2020年中考数学复习课件函数

这是一份2020年中考数学复习课件函数，共60页。PPT课件主要包含了有序数对，x0y0，不属于，点的坐标特征，互为相反数，a－b，－ab，－a－b，ab＋m，ab－m等内容，欢迎下载使用。

三　函　数第9课时　平面直角坐标系与函数
课时目标1. 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标．2. 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置．3. 结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例，能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．4. 能确定简单整式、分式、二次根式和简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值．5. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.
知识点1　平面直角坐标系相关概念及点的坐标特征
有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(________， ________)．2. 平面直角坐标系：在平面内画两条互相________、________重合的数轴，组 成平面直角坐标系．坐标平面内的点与________一一对应．
a
b
垂直
原点
有序数对
x<0，y>0
x<0，y<0
x>0，y<0
不属于
y1
x2
(0，0)
3.点的坐标特征
相等
互为相反数
纵
横
温馨提示：坐标轴上的点不属于任何象限．　
 
|b|
|a|
 
5. 点的对称与平移：
(a，－b)
(－a，b
(－a，－b)
(a，b＋m)
(a，b－m)
(a－n，b)
(a＋n，b)
知识点2　函数及其图象
1. 函数的相关概念及函数值： (1) 变量、常量： 变量是指在某一变化过程中，数值发生变化的量；常量是指在某一变化过程 中，数值始终________的量．(2) 函数的概念及函数值： 在某个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定 的值，y都有______________与它相对应，那么说y是x的函数，x叫做自变 量．如果当x＝a时，y＝b，那么b就叫做当自变量的值为a时的函数值．2. 函数的三种表示方法分别是________、________、___________.3. 描点法画函数图象的一般步骤． 第一步：________，表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：________，在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的 函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：________，按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的 曲线连接起来．
不变
唯一确定的值
图象法
表格法
解析式法
列表
描点
连线
4. 确定函数自变量的取值范围：
全体实数
不为0
非负数
任意实数
考点一　坐标平面内点的坐标特征
例1 (2018·攀枝花中考)若点A(a＋1，b－2)在第二象限，则点B(－a，1－b) 在(　　) A. 第一象限　 ` B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限[思路点拨] 直接根据点A在第二象限横、纵坐标的关系得出a，b的取值范围，进而再根据点B横、纵坐标的符号判断点所在的象限．
若点A在第二象限，则其横坐标为负，纵坐标为正，可得a＋1＜0，b－2＞0，解得a＜－1，b＞2.∴ －a＞1＞0，1－b＜－1＜0，即点B的横坐标为正，纵坐标为负．∴ 点B在第四象限．故选D.
[方法归纳] 象限内点(m，n)的坐标特征：第一象限(＋，＋)，即m>0，n>0；第二象限(－，＋)，即m<0，n>0；第三象限(－，－)，即m<0，n<0；第四象限(＋，－)，即m>0，n<0.x轴正半轴上的点：m>0，n＝0；x轴负半轴上的点：m<0，n＝0；y轴正半轴上的点：m＝0，n>0；y轴负半轴上的点：m＝0，n<0.反之亦成立．
D
考点二　对称点的坐标特征
例2 (1) (2019·泸州中考)在平面直角坐标系中，点M(a，b)与点N(3，－1)关 于x轴对称，则a＋b的值是________． (2) (2019·杭州中考)在平面直角坐标系中，点A(m，2)与点B(3，n)关于y 轴对称，则(　　)A. m＝3，n＝2 B. m＝－3，n＝2C. m＝2，n＝3 D. m＝－2，n＝－3
(1) ∵ 点M(a，b)与点N(3，－1)关于x轴对称，∴ a＝3，b＝1.∴ a＋b＝4
(2) ∵ 点A(m，2)与点B(3，n)关于y轴对称，∴ m＝－3，n＝2.故选B.
4
B
(3) (2019·巴中中考)在平面直角坐标系中，已知点A(－4，3)与点B关于原点 对称，则点B的坐标为(　　) A. (－4，－3) B. (4，3) C. (4，－3) D. (－4，3)
(3) 易知点A(－4，3)关于原点对称的点的坐标为B(4，－3)．故选C.
[方法归纳] (1) 点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．(2) 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y)，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．(3) 点(x，y)关于原点对称的点的坐标是(－x，－y)，即横、纵坐标均互为相反数．牢记这些是解题的关键．
C
考点三　图形的平移与坐标变化
例3 (2019·枣庄中考)在平面直角坐标系中，将点A(1，－2)向上平移3个单位 长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标为(　　) A. (－1，1) B. (－1，－2) C. (－1，2) D. (1，2)
平面直角坐标系中的点A向上平移3个单位长度，则点A的纵坐标加3，向左平移2个单位长度，则点A的横坐标减2，∴ A′(1－2，－2＋3)，即点A′的坐标为(－1，1)．故选A.
[方法归纳] 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或向左)平移a(a>0)个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)[或(x－a，y)]；将点(x，y)向上(或向下)平移b(b>0)个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)[或(x，y－b)]．
A
考点四　函数自变量的取值范围
 
[方法归纳] 函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：(1) 当函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；(2) 当函数的解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3) 当函数的解析式是二次根式时，考虑被开方数为非负数．
x≤且x≠0.
考点五　函数图象信息题
例5 (2019·孝感中考)一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始4 min 内只进水不出水，容器内存水8 L；在随后的8 min内既进水又出水，容器 内存水12 L；接着关闭进水管直到容器内的水放完．若每分钟进水量和出 水量是两个常数，则容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的函数关系的图 象大致是(　　) A B C D
∵ 从某时刻开始4 min内只进水不出水，容器内存水8 L，∴ 此时容器内的水量随时间的增加而增加．∵ 随后的8 min内既进水又出水，容器内存水12 L，∴ 此时水量继续增加，只是增速放缓．选项B中的图象表示此时容器内水量不变，不符合题意；选项C中的图象表示此时容器内水量下降，不符合题意；选项D中的图象表示此时容器内水量快速上升，上升速度大于开始的4 min，因此也不符合题意；选项A中的图象表示4 min内水量逐渐增加，随后的8 min水量增加，但增速放缓，剩下的时间里水量逐渐下降为0 L．故选A.
A
[思路点拨] 易知图象中的横坐标表示时间，纵坐标表示容器内的水量，根据进水管与出水管的进出水情况可找到符合题意的图象．[方法归纳] 本题主要考查函数图象，解题的关键是弄清楚函数图象中横、纵轴所表示的意义及实际情境与图象中自变量与因变量之间对应的关系．
例6 (2019·黄冈中考)已知林茂的家、体育场、文具店在同一条直线上，图中信 息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文 具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间(单位：min)，y表示林茂离家的距 离(单位：km)．依据图中的信息，下列说法错误的是(　　) A. 体育场离林茂家2.5 km B. 体育场离文具店1 km C. 林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50 m/min D. 林茂从文具店回家的平均速度是60 m/min 例6图[思路点拨] 从图中可得信息：体育场离文具店1 000 m，所用时间是(45－30)min，由此可算出速度．
 
C
[方法归纳] 1. 函数的图象能形象直观地反映函数值随自变量的变化情况，因此正确读图除了要弄清坐标轴所表示的意义外，还要弄清图象上的点所表示的意义：由该点向横轴和纵轴分别作垂线，当自变量取横轴上的垂足所对应的数时，函数值取纵轴上的垂足所对应的数.2. 以实际问题为背景找相应的函数图象，先要弄清题意所反映的问题可分为几段，以及在这个过程中变化的量及不变的量，再确定大致图象．
 
D
A
D
4. (2019·齐齐哈尔中考)“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿 童．战士们从营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后， 继续按原速步行到达福利院(营地、文具店、福利院三地依次在同一条直线 上)．到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地(赠送礼物的 时间忽略不计)，下列图象能大致反映战士们离营地的距离s与时间t之间函 数关系的是(　　) A B C D5. (2019·潍坊中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD 从点B开始运动到点D.设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么下列能表 示y与x之间函数关系的大致图象的是(　　) 第5题 A B C D
B
D
6. 在平面直角坐标系中，点M(a，b)与点N(－1，2)关于原点对称，则a－b的值 是________．　　　　7. (2019·济宁中考)已知点P(x，y)位于第四象限，并且x≤y＋4(x，y为整 数)，写出一个符合上述条件的点P的坐标：________________________.8. (2018·盘锦中考)如图①，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C→D →A方向匀速运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y.如果 y关于x的函数图象如图②所示，那么矩形ABCD的面积为________．
3
答案不唯一，如(1，－2)
24
9. (2018·舟山中考改编)爸爸帮小明荡秋千，秋千离地面的高度h(m)与摆动时 间t(s)之间的关系如图所示． (1) 根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数． (2) 结合图象回答： ① 当t＝0.7时，h的值是多少？并说明它的实际意义． ② 秋千摆动第一个来回需要多长时间？ 第9题
由图象可知，对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，∴ 变量h是关于t的函数　(2) ① 由题中函数图象可知，当t＝0.7时，h＝0.5，它的实际意义是秋千摆动0.7 s时，其离地面的高度是0.5 m　② 由题中图象可知，秋千摆动第一个来回需要2.8 s
10. (2019·陕西中考)根据记录，从地面向上11 km及以内，每升高1 km，气温降 低6 ℃；又知在距离地面11 km以上的高空，气温几乎不变．若地面气温为 m(℃)，设距地面的高度为x(km)处的气温为y(℃)． (1) 写出距地面的高度在11 km及以内的y与x之间的函数解析式． (2) 上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安的途中，某一时刻，她从机舱内屏 幕显示的相关数据得知，飞机外气温为－26 ℃时，飞机距离地面的高度为7 km，求当时这架飞机下方地面的气温．小敏想，假如飞机当时在距离地面12 km的高空，飞机外的气温是多少呢？请求出假如当时飞机距离地面12 km，飞 机外的气温．
(1) 根据题意，得y＝m－6x(0≤x≤11)　(2) 将x＝7，y＝－26代入y＝m－6x，得－26＝m－42，∴ m＝16.∴ 当时这架飞机下方地面的气温为16 ℃.∵ 12＞11，∴ y＝16－6×11＝－50.∴ 假如当时飞机距离地面12 km，飞机外的气温为－50 ℃
第10课时　一次函数的图象和性质
课时要点1. 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析式．2. 经历列表、描点、连线画一次函数图象的过程，根据一次函数的图象和解析式 y＝kx＋b(k≠0)，探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况，并能灵活运用．3. 理解正比例函数，掌握正比例函数的图象和性质，并能灵活运用．4. 会运用待定系数法确定正比例函数和一次函数的解析式．5. 会利用函数图象求方程(组)的解与不等式的解集.
知识点1　一次函数的图象和性质
一次函数与正比例函数的概念：一般地，形如_________(k，b是常数，k≠0) 的函数，叫做一次函数．特别地，当b＝0时，一次函数为y＝ ________(k≠0)，这时，y叫做x的________函数．2. 一次函数的图象特征： 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，________)和(________，0)的 一条________，特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0， ________)和(1，________)的一条________．
y＝kx＋b
kx
正比例
b
 
直线
0
k
直线
3. 一次函数的图象与性质：
4. 一次函数图象的平移：
5. 同一平面直角坐标系中两直线(l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2)的位置关系：
+m
-m
+m
-m
知识点2　一次函数解析式的确定
待定系数法：先根据明确的函数关系设出函数解析式中的未知系数，再根据 条件确定解析式中未知的系数，从而求出函数解析式的方法，叫做待定系数 法．2. 用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤： (1) 设函数的解析式为___________________________； (2) 找到两个已知点的坐标，并代入所设函数解析式，得到关于k，b的方程 组； (3) 解方程组求出k，b的值； (4) 把得到的k，b的值代入所设的函数解析式．3. 常见类型： (1) 两点型：直接运用待定系数法求解； (2) 平移型：由平移前后k不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知点即 可．
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
知识点3　一次函数与方程(组)、不等式的关系
横
②
 
 
考点一　一次函数的图象和性质
例1 (2019·辽阳中考)若kb＜0且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象可能是(　　) A B C D
∵ kb＜0且k＞b，∴ k＞0，b＜0.∴ 函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限．故选A.
[思路点拨] 根据一次函数解析式的k，b的符号确定其经过的象限即可确定答案．[方法归纳] 直线y＝kx＋b(k≠0)的位置与k，b的符号有直接的关系．当k＞0时，直线必经过第一、三象限；当k＜0时，直线必经过第二、四象限．当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；当b＝0时，直线经过原点；当b＜0时，直线与y轴的负半轴相交．因此k，b的符号决定了一次函数图象的走向和位置．反之，由一次函数的图象可确定k，b的符号．
A
例2 (2018·济宁中考)在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝－2x＋1的图象经 过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点．若x1＜x2，则y1________y2(填“＞”“＜” 或“＝”)．[思路点拨] 根据一次函数的性质，对于一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
在y＝－2x＋1中，∵ －2<0，∴ y随x的增大而减小．∵ x1＜x2，∴ y1＞y2.
[方法归纳] 解决这类问题的方法通常有两种：(1) 根据系数k的正负情况直接判断函数的增减性；(2) 运用数形结合的思想画出函数图象及这两个点可能的位置进行判断．
＞
考点二　一次函数解析式的确定
例3 (2019·乐山中考)如图，过点B(1，0)的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点 P(－1，a)．求： (1) 直线l1对应的函数解析式； (2) 四边形PAOC的面积． 例3图
 
[思路点拨] (1) 由点P(－1，a)在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1对应的函数解析式．(2) 利用S四边形PAOC＝S△ABP－S△BOC即可解决问题．[方法归纳] 用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：(1) 设所求的一次函数解析式为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)；(2) 根据已知条件列出关于k，b的方程组；(3) 解方程组，求出k，b的值；(4) 将求得的k，b的值代入函数解析式y＝kx＋b中，从而表示出一次函数的解析式．
考点三　一次函数与方程(组)、不等式之间的联系
 
 
[思路点拨] 从图象上看，不等式x＋6>－x－2的解集即函数y＝x＋6的图象在函数y＝－x－2的图象上方时x的取值范围．[方法归纳] 1. 一次函数的图象是一条直线，由一次函数的图象，可知直线y＝kx＋b(k≠0)落在x轴上方的部分所对应的x的取值范围，即为不等式kx＋b>0的解集.2. 两个函数图象在有交点的情况下，比较两个函数值大小(即y1与y2的大小关系)的方法是先求出交点的横坐标，再结合在平面直角坐标系中两图象位置的上下关系即可得出结论．
A
考点四　一次函数图象的平移
例5 (2018·娄底中考)将直线y＝2x－3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单 位长度后，所得的直线对应的函数解析式为(　　) A. y＝2x－4　　 B. y＝2x＋4 C. y＝2x＋2　　 D. y＝2x－2[思路点拨] 根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可求出平移后的直线对应的函数解析式，此题得解．
根据平移的性质可知，平移后所得直线对应的函数解析式为y＝2(x－2)－3＋3＝2x－4.故选A.
[方法归纳] 1. 将直线左、右平移时，k不变，再从原直线上找一特殊点得到平移后的点的坐标，从而求出解析式.2. 把直线y＝kx＋b(k≠0)向上平移p(p＞0)个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为y＝kx＋b＋p；把直线y＝kx＋b(k≠0)向下平移q(q＞0)个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为y＝kx＋b－q；把直线y＝kx＋b(k≠0)向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为y＝k(x－m)＋b；把直线y＝kx＋b(k≠0)向左平移n(n>0)个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为y＝k(x＋n)＋b.
A
考点五　一次函数图象与几何变换
例6 (2019·盐城中考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－1的图象分 别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，求直 线BC对应的函数解析式．例6图
 
 
[方法归纳] 当一次函数遇上45°角时，一般构造等腰直角三角形或一线三直角模型，借助全等三角形的判定与性质求得线段的长度，因此遇上特殊角构造特殊图形是解题的一般思路.
 
C
D
A
4. (2019·绍兴中考)若点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一条直线上，则a的值 为(　　)A. －1 B. 0 C. 3 D. 45. (2019·天津中考)直线y＝2x－1与x轴的交点的坐标为________．6. (2019·成都中考)已知一次函数y＝(k－3)x＋1的图象经过第一、二、四象限， 则k的取值范围是________．7. (2019·无锡中考)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，求关于x的不等 式3kx－b＞0的解集．第7题
由题图，知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(－6，0)，且k<0，∴ －6k＋b＝0.∴ b＝6k.将b＝6k代入3kx－b>0，得3kx－6k>0，解得x＜2
C
 
k＜3
8. (2019·南京中考)已知一次函数y1＝kx＋2(k为常数，k≠0)和y2＝x－3.(1) 当k＝－2时，若y1＞y2，求x的取值范围；(2) 若当x＜1时，y1＞y2，结合图像，直接写出k的取值范围．
 
 
 
10. (2018·扬州邗江区二模)在平面直角坐标系中，图形W在坐标轴上的投影长度定义 如下：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是图形W上的任意两点，若|x1－x2|的最大值为m，则 图形W在x轴上的投影长度为lx＝m；若|y1－y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影 长度为ly＝n.如图①，若图形W为△OAB，则图形W在x轴上的投影长度为lx＝|4－0|＝ 4，在y轴上的投影长度为ly＝|3－0|＝3. (1) 如图②，点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(2，3)，C(3，1)，若图形W为四边 形OABC，则lx＝________，ly＝________；
3
3
 
 
第11课时　反比例函数的图象和性质
 
知识点1　反比例函数的概念
 
 
≠
知识点2　反比例函数的图象及性质
温馨提示：双曲线不是连续曲线，是两支不同的曲线，所以在比较函数值大小时，一定要注意所判断的点是否在同一象限．当k＞0时，在两支上，第一象限函数值大于第三象限函数值；当k＜0时，在两支上，第二象限函数值大于第四象限函数值．
一、三
减小
二、四
增大
知识点3　反比例函数k的几何意义
 
知识点4　反比例函数解析式的确定
 
考点一　反比例函数解析式的确定
 
 
[方法归纳] 确定反比例函数解析式的关键是确定k的值，在用待定系数法确定反比例函数的解析式时，只要代入x，y的一组对应值，便可得到一个关于k的方程，从而求出k的值，即可确定反比例函数的解析式．
15
 
 
[误区警示] 本题易错点：只关注反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，错误地由x1＜x2，得y1＞y2.对于比较反比例函数增减性的问题，一定要先明确两个点所处的象限，再结合反比例函数的性质解题．
A
例3 (2019·滨州中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的 正半轴上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过对角线OB的中点D和顶点C.若 菱形OABC的面积为12，则k的值为(　　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 例3图[思路点拨] 如图，连接AC，由菱形的性质得出D是AC的中点，用字母分别表示点A，C的坐标，利用中点公式表示出点D的坐标，再由点C和点D都在反比例函数的图象上，代入坐标，结合菱形的面积为12，求出k的值．
 
[方法归纳] 在反比例函数中设出图象上一点的坐标，再结合面积与k的关系构造方程，从而求出k的值，因此对于这类问题要大胆设出点的坐标，仔细寻找数量关系建立方程求解．
C
 
 
[方法归纳] 反比例函数中过图象上一点构造出反比例函数k的几何意义模型是常用的解题方法，同学们应注意体会掌握
C
考点四　同一平面直角坐标系中反比例函数与一次函数图象的共存问题
例5 (2019·日照中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋1(k≠0)和y＝ (k≠0)的图象大致是(　　) A B C D[思路点拨] 分别分析出当k＞0和k<0时，一次函数和反比例函数的图象所在的象限，符合题意者即为正确答案．
 
[方法归纳] 对于两个不同的函数图象共存于同一平面直角坐标系中的问题，应根据同一平面直角坐标系中的两个图象确定解析式中待定系数的取值范围，若不同函数中相同字母的取值范围相同，则正确；或者根据字母的取值范围判断两个图象所处的象限，若象限相同则正确，反之则不正确．
C
 
根据二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，可得a＜0，b＞0，c＜0，∴ 函数y＝ax＋b的图象过第一、二、四象限，函数y＝的图象在第二、四象限．故选C.
[方法归纳] 对于反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象的综合题，根据图象找出a，b，c与0的关系是解题的关键，要牢记函数图象对应字母的取值范围．
C
 
由函数图象可知，当x<－1或0C
 
 
 
[方法归纳] (1) 在用待定系数法求函数的解析式时，要关注需要几个点才能求函数解析式，先从需要最少的入手．(2) 求与函数图象有关的图形的面积，可采用分割或整体思想转化为几个图形的面积和或差的形式求解．
 
A
B
C
 
C
C
-4
7. (2018·陕西中考)若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这 个反比例函数的解析式为________．
 
 
 
 
 
 
第12课时　二次函数的图象和性质(一)
课时目标1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3. 会用配方法将二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律.
知识点1　二次函数的概念
一般地，形如_____________________________________的函数叫做二次函数．当a________，b_______时，是一次函数．
知识点2　二次函数的图象及画法
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
＝0
≠0
 
知识点3　二次函数的图象与性质
上
下
减小
增大
增大
减小
知识点4　二次函数图象的平移 1. 二次函数一般式平移：
＋m
＋m
－m
－m
＋m
－m
2. 二次函数顶点式平移． (1) 平移的步骤：a. 将抛物线对应的函数解析式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；b. 保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可． (2) 平移的规律：
[易错提示] 点坐标的平移规律：“左减右加，上加下减”；函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”，两者要区分开.
温馨提示：确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点式，利用顶点的平移来研究图形的平移.
±n
±n
考点一　二次函数的图象和性质
 
 
 
[误区警示] 本题第(2)小题易错点：利用分类及数形结合思想得到不等式求解时遗漏情形而导致漏解．本小题已知增减性且坐标已知，利用代入得到不等式是最快捷的方法．第(3)小题易错点：没有将对称轴进行分类以及对函数增减性理解不到位．解这类问题的关键是理解函数的增减性．
例2 (2019·温州中考)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的 取值范围内，下列说法正确的是(　　)A. 有最大值－1，有最小值－2B. 有最大值0，有最小值－1C. 有最大值7，有最小值－1D. 有最大值7，有最小值－2
[思路点拨] 先把二次函数解析式配方成顶点式，然后根据二次函数的性质在自变量取值范围内确定最值．
∵ y＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，∴ 在－1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值－2，当x＝－1时，有最大值为y＝9－2＝7.故选D.
 
D
考点二　抛物线的平移
例3 (2019·哈尔滨中考)将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2 个单位长度，所得到的抛物线为(　　) A. y＝2(x＋2)2＋3　 B. y＝2(x－2)2＋3 C. y＝2(x－2)2－3　 D. y＝2(x＋2)2－3
将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，得y＝2x2＋3，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为y＝2(x－2)2＋3.故选B.
[方法归纳] 抛物线的平移需将抛物线对应的函数解析式化成顶点式，再遵循“左加右减，上加下减”的原则．具体原则如下：(1) 上下平移：抛物线y＝a(x－h)2＋k向上平移m(m>0)个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－h)2＋k＋m；抛物线y＝a(x－h)2＋k向下平移m(m>0)个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－h)2＋k－m.(2) 左右平移：抛物线y＝a(x－h)2＋k向左平移n(n>0)个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－h＋n)2＋k；抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移n(n>0)个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－h－n)2＋k.
B
考点三　同一平面直角坐标系中二次函数图象与其他函数图象的共存问题
例4 (2019·呼和浩特中考)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一平面直 角坐标系中的大致图象可能是(　　) A B C D[思路点拨] 由一次函数y＝ax＋a，可知一次函数的图象与x轴交于点(－1，0)，即可排除A，B，然后根据二次函数图象的开口方向、一次函数图象经过的象限可对相关图象进行判断．
[方法归纳] 多种函数图象在同一平面直角坐标系中的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数、反比例函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对各选项进行逐一观察，从而得出结论．
由一次函数y＝ax＋a，可知一次函数的图象与x轴交于点(－1，0)，故A，B错误．当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限；当a＜0时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象经过第二、三、四象限，故C错误，D正确．故选D.
D
考点四　利用二次函数的增减性比较坐标的大小
 
 
[方法归纳] 抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法有以下三种： (1) 利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较．(2) 当已知具体的抛物线对应的函数解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小．(3) 利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小；开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”比较大小．
D
考点五　二次函数与几何的综合运用
 
 
 
[方法归纳] 本题是抛物线的平移、中点坐标公式、等边三角形的判定、平面直角坐标系中两点间距离公式的综合运用，用含m的代数式表示出点D，D1，Q的坐标是解题的关键．
 
A
C
A
4. (2019·攀枝花中考)在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次 函数y＝bx－a的图象可能是(　　) A B C D5. (2019·株洲中考)若二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，则a________0(填 “＞”“＜”或“＝”)．6. (2019·哈尔滨中考)二次函数y＝－(x－6)2＋8的最大值是________．7. 抛物线y＝x2＋2x－a2(a为常数)的顶点在第________象限．8. 已知二次函数y＝(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足－1≤x≤3时，与其 对应的函数值y的最小值为4，则h的值为________．
C
＜
8
三
-3或5
9. (2018·湖州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx(a＞0) 的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于 点B.若四边形ABOC是正方形，求b的值． 第9题
 
10. (2018·泰州中考)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的 图像与x轴有两个交点． (1) 当m＝－2时，求二次函数的图像与x轴交点的坐标； (2) 过点P(0，m－1)作直线l⊥y轴，二次函数图像的顶点A在直线l与x轴之间(不 包含点A在直线l上)，求m的取值范围； (3) 在(2)的条件下，设二次函数图像的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面 积最大时m的值．
 
第13课时　二次函数的图象和性质(二)
课时目标1. 能根据图象确定a，b，c的符号．2. 会用待定系数法求二次函数的解析式．3. 理解二次函数与一元二次方程的关系，并能用二次函数的图象得到一元二次方程的根及确定当函数值大于或小于0时自变量的取值范围.
知识点1　二次函数解析式的求法 1. 选用解析式的形式：
2. 确定二次函数解析式的步骤： (1) 根据已知条件设合适的二次函数的解析式； (2) 代入已知条件，得到关于待定系数的方程组； (3) 解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式．
知识点2　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系
上
下
y
原点
知识点3　二次函数与方程、不等式的关系
1. 二次函数与一元二次方程： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根，函数图象与x轴的交点情况可由对应方程 的根的判别式 ____________的符号来判定． 当b2－4ac____0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，一元二次方 程ax2＋bx＋c＝0有____个不等的实数根；当b2－4ac____0时，抛物线y＝ ax2＋bx＋c与x轴有____个交点，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等 的实数根；当b2－4ac____0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点，一元 二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根．
b2－4ac
＞
两
＝
一
＜
2. 二次函数与不等式： 设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，x10，则当xx2时，y>0；当x1x2 时，y<0；当x10.以a>0为例，如下表所示：
考点一　二次函数的各项系数与图象之间的关系
例1 (2019·永州中考)如图，抛物线经过点A(－3，0)，B(0，3)，且对称轴为 直线x＝－1. (1) 求此抛物线对应的函数解析式； (2) 若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不与点A，B重合)，求△PAB的面 积的最大值，并求出此时点P的坐标． 例1图
 
 
[方法归纳] 二次函数的解析式有三种形式，一般式：y＝ax2＋bx＋c，顶点式：y＝a(x－h)2＋k，交点式(与x轴有交点时)：y＝a(x－x1)(x－x2)．用待定系数法求二次函数的解析式时，要注意二次函数解析式的三种形式的联系与区别，根据题意选择合适的二次函数解析式来代入求解．
考点二　求二次函数的解析式
例2 (2019·日照中考)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，下列结论： ① abc＞0；② a－b＋c＜0；③ ax2＋bx＋c＋1＝0有两个相等的实数根；④ －4a＜b＜－2a.其中正确的有(　　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④[思路点拨] 先根据抛物线在平面直角坐标系中的位置，确定a，b，c的符号，再结合对称轴、特殊点、抛物线与x轴交点的情况，逐项判断所给结论是否正确．
D
 
[方法归纳] 一般地，抛物线开口方向确定a的正负情况，开口向上时a>0，开口向下时a<0；抛物线与x轴交点的多少可以确定b2－4ac与0的关系，即抛物线与x轴有两个交点时，b2－4ac>0，抛物线与x轴有一个交点时，b2－4ac＝0，抛物线与x轴没有交点时，b2－4ac<0；x＝1对应的函数值的大小确定了a＋b＋c的值的大小，x＝－1对应的函数值的大小确定了a－b＋c的值的大小．
考点三　二次函数与一元二次方程的关系
例3 (2019·武汉中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)，则关 于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是_________________．[思路点拨] 由于抛物线y＝ax2＋bx＋c沿x轴向右平移1个单位长度得到抛物线y＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c，从而得到抛物线y＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c与x轴的两个交点坐标为(－2，0)，(5，0)，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二次方程a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0的解．
关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx变形为a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0，把抛物线y＝ax2＋bx＋c沿x轴向右平移1个单位长度得到抛物线y＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)，∴ 抛物线y＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c与x轴的两个交点的坐标为(－2，0)，(5，0)．∴ 一元二次方程a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0的解为x1＝－2，x2＝5.
[方法归纳] 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，反之亦然，同学们应牢记这一规律．
x1＝－2，x2＝5
考点四　二次函数图象与直线的交点问题
例4 (2019·潍坊中考)抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的一 元二次方程x2＋bx＋3－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数根，则 t的取值范围是(　　) A. 2≤t＜11 B. t≥2 C. 6＜t＜11 D. 2≤t＜6[思路点拨] 根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝x2－2x＋3.一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0的实数根可以看成抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t交点的横坐标，再由－1＜x＜4的范围确定y的取值范围即可求解.
 
[方法归纳] 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝t(a≠0)的解的问题可转化成抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝t两图象的交点问题，解题时需借助数形结合思想，同时注意自变量的取值范围．
A
 
C
A
D
 
D
C
6. (2019·徐州中考)已知二次函数的图象经过点P(2，2)，顶点为O(0，0)， 将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线对应的函数解析式为 ____________．7. (2019·凉山州中考)当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝(x－1)2－3有交点， 则a的取值范围是__________．8. (2019·赤峰中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结 论：① b＞0；② a－b＋c＝0；③ 一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0) 有两个不等的实数根；④ 当x＜－1或x＞3时，y＞0.其中正确的是 ________(填序号)．第8题
 
－3≤a≤1
②③④
 
 
 
 
第14课时　函数的应用(一)
课时目标1. 能够从运动变化中发现变量，建立函数模型，体会数学来源于生活．2. 会用一次函数、反比例函数解决实际问题，初步形成用数学模型解题的思想.
1. 用函数知识解决实际问题的步骤：(1) 设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变量，y为x的________．(2) 列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式．(3) 定：根据数学意义和实际意义确定自变量的取值范围．(4) 解：利用相关性质解决问题．(5) 答：检验后写出合适的答案．2. 利用一次函数解决实际问题：一次函数的实际应用关键在于通过建立________模型，解决实际问题，其基本解题思路：问题情境→建立模型→解决问题→拓展应用．3. 利用反比例函数解决实际问题：实际问题中的反比例函数由于实际问题的要求，其函数值与自变量的值一般均为________，这就决定了其函数图象只能是双曲线的两个分支中位于第一象限内的部分，据此情况来具体分析．它的基本解题思路与一次函数问题类似
函数
一次函数
正数
考点一　一次函数的实际应用例1 (2019·雅安中考)某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如 下表： 若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同． (1) 求甲、乙两种商品的进价； (2) 若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品a件(a≥30)，设销 售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数解析式，并求出w 的最小值．[思路点拨] (1) 根据“用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同”列出方程，解方程即可．(2) 根据总利润＝甲种商品一件的利润×甲种商品的件数＋乙种商品一件的利润×乙种商品的件数，列出w与a之间的函数解析式，再根据一次函数的性质即可求出w的最小值．
 
[方法归纳] 本题涉及分式方程、一次函数的性质等，对于这类应用问题，首先要找出题中存在的等量或不等量关系，再列出方程或不等式求解，最后根据一次函数的增减性得出问题的解，解题时要仔细审题，注意题目中的隐含条件．
例2 (2019·长春中考)已知A，B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同 时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿 此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程 y(千米)与甲车的行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示． (1)乙车的速度为________千米/时， a＝________，b＝________； (2) 求甲、乙两车相遇后，y与x之间的函数解析式； (3) 当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．[思路点拨] (1) 根据图象可得出甲、乙两车在行驶2小时时相遇，可设乙车的速度为v千米/时，得出方程2×60＋2v＝270，即可得出乙车的速度，根据甲、乙两车的速度即可求出a，b的值．(2) 根据(1)可得出点A，B，C的坐标，根据待定系数法即可求出当2＜x≤3.6和当3.6＜x≤4.5时的函数解析式．(3) 根据甲车的速度可得甲车到达距B地70千米时行驶的时间，进而得出甲、乙两车之间的路程．
75
3.6
4.5
 
[方法归纳] 一次函数的图象含有大量有价值的信息，从函数图象中获取有价值的信息、正确地进行“形”和“数”的转换、理解图象、读取信息、数形结合是解决函数图象应用问题的关键．求函数图象对应的解析式，大都用待定系数法，先根据函数图象的特点确定函数类型，设出函数解析式，然后将函数图象上点的坐标代入解析式得到方程(组)，解方程(组)得到待定系数，从而得到所求的函数解析式．
考点二　反比例函数的实际应用例3 (2019·淮安中考)当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间 函数关系的是(　　) A B C D[思路点拨] 根据题意得到xy＝矩形面积(定值)，故y是x的反比例函数，且根据x，y的实际意义知x，y应大于0，其图象在第一象限，于是得到结论．
∵ 根据题意，xy＝矩形面积(定值)，∴ y是x的反比例函数(x＞0，y＞0)．故选B.
[方法归纳] 用反比例函数解决实际问题的注意点：(1) 要理清题目中的常量与变量及其基本数量的关系，将实际问题抽象成数学问题并建立数学模型；(2) 要分清自变量和因变量，以便写出正确的函数解析式，结合问题的实际意义，确定自变量的取值范围；(3) 要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题．
B
考点三　反比例函数与一次函数的综合应用例4 (2019·鄂尔多斯中考)教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热 时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温 y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机， 饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30 ℃时接通 电源，水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示． (1) 分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数解析式； (2) 怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间？[思路点拨] (1) 水温上升阶段y是x的一次函数，水温下降阶段y是x的反比例函数，利用待定系数法可分别求出它们的解析式．(2) 将y＝50分别代入两个解析式，求出两者的差，再用一个周期的时间减去这个差即为最多需要等待的时间．
 
[方法归纳] 本题考查了一次(反比例)函数的应用、待定系数法求一次(反比例)函数解析式、一次(反比例)函数图象上点的坐标特征及一次(反比例)函数图象．解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，再根据函数的性质解决问题.
如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立 如图所示的平面直角坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝5米， 进口AB∥OD，且AB＝2米，出口点C距水面的距离CD为1米，则B，C之间的水平 距离DE的长为(　　)A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米2. (2018·镇江中考)甲、乙两地相距80 km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往 乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20 km/h，并继续匀速行驶至乙 地，汽车行驶的路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，该车到达乙 地的时间是当天上午(　　) A. 10：35 B. 10：40 C. 10：45 D. 10：50 第1题 第2题 第3题3. (2019·大连中考)甲、乙两人沿同一条直路行走，如果两人分别从这条直路上 的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图①是甲离开A处后行走的 路程y(m)与行走的时间x(min)的函数图象，图②是甲、乙两人之间的距离y(m) 与甲行走的时间x(min)的函数图象，则a－b＝ ________．
D
B
 
4. (2019·无锡中考)“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小 丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y(km)与出 发时间t(h)之间的函数关系如图①中线段AB所示．在小丽出发的同时，小明从 乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x(km)与出发时间t(h)之 间的函数关系如图②中折线段CD－DE－EF所示． (1) 小丽和小明骑车的速度各是多少？ (2) 求点E的坐标，并解释点E的实际意义．
 
5. (2019·连云港中考)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2 500吨，每生产1吨 甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂 生产了甲产品x吨，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y万元． (1) 求y与x之间的函数解析式． (2) 若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5 吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1 000吨，其他原料充足．当该 工厂生产甲、乙两种产品各多少吨时，能获得最大利润？
(1) y＝0.3x＋0.4(2 500－x)＝－0.1x＋1 000，∴ y与x之间的函数解析式为y＝－0.1x＋1 000　(2) 由题意，得0.25x＋0.5（2 500－x）≤1 000，x≤2 500，∴ 1 000≤x≤2 500.又∵ －0.1＜0，∴ y随x的增大而减小．∴ 当x＝1 000时，y最大，此时2 500－x＝1 500.∴ 当该工厂生产甲产品1 000吨，乙产品1 500吨时，能获得最大利润
6. (2018·连云港模拟)【阅读材料】 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离 与其质量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地 说，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂(如图)． 【问题解决】 若工人师傅欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1 500 N和0.4 m. (1) 动力F(N)与动力臂l(m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石 头需要多大的力？ (2) 若想使动力F(N)不超过(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 【数学思考】 (3) 请用数学知识解释：我们使用撬棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动 力臂越长越省力？
 
第15课时　函数的应用(二)
课时目标1. 通过对在应用过程中函数图象变化的研究，培养阅读能力和统筹决策的能力．2. 能用二次函数知识解决营销类、决策类、最值类问题，综合运用多种函数解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力.
1. 利用二次函数解决“图形最值”问题的一般过程： (1) 将实际问题转化为________；(2) 利用二次函数的________解题．2. 利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般过程：(1) 将利润表示成相关量的二次函数；(2) 利用二次函数的最值求出利润的最________值；(3) 写出答案．3. 二次函数应用题的常用数学思想有__________________________________.
数学模型
性质
大
数形结合思想、模型思想
 
 
[方法归纳] 对于二次函数的应用问题，解题的关键是通过几何图形性质得出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
考点二　利用二次函数求最大利润例2 (2019·锦州中考)2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球 盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售 价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售， 调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件．设每件商品的 售价为x元，每个月的销量为y件． (1) 求y与x之间的函数解析式． (2) 当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2 250元？ (3) 当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为 多少？[思路点拨] (1) 根据月销量等于涨价前的月销量，减去涨价(x－60)元与涨价1元每月少售出的件数2的乘积，化简可得．(2) 令月销量乘每件的利润等于2 250元，解方程即可．(3) 根据题意列出二次函数解析式，由顶点式，可知何时取得最大值及最大值是多少．
(1) y与x之间的函数解析式为y＝100－2(x－60)＝220－2x(60≤x≤110，且x为正整数)．(2) 由题意，得(220－2x)(x－40)＝2 250.化简，得x2－150x＋5 525＝0，解得x1＝65，x2＝85.∴ 当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2 250元．(3) 设每个月获得利润w元．由(2)，知w＝(220－2x)(x－40)＝－2x2＋300x－8 800＝－2(x－75)2＋2 450.∴ 当x＝75，即每件商品的售价定为75元时，每个月获得利润最大，最大月利润为2 450元．
[方法归纳] 利润问题是二次函数应用的热点问题，常用公式：利润＝售价－进价，总利润＝单个商品的利润×销售量，利润率＝利润÷进价×100%.解题时应通过这些公式建立二次函数模型，把利润问题转化为二次函数的最值问题，从而使问题得到解决．
考点三　二次函数与一次函数的综合应用例3 (2019·攀枝花中考)某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克， 售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在 一天内的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)之间满足如下表所示的一 次函数关系． (1) 某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量； (2) 设某天销售这种芒果获利m元，写出m与x之间的函数解析式，如果水果 店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少？[思路点拨] (1) 用待定系数法求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值．(2) 根据利润＝销售量×(售价－进价)，列出m与x之间的函数解析式，再由函数值求出自变量的值．
(1) 设该一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则25k＋b＝35，22k＋b＝38，解得k＝－1，b＝60.∴ y＝－x＋60(15≤x≤40)，且x＝27.5，y＝32.5①，x＝24.5，y＝35.5②均满足此函数关系．∴ 当x＝28时，y＝32.∴ 当天该芒果的销售量为32千克．(2) m与x之间的函数解析式为m＝y(x－10)＝(－x＋60)(x－10)＝－x2＋70x－600.当m＝400时，－x2＋70x－600＝400，解得x1＝20，x2＝50.∵ 15≤x≤40，∴ x＝20.∴ 这天芒果的售价为20元/千克．
[方法归纳] 解决这类问题的一般方法是先根据表格信息求得一次函数解析式，再根据实际问题中的相关公式求得二次函数解析式，确定函数解析式是解决这类问题的关键．
例4 (2019·葫芦岛中考)某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进 行试销售，其销售单价不低于成本．按照物价部门规定，销售利润率不高于 90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符 合如图所示的一次函数关系．(1) 根据图象，直接写出y与x之间的函数解析式．(2) 该公司要想每天获得3 000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3) 当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？[思路点拨] (1) 利用待定系数法求得y与x之间的函数解析式．(2) 根据总利润＝单件产品的利润×销售数量，列方程解决问题．(3) 先得到利润关于销售单价的二次函数解析式，再借助配方法在函数自变量取值范围内求得最大利润．
(1) 设y＝kx＋b(k≠0，b为常数)．将(50，160)，(80，100)代入，得160＝50k＋b，100＝80k＋b，解得k＝－2，b＝260.∴ y与x之间的函数解析式为y＝－2x＋260.(2) 由题意，得(x－50)(－2x＋260)＝3 000.化简，得x2－180x＋8 000＝0，解得x1＝80，x2＝100.∵ 50≤x≤50×(1＋90%)，即50≤x≤95，∴ x＝80.∴ 销售单价应定为80元．(3) 设每天获得的利润为w元．由题意，得w＝(x－50)(－2x＋260)＝－2x2＋360x－13 000＝－2(x－90)2＋3200(50≤x≤95)．∵ －2＜0，抛物线开口向下，∴ 当x＝90时，w最大＝3 200.∴ 当销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3 200元．
[方法归纳] 在解一次函数和二次函数相结合的问题时，除了要学会将实际问题转化为数学问题，有时还要注意根据实际生活，确定自变量的取值范围，再由自变量的取值范围确定对应的函数解析式，最后利用函数的性质解决相关的问题.
 
D
C
5
10
5. (2019·宿迁中考)超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元(市场管理部 门规定，该种玩具每件利润不能超过60元)，每天可售出50件．根据市场调查 发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每 天售出y件．(1) 请写出y与x之间的函数表达式．(2) 当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250元？(3) 设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时，w最大？最大值是多少？
 
6. (2019·云南中考)某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种 植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高 于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价 x(元/千克)的函数关系如图所示． (1) 求y与x之间的函数解析式； (2) 求这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值．