2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．，，则等于（    ）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根据反正弦的性质可得，再代入计算可得；【详解】解：，，，，．故选：．2．下列说法中正确的是（    ）A．第一象限角都是锐角B．三角形的内角必是第一､二象限的C．不相等的角终边一定不相同D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关【答案】D【分析】根据任意角与象限角的定义，对选项中的命题真假性判断即可．【详解】解：对于，第一象限的角不一定是锐角，所以错误；对于，三角形内角的取值范围是，所以三角形内角的终边也可以在轴的非负半轴上，所以错误；对于，不相等的角也可能终边相同，如与，所以错误；对于，根据角的定义知，角的大小与角的两边长度大小无关，所以正确．故选：．3．要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（    ）A．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，向左平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度【答案】B【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：只需将函数的图象上所有的点，横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象；再向左平移个单位长度，可得函数的图象，故选：．4．函数的部分图像如图所示，轴，当时，若不等式恒成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数的图象，求出对称轴方程，从而求出函数的周期，由此求得的值，再利用特殊点求出的值，得到函数的解析式，然后利用参变量分离以及正弦函数的性质，即可求出的取值范围．【详解】解：因为轴，所以图象的一条对称轴方程为，所以，则，所以，又，，且，所以，故，因为当时，不等式恒成立，所以，因为，则，所以所以的最小值为，所以，即．故选：．二、填空题5．某场数学考试时长1.5小时，在此期间分针转过的弧度数为___________.【答案】【分析】由1.5小时内分针转了1.5周，是顺时针方向，由此求出结果．【详解】解：考试时长1.5小时，分针转了1.5周，是顺时针方向，所以分针转过的弧度数为．故答案为：．6．函数的最小正周期为__________.【答案】【详解】利用正切型函数的最小正周期公式可知：函数的最小正周期为.7．某商标图案（如图所示）是在一个苹果图案中，以曲线段为分界线，裁去一部分图形制作而成的.如果该分界线是一段半径为的圆弧，且，两点间的距离为，那么分界线的长度为________.【答案】【分析】首先计算弦所对的圆心角，再计算圆弧的长度.【详解】设圆弧所对圆的圆心为.∵，  ，∴分界线的长度为.故答案为：8．在中，已知 ，则的大小为___________.【答案】【详解】试题分析：因为，所以 因此由余弦定理得：因为 所以【解析】余弦定理9．函数的值域为___________.【答案】【分析】先利用同角三角函数关系将函数化成关于的二次函数形式，再利用换元法令，，转化成关于的二次函数再闭区间上求值域即可．【详解】解：，令，，，，，所以函数的值域为：，．故答案为：，．10．已知，且，则___________.【答案】【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求，根据诱导公式化简所求后即可代入求值.【详解】，且，，，故答案为：.11．中，，则___________.【答案】或【分析】由同角三角函数关系式可知，代入解方程即可.【详解】由，得，即，解得或，又在中，所以或，故答案为：或.12．在平面直角坐标系中，点是单位圆上第一象限内的点，，若，则的值为___________.【答案】【分析】由已知结合三角函数定义及两角差的余弦公式即可直接求解.【详解】由题意得，因为，点是单位圆上第一象限的点，所以，所以，故答案为：.13．已知函数在上不单调，则的最小值为___________.【答案】3【分析】直接利用三角函数中余弦函数的性质的单调性的应用，集合的对立关系的应用求出的最小值．【详解】解：函数在上不单调，当函数为单调递增时，即，整理得：，，由于函数在上单调递增时，，即：，整理得：当时，；①当函数单调递减时；，整理得：，，由于函数在上单调递减时，，即，整理得：当时，，②由于函数在上不单调，且，所以的取值为①②所表示的不等式的补集，，所以的最小值为3．故答案为：3．14．已知函数在上的值域为，则的取值范围为___________.【答案】【分析】首先利用三角函数两角和公式，进行化简，其次，结合值域的取值范围求出的取值范围，最后根据该取值范围求出最后答案.【详解】由题意可得，其中，，，设，，，，，，，，，，即，，的取值范围为，故答案为：.三、解答题15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）5.【分析】（1）由已知利用正弦定理将边化角，即可求出，进而可求；（2）由已知结合三角形面积公式即可求解．【详解】（1）根据正弦定理可得，因为，所以，因为，所以又，所以（2）因为，的面积为，所以，解得，所以的值为516．如图，，，，四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，，，三人围成一个三角形，如，，三人共线，在，两人之间，，两人相距10米，，两人相距米，与垂直.（1）当米时，此时看，视角(即)是看，视角(即)的2倍，求的值；（2）当米时，求看，两人视角(即)的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【分析】（1）利用锐角三角函数定义表示出与，根据，利用二倍角的正切函数公式列出关系式，即可求出，（2）设，设，表示出两个角的正切，再结合二次函数的性质即可求得结论．【详解】（1）因为，，所以因为看，视角(即)是看，视角(即)的2倍，所以所以，解得，所以的值为；（2）设，设，则，因为，所以，，所以，所以所以当时，看，两人视角(即)最大，最大值为17．已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）将图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，求的解析式；（3）在（2）的条件下，若对于任意的，，当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3）.【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得．（2）由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．（3）令，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，【详解】解：（1）所以因为函数的最小正周期为且，所以，解得，所以的值为1.（2）因为图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像又，所以所以的解析式为（3）令因为对于任意的，，当时，恒成立，所以在严格单调递增，由，整理可得，所以严格单调递增区间是，所以，解得所以的取值范围是.18．对于函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”.（1）求证：函数在上是“1跃点”函数；（2）若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；（3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，或或.【分析】（1）根据函数解析式计算，，，令，根据函数零点存在定理可得在有根，由此可得结论；（2）令，可求得a的取值范围；（3）代入计算，化简得，根据正弦函数的周期性和图象，讨论可得答案.【详解】（1），所以，，令，因为，，所以在有解；所以存在，使得，即函数在是“1跃点”函数.（2）由题意得，，令，∴，当且仅当取等号；（3）由已知得，，化简得，的最小正周期为；根据在上的图像可知：①当时，在有个“跃点”，故不可能有2021个“跃点”；②当时，在有个“跃点”，此时；③当或时，在上有个“跃点”，故；综上：或或.【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的新定义，综合运用函数的单调性、周期性、值域等性质，运用参变分离等方法得以解决.