2020-2021学年天津市部分区高一下学期期中数学试题（解析版）

2020-2021学年天津市部分区高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．下列命题正确的是（    ）

A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面

C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面

【答案】C

【分析】根据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.

对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.

对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.

对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.

故选：C

【点睛】本小题主要考查公理的理解和运用，属于基础题.

2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的几何意义可得出结论.

【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，该点位于第一象限.

故选：A.

3．在中，已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用正弦定理可求得边的长.

【详解】由正弦定理可得.

故选：D.

4．已知向量，，且，则（    ）

A． B．

C．6 D．5

【答案】A

【分析】由模的平方转化为数量积计算模．

【详解】由已知，由得，

所以．

故选：A．

5．在中，非零向量、、满足，则点是的（    ）

A．内心 B．外心

C．重心 D．垂心

【答案】C

【分析】分别取、、的中点、、，分析出为三条底边上中线的交点，由此可得出结论.

【详解】如下图所示：

分别取、、的中点、、，连接、、，

，所以，，

所以，，故、、三点共线，即，

同理可知，，即为三条底边上中线的交点，

因此，为的重心.

故选：C.

6．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，分析可得，利用圆锥的表面积公式可求得的值，即为所求.

【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，

由于该圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，则.

该圆锥的侧面积为，解得.

故选：B.

7．在中，若，且，则为（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】C

【分析】由，可得，得，由可得,从而可判断出三角形的形状

【详解】解：因为，所以，所以，

因为，所以，

因为，所以，

所以为等腰直角三角形，

故选：C

8．在长方体中，，，直线和所成的角为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意画出示意图，再根据平行线找到异面直线所成的角，最后根据线段长度求出角的大小即可.

【详解】由题意，画出示意图如下：

由于，

所以直线和所成的角为直线和所成的角即,

连接，因为面,且面,

所以,

因为，，所以，

则在直角中，，

所以，

由于异面直线所成角的范围为，

所以直线和所成的角为.

故选：C

9．如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算出、，可得出，利用余弦定理求得，可求得，然后利用余弦定理可求得的值.

【详解】在中，，，则，

在中，，，则，

由展开图的生成方式可得，，

在中，，

于是，

由余弦定理可得.

故选：B.

二、填空题

10．为虚数单位，复数______．

【答案】

【分析】根据复数的除法法则计算．

【详解】．

故答案为：．

11．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角的大小为______．

【答案】

【分析】由余弦定理计算（也可由勾股定理逆定理求解）．

【详解】由已知，是三角形内角，所以．

故答案为：．

12．已知一个正方体的顶点都在同一个球面上，它的棱长是，则该球的表面积为______．

【答案】．

【分析】求出正方体的对角线长即球的直径，即得球半径，再由球表面积公式计算．

【详解】由题意正方体对角线长为，所以球半径为，

表面积为．

故答案为：．

13．在边长为1的正三角形中，______.

【答案】

【分析】首先可通过向量的三角形法则将转化为，然后根据是正三角形将转化为，最后根据边长为1并计算即可得出结果.

【详解】因为是边长为1的正三角形，

所以

，

故答案为：，

【点睛】本题考查向量的三角形法则以及向量的数量积，能否结合题意以及向量的运算法则将

转化为是解决本题的关键，考查化归与转化思想，是中档题.

14．四面体的各棱长均为1，则该四面体的体积为_______．

【答案】．

【分析】求出正四面体的高，再由体积公式计算出体积．

【详解】如图是正四面体的高，则是的外心，，

所以，又，

所以．

故答案为：．

15．在中，是的中点，是的中点．若，则_______．

【答案】．

【分析】用向量的线性运算求出后可得结论．

【详解】由已知，又，不共线，

所以，，．

故答案为：．

三、解答题

16．当实数取什么值时，复数是下列数（为虚数单位）．

（1）实数；

（2）纯虚数．

【答案】（1）或；（2）．

【分析】（1）由虚部为0可得；

（2）由实部为0，虚部不为0可得．

【详解】（1）由题意得或；

（2）由得或，又，所以．

17．已知向量，，其中，．

（1）求，；

（2）若向量满足，且，求的坐标．

【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）求出的坐标，由数量积和模的坐标运算计算；

（2）设，根据向量平行和垂直的坐标表示得出方程组，解之可得．

【详解】（1）由题意，，

所以，；

（2）设，则，，，

因为，所以，，

又，所以，，

所以．

18．在中，角，，所对的边分别为，，．已知．

（1）求角的大小；

（2）若，的面积为，求的值．

【答案】（1）；（2）17．

【分析】（1）由余弦定理可求得角；

（2）由三角形面积得，再由已知可得．

【详解】（1）因为，所以由余弦定理得，

又，所以；

（2）由已知，，

又．所以．

19．如图，在三棱锥中，底面，，、分别是、的中点．求证：

（1）平面；

（2）平面平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.

【详解】（1）因为、分别是、的中点，故，

平面，平面，平面；

（2）底面，平面，，

，，平面，

平面，因此，平面平面.

20．在中，角，，所对的边分别为，，．已知向量，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由向量平行坐标表示得出关系式后，再由正弦定理化边为角可求解；

（2）由诱导公式、两角和的正弦公式求得，然后由正弦定理求得．

【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得，

是三角形内角，，所以，又是三角形内角，所以；

（2）是三角形内角，则，

．

由得．