苏州新区实验初中2020-2021学年初二数学下学期期中考试试卷(含解析)

这是一份苏州新区实验初中2020-2021学年初二数学下学期期中考试试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020～2021学年第二学期初二数学 期中考试
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上）
1. 下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 使得式子有意义x的取值范围是（　　）
A. x≥4 B. x＞4 C. x≤4 D. x＜4
3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A. 对角相等 B. 对边相等 C. 邻边相等 D. 对边平行
6. 把分式中的a、b、c的值都扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A. 变为原来的5倍 B. 不变
C. 变为原来的 D. 变为原来的
7. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AB＝CD B. AB＝CD，AD＝BC
C. AB∥CD，∠B＝∠D D. AB∥CD，AD＝BC
8. 点反比例函数图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC中点，若∠DAC＝15°，∠ACB＝87°，则∠FEG等于（ ）

A. 39° B. 18° C. 72° D. 36°
10. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B在反比例函数上，顶点C在反比例函数上，点A在x轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 计算：__________．
12. 若分式的值为0，则的值是_______．
13. 如图，在□中，的平分线交于点E，，，则________．

14. 已知反比例函数的图像的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是________．
15. 已知，．则代数式x2+y2﹣2xy的值为_____．
16. 若分式方程有增根，则m＝________.
17. 如图，若反比例函数与一次函数交于A、B两点，当时，则x的取值范围是_________．

18. 如图，以RtABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC=4，CO=，那么BC=______．

三、解答题（本大题共10小题，共56分．把解答过程写答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．）
19. 计算：
（1）；（2）．
20. （1）计算：
（2）解方程：
21. 先化简：，并请你选择一个合适的a求值．
22. 如图，在正方形网格中，△ABC顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，写出B1的坐标；
（2）直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标　 　．

23. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．

24. 甲乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同．
（1）求甲每天加工服装多少件？
（2）甲乙两人新接了200件服装加工订单，受供货时间限制，二人都提高了工作效率，设甲提高后每天能加工m件，乙提高后每天加工的件数是甲的k倍（），这样两人工作10天恰好能完成任务，求m的最大值．



25. 阅读下面计算过程：
；
；
；
求：（1）的值；
（2）（n为正整数）的值；
（3）的值．


26. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，正方形的顶点C在反比例函数位于第一象限的图像上，点E在反比例函数图像上，且在点C上方．

（1）求m的值；
（2）若点E的横坐标为2，求证：．


27. 在矩形中，，，E、F是直线上两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．

（1）如图1，M、N分别是，中点，当四边形是矩形时，求t的值．
（2）若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与E，F相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形为菱形，求t的值；
②如图3，作的垂直平分线交、于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，则t的值是_______．

























一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上）
1. 下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义对每个选项进行判断即可．
【详解】A项是轴对称图形，不是中心对称图形；
B项是中心对称图形，不是轴对称图形；
C项是中心对称图形，不是轴对称图形；
D项是中心对称图形，也是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，掌握知识点是解题关键．
2. 使得式子有意义的x的取值范围是（　　）
A. x≥4 B. x＞4 C. x≤4 D. x＜4
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，
解得：x＜4
即x的取值范围是：x＜4
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答．
【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、与被开方数相同，是同类二次根式；
C、与被开方数不同，不是同类二次根式；
D、与被开方数不同，不是同类二次根式．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则进行判断便可．
【详解】解：A、不是同类二次根式不能合并，选项错误；
B、不是同类二次根式不能合并，选项错误；
C、，选项正确；
D、，选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟记法则是解题的关键．
5. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A. 对角相等 B. 对边相等 C. 邻边相等 D. 对边平行
【答案】C
【解析】
【分析】菱形拥有平行四边形的全部性质，且菱形的各边长相等且对角线互相垂直，分析A、B、C、D选项的正确性，即可解题．
【详解】解：菱形具有平行四边形的全部性质，
（A）平行四边形对角相等，故本选项错误；
（B）平行四边形对边相等，故本选项错误；
（C）菱形的邻边相等，平行四边形的邻边不一定相等，故本选项正确，
（D）平行四边形对边平行，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，考查了菱形各边长相等的性质，本题中熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
6. 把分式中的a、b、c的值都扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A. 变为原来的5倍 B. 不变
C. 变为原来的 D. 变为原来的
【答案】B
【解析】
【分析】把分式中的分子，分母中的a，b都同时变成原来的5倍，就是用5a，5b分别代替式子中的a，b，看得到的式子与原式子的关系即可．
【详解】，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决这类题目的关键是正确的代入，并根据分式的性质进行分式的化简．
7. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AB＝CD B. AB＝CD，AD＝BC
C. AB∥CD，∠B＝∠D D. AB∥CD，AD＝BC
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
C、∵AB∥CD，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、∵AB∥CD，AD＝BC，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．
8. 点是反比例函数图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得m2+2m=3×4=12，再分别计算出四个选项中每个点的横纵坐标的积是否等于12即可．
【详解】解：∵点（3，4）是反比例函数图象上一点，
∴m2+2m=3×4=12，
A、2×6=12，因此（2，6）在反比例函数的图象上；
B、2×（-6）=-12，因此（2，-6）不在反比例函数图象上；
C、4×（-3）=-12，因此（4，-3）不在反比例函数的图象上；
D、3×（-4）=-12，因此（3，-4）不在反比例函数的图象上；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
9. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝15°，∠ACB＝87°，则∠FEG等于（ ）

A. 39° B. 18° C. 72° D. 36°
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解．
【详解】∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
∴GF//AD，FG=AD，GE//BC，GE=BC，
又∵AD=BC，
∴GF=GE，∠FGC=∠DAC=15°，∠AGE=∠ACB=87°，
∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=15°+(180°-87°)=108°，
∴∠FEG=×(180°-∠FGE)=36°，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
10. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形顶点B在反比例函数上，顶点C在反比例函数上，点A在x轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【详解】解：如图，作BD⊥x轴于D，延长BC交y轴于E，

∵四边形OABC是平行四边形，
∴CB∥OA，OC=AB，
∴BE⊥y轴，
∴OE=BD，
∴Rt△COE≌Rt△ABD（HL），
根据系数k的几何意义，S矩形BDOE=6，S△COE=1，
∴四边形OABC的面积=6-1-1=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、平行四边形的性质等，有一定的综合性．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法进行求解即可．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
12. 若分式的值为0，则的值是_______．
【答案】－2
【解析】
【分析】根据分式值为零的条件可得x2-4=0，且x﹣2≠0，求解即可.
【详解】由题意得：x2-4=0，且x﹣2≠0，
解得：x=﹣2
故答案为：－2
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13. 如图，在□中，的平分线交于点E，，，则________．

【答案】8
【解析】
分析】证出∠DEC=∠ECD，得出DE=CD=6，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=6，AD=BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECD，
∴∠DEC=∠ECD，
∴DE=CD=6，
∴BC=AD=AE+DE=2+6=8；
故答案为：8．

【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14. 已知反比例函数的图像的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是________．
【答案】m＞3
【解析】
【分析】由反比例函数的图象的一支位于第一象限，可得m-3＞0，即可求常数m的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，
∴m-3＞0
∴m＞3，
故答案为：m＞3．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质是本题的关键．
15. 已知，．则代数式x2+y2﹣2xy的值为_____．
【答案】12．
【解析】
【分析】根据二次根式的减法法则求出，利用完全平方公式把原式化简，代入计算即可．
【详解】解：，，
，
则，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的加减法法则是解题的关键．
16. 若分式方程有增根，则m＝________.
【答案】－1
【解析】
【分析】首先根据分式方程的解法求出x的值，然后根据增根求出m的值．
【详解】解：解方程可得：x=m+2，
根据方程有增根，
则x=1，
即m+2=1，
解得：m=－1．
故答案为：-1
【点睛】本题考查分式方程的增根，掌握增根的概念是本题的解题关键．
17. 如图，若反比例函数与一次函数交于A、B两点，当时，则x的取值范围是_________．

【答案】0＜x＜2或x＜-1
【解析】
【分析】写出反比例函数的图象在一次函数的图象下方的自变量的取值范围即可．
【详解】解：观察图象可知，当y1＜y2时，则x的取值范围是0＜x＜2或x＜-1．
故答案为：0＜x＜2或x＜-1．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
18. 如图，以RtABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC=4，CO=，那么BC=______．

【答案】8
【解析】
【分析】通过作辅助线使得△CAO≌△GBO，证明△COG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG后，即可求出BC的长．
【详解】
如图，延长CB到点G，使BG=AC．
∵根据题意，四边形ABED为正方形，
∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，
∴∠1+∠2=90°
又∵三角形BCA为直角三角形，AB为斜边，
∴∠2+∠3=90°
∴∠1＝∠3
∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO＝∠GBO，
在△CAO和△GBO中，

故△CAO≌△GBO，
∴CO＝GO=，∠7=∠6，
∵∠7+∠8=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴三角形COG为等腰直角三角形，
∴CG=，
∵CG=CB+BG，
∴CB=CG－BG=12－4=8，
故答案为8．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共56分．把解答过程写答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．）
19. 计算：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）先利用完全平方公式、平方差公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】（1）原式，
；
（2）原式，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法与加减法、乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题关键．
20. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据分式运算的法则计算，即可得到答案；
（2）首先去分母，方程两边同乘以最简公分母，求解整式方程并验根，即可完成求解．
【详解】（1）原式
（2）左右两边同乘，得：
∴
验根：当时，，是原方程的解．
【点睛】本题考查了分式混合计算、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式混合计算、分式方程的性质，从而完成求解．
21. 先化简：，并请你选择一个合适的a求值．
【答案】，3
【解析】
【分析】根据分式运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案
【详解】解：原式=
=1-
=，
只要a≠2，a≠±1的任何值代入都可以，
当a=0时，
原式==3．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
22. 如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，写出B1的坐标；
（2）直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标　 　．

【答案】（1）见解析；B1（4，－1）；（2）（1，1）或（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质即可作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）根据平移即可写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；B1（4，－1）

（2）如图所示，将AB向右平移2个单位，向上平移1个单位，可得平行四边形ABCD，此时顶点D的坐标为：（1，1）
同理可求出顶点D的其他坐标为：（﹣3，﹣1）或（﹣5，3），
故答案为：（1，1）或（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）
【点睛】本题考查了作图-旋转变换和点平移坐标变化规律，解决本题的关键是掌握旋转的性质和利用平移构造平行四边形．
23. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．

【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质可得OC＝AC，即可证明DE＝OC，可得出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，可证明OCED是矩形，根据矩形的性质可得OE＝CD即可；
（2）根据∠ABC＝60°，利用菱形的性质得出AC＝AB，即可求出OA的长，再根据勾股定理求出OD的长，再利用勾股定理得出AE的长度即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝AC，AC⊥BD，
∵DE＝AC，
∴DE＝OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∵OA=AC=1，AC⊥BD，AD=2，
∴OD=，
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝，
∴在Rt△ACE中，AE＝．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质及勾股定理，菱形中出现了60°角要求线段的长度时，一般要考虑两点：①图形中会有等边三角形，②以60°角的某一边为直角边的直角三角形，再利用勾股定理求解．熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
24. 甲乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同．
（1）求甲每天加工服装多少件？
（2）甲乙两人新接了200件服装加工订单，受供货时间限制，二人都提高了工作效率，设甲提高后每天能加工m件，乙提高后每天加工的件数是甲的k倍（），这样两人工作10天恰好能完成任务，求m的最大值．
【答案】（1）5件；（2）8
【解析】
【分析】（1）设甲每天加工服装x件，则乙每天加工服装（x+1）件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据工作总量=工作效率×工作时间，即可得出m关于k的函数关系式，再利用反比例函数的性质即可求出m的最大值．
【详解】解：（1）设甲每天加工服装件，则乙每天加工服装件，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲每天加工服装5件．
（2）依题意，得：，
．
，，
随值的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值．
答：的最大值为8．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及反比例函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确找出m关于k的函数关系式．
25. 阅读下面计算过程：
；
；
；
求：
（1）的值；
（2）（n为正整数）的值；
（3）的值．
【答案】（1）；（2）；（3）9
【解析】
【分析】（1）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘，计算后即可得出结论；
（2）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘，计算后即可得出结论；
（3）根据（2）的结论即可得出，由此即可算出结论．
【详解】解：（1）

；
（2）

；
（3）


．
【点睛】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键．
26. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，正方形的顶点C在反比例函数位于第一象限的图像上，点E在反比例函数图像上，且在点C上方．

（1）求m的值；
（2）若点E的横坐标为2，求证：．
【答案】（1）6；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）分别过点A和点C作x轴的垂线，过点B作y轴垂线，根据直线表达式求出A，B坐标，证明△ABF≌△BCG，得到AF=BG=3，BF=CG=1，可得点C坐标，代入反比例函数表达式，可得m值；
（2）过点E作EH⊥x轴，垂足为H，求出点E坐标，证明△AEH和△ACD为等腰直角三角形，推出∠EAC=∠HAD，再根据余角的性质得到∠ABO=∠HAD，即可证明．
【详解】解：（1）分别过点A和点C作x轴的垂线，过点B作y轴垂线，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0，则y=3，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3），
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBG=90°，∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CBG，又∠F=∠G=90°，
∴△ABF≌△BCG（AAS），
∴AF=BG=3，BF=CG=1，
∴C（3，2），又点C在上，
∴m=3×2=6；

（2）由（1）得反比例函数表达式为，
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，
∵点E的横坐标为2，代入，
得，即E（2，3），
∴H（2，0），
∴AH=EH=3，即△AEH为等腰直角三角形，
∴∠EAH=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
则∠EAC+∠CAH=∠CAH+∠HAD=45°，
∴∠EAC=∠HAD，
∵∠BAD=∠AOI=90°，
∴∠ABO+∠AIO=∠HAD+∠AIO=90°，
∴∠ABO=∠HAD，
∴∠ABO=∠EAC．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，综合性很强，考查的知识点较多，解题的关键是根据函数的定义求出点的坐标，转化为线段和角的关系．
27. 在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．

（1）如图1，M、N分别是，中点，当四边形是矩形时，求t的值．
（2）若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与E，F相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形为菱形，求t的值；
②如图3，作的垂直平分线交、于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，则t的值是_______．
【答案】（1）0.5或4.5；（2）①；②1.5
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得到EF=MN，得到AE=CF=0.5，从而分两种情况得到t值；
（2）①根据菱形的性质，作AC的垂直平分线GH，连接AG，得到AG=CG，在△ABG中利用勾股定理列出方程，求出BG，得到AB+BG的值，可得t；
②求出BQ和CQ，分析得到S△AGP+S△BQG=3时，S四边形GQHP=S矩形ABCD，可得关于AG的方程，解之得到AG，即可得到t值．
【详解】解：（1）如图1，当四边形EMFN为矩形，EF=MN，OE=OM=OF=ON，

∵四边形ABCD是矩形，且M，N分别为AB，CD中点，
∴OM=ON，OA=OC，
∵E，F两点运动速度均为1个单位，
∴AE=CF，
∴OE=OF，
∴EF=MN=BC=4，
∵AC==5，
∴AE=CF=0.5，
∴t=0.5，同理：当AE=CF=4.5，四边形EMFN为矩形，
∴当t=0.5或4.5时，四边形EMFN为矩形；
（2）①作AC的垂直平分线交BC于G，交AD于H，交AC于O，
当点G，H运动到AC的垂直平分线上时，四边形EGFH为菱形，
连接AG，此时AG=CG，
∴，即，
解得：BG=，
∴AB+BG=3+=，
∴当t=秒时，四边形EGFH为菱形；

②由①得：BQ=，即CQ=，
由题意可得：DP=BQ，DH=BG，AG=CH，AP=CQ，
S矩形ABCD=3×4=12，
∴S梯形APQB=S矩形ABCD=6，
∴当S△AGP+S△BQG=3时，S四边形GQHP=S矩形ABCD，
∴AG·AP+BG·BQ=3，
即AG·+（3-AG）·=3，
解得：AG=1.5，
∴当t=1.5时，S四边形PGQH=S矩形ABCD．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，垂直平分线的应用，勾股定理，图形的面积，解题的关键是利用特殊四边形的性质，得到线段的关系，从而得到图形面积的关系