对角线时，（b+4）=（a+0），（0+0）=（-2），
∴a=3，b=-1，
∴N（-1，0），
即满足条件的点N的坐标为（1，0）、（7，0）、（-1，0）
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，平行四边形的性质，用方程或方程组的思想解决问题是解本题的关键．
27. （1）下列关于反比例函数的性质，描述正确的有________．（填所有描述正确的选项）
A．y随x的增大而减小
B．图像关于原点中心对称
C．图像关于直线成轴对称
D．把双曲线绕原点逆时针旋转可以得到双曲线
（2）如图，直线、经过原点且与双曲线分别交于点A、B、C、D．点A、C的横坐标分别为，连接、、、．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若点A的横坐标，四边形的面积为S，求S与n之间的函数表达式；
③当m、n满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？并说明理由．

【答案】（1）BCD；（2）①平行四边形，理由见解析；②S=；③mn=6
【解析】
【分析】（1）利用反比例函数的性质，找出结论；
（2）①由正、反比例函数的对称性可得出，，进而可证出四边形为平行四边形；
②由的值可得出点的坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，由可求出的面积，再利用平行四边形的性质，即可求出与之间的函数表达式；
③利用矩形的判定定理可得出：当时，四边形是矩形，由点，的坐标结合，即可得出，再结合即可找出当四边形是矩形时，之间的关系．
【详解】解：（1），
在同一象限内，随的增大而减小，A不符合题意；
为反比例函数，
函数的图象关于原点中心对称，函数的图象关于直线成轴对称，B，C符合题意；
设点反比例函数上任意一点，
将该点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标为，，，
把双曲线绕原点逆时针旋转可以得到双曲线，D符合题意．
故答案为：BCD．
（2）①四边形为平行四边形，理由如下：
直线，经过原点且与双曲线分别交于点，，，，双曲线的图象关于原点中心对称，
点，关于原点对称，点、关于原点对称，
，，
四边形为平行四边形．
②当时，点的坐标为．
过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示．

点的坐标为，
，，，
，
，
．
四边形为平行四边形，
．
③当时，四边形是矩形．
点，横坐标分别为，，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
．
又，
，
，
当时，四边形是矩形．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、正比例函数的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理、反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用反比例函数的性质，找出结论；（2）①利用正、反比例函数的对称性，找出OA=OB，OC=OD；②利用分割图形求面积法，用含n的代数式表示出△OAC的面积；③利用两点间的距离公式，找出m，n之间的关系