2020年中考数学复习三角形课件PPT

这是一份2020年中考数学复习三角形课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了角的平分线，直角90°，有且只有一条直线，垂线段，垂线段的长度，PA＝AB，垂直平分线，不相交，例3图，°42′等内容，欢迎下载使用。
课时目标1. 了解直线、射线、线段、角的概念及性质；会比较线段的长短，理解线段的和、差及线段中点的意义；会计算角的和、差，会对度、分、秒进行简单的换算．2. 了解余角、补角、对顶角、垂线、垂线段、点到直线的距离的概念，理解等角(或同角)的余角(或补角)相等，理解垂线的性质．3. 能识别同位角、内错角、同旁内角，理解平行线的性质和判定，会运用相关知识进行作图、计算及推理．4. 了解平行于同一条直线的两条直线平行．5. 掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理、角平分线的性质定理及其逆定理．6. 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义．7. 结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念；会识别两个互逆的命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.
知识点2　角的有关概念及性质
知识点3　相交线 1. 三线八角
2. 垂线： (1)概念：当两条直线相交所构成的四个角中，有一个角是___________时，我们 就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． (2) 性质： ① 过一点____________________与已知直线垂直； ② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，________最短； ③ 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的______________，叫做点到直线 的距离．
知识点4　平行线的性质与判定
知识点5　命题1. 命题：判断一件事件的语句，叫做命题．命题分为________和结论两部分．2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．3. 假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．4. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而 第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．5. 定理：判定其他命题真假的依据的真命题，叫做定理
考点一　与角有关的概念和计算例1 (2019·梧州中考)如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是(　　)A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 例1图
∵ 钟表分成12个大格，每格的度数为30°，∴ 钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°.故选B.
例2 (2019·淄博中考)如图，小明从点A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又 从点B处沿东偏南20°方向行走至点C处，则∠ABC的度数为(　　)A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°例2图[思路点拨] 根据方向角的定义可知∠DAB，∠CBF的度数．根据平行线的性质可知∠ABE的度数，从而利用角的和差关系求解．
∵ 小明从点A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20°方向行走至点C处，∴ ∠DAB＝40°，∠CBF＝20°.∵ 向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴ ∠ABE＝∠DAB＝40°.∵ ∠EBF＝90°，∴ ∠EBC＝90°－20°＝70°.∴ ∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝40°＋70°＝110°.故选C.
[方法归纳] 物体运动的方向与正北、正南方向所夹的锐角称为方向角，理解方向角的定义是解题的前提，同时利用平行线的性质及角的和差关系实现角的转化是解题的关键．
考点二　平行线的判定与性质例3 (2018·郴州中考)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定 a∥b的是(　　) A. ∠2＝∠4 B. ∠1＋∠4＝180° C. ∠5＝∠4 D. ∠1＝∠3[误区警示] 在运用同位角、内错角、同旁内角判定直线是否平行时，一定要搞清楚这一对角是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的，从而才能进行判断．
∵ ∠2，∠4是同位角，∠2＝∠4，∴ 根据“同位角相等，两直线平行”，得a∥b.∵ ∠1，∠4是同旁内角，∠1＋∠4＝180°，∴ 根据“同旁内角互补，两直线平行”，得a∥b.∵ ∠4，∠5是内错角，∠4＝∠5，∴ 根据“内错角相等，两直线平行”，得a∥b.∵ ∠1，∠3是对顶角，∴ 无法得到a∥b.故选D.
例4 (2019·南通中考)如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，交CD于点E.若∠C＝70°， 则∠AED的度数为(　　) A. 110° B. 125° C. 135° D. 140°例4图[思路点拨] 根据平行线的性质求出∠CAB的度数，再根据角平分线的性质求出∠BAE的度数，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”求出∠AED的度数．
[方法归纳] 本题考查了平行线的性质与角平分线的性质，本质上就是两次由两直线平行得到角的关系，本题还可以利用三角形外角的性质∠AED＝∠C＋∠CAE求解．
考点三　构造平行线解题例5 (2019·泰安中考)如图，直线l1∥l2，∠1＝30°，则∠2＋∠3的度数为 (　　) A. 150° B. 180° C. 210° D. 240° 例5图[思路点拨] 如图，过点E作EF∥l1.由l1∥l2，得EF∥l1∥l2，继而得到∠1＝∠AEF，∠FEC＋∠3＝180°.又由∠2＝∠AEF＋∠FEC，可得答案．
过点E作EF∥l1.∵ l1∥l2，∴ EF∥l1∥l2.∴ ∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC＋∠3＝180°.∴ ∠2＋∠3＝∠AEF＋∠FEC＋∠3＝30°＋180°＝210°.故选C.
[方法归纳] 有关平行线的题目，一般需要先运用平行线的性质实现角的转化，再结合题目中的其他条件进行求解，如果不是“三线八角”，可添加辅助线，变成“三线八角”再求解．如本题作EF∥l1.
考点四　平行线与三角尺的综合运用例6 (2019·日照中考)如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当 ∠1＝35°时，∠2的度数为(　　) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 例6图
∵ 直尺的两边互相平行，∠1＝35°，∴ ∠3＝35°.∵ ∠2＋∠3＝90°，∴ ∠2＝55°.故选C.
[方法归纳] 三角尺是常见的教具，与三角尺有关的平行线问题一直是中考的热点，解题时我们需要意识到三角尺就是一个条件：它的三个内角都是特殊角，再结合平行线的性质解决问题．
例7 (2019·张家界中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分 ∠ABC，则点D到AB的距离为(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1例7图[思路点拨] 如图，过点D作DE⊥AB于点E.由角平分线的性质，可知DE＝DC.由AC＝8，DC＝AD，可得DC的长，从而得出答案．
考点五　角平分线的性质
[方法归纳] 角平分线上的点到角两边的距离相等，因此当遇到求角平分线上的点到一边的距离时，要作出它到另一边的垂线，从而得出等边，为解决其他问题打下基础．
考点六　线段垂直平分线的性质例8 (2019·梧州中考)如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是(　　) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 例8图[思路点拨] 根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，从而将△BEC的周长转化为AC＋BC的长．
∵ DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴ AE＝BE.∵ AC＝8，BC＝5，∴ △BEC的周长是BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝13.故选B.
[方法归纳] 根据线段的垂直平分线，往往可以得到长度相等的线段，从而将三角形的两边之和转化到一条线段(大三角形的一条已知边)上，最终发现已知和所求之间的联系．
考点七　命题例9 (2019·百色中考)下列四个命题：① 两直线平行，内错角相等；② 对顶角 相等；③ 等腰三角形的两个底角相等；④ 菱形的对角线互相垂直．其中逆 命题是真命题的是(　　) A. ①②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ①[思路点拨] 先根据所给命题得出各自的逆命题，再判断正确性即可．
① 两直线平行，内错角相等，其逆命题：内错角相等，两直线平行是真命题；② 对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角是假命题；③ 等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形是真命题；④ 菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题．故选C.
[方法归纳] 命题是由题设与结论组成的判别某一事情的语句，当命题的题设与结论交换位置后就变成它的逆命题，命题有真假命题，逆命题也有真假命题．判断真假命题的一般方法是掌握定义、定理及法则.
1. (2019·玉林中考)若α＝29°45′，则α的余角的度数为(　　)A. 60°55′ B. 60°15′ C. 150°55′ D. 150°15′2. (2019·白银中考)下列四个几何体中，是三棱柱的为(　　) A B CD3. (2018·河北中考)如图，快艇从点P处向正北航行到点A处，再向左转50°航行 到点B处，然后向右转80°继续航行，此时的航行方向为(　　)A. 北偏东30°　　 B. 北偏东80°C. 北偏西30°　　 D. 北偏西50°　　 4. (2019·河池中考)如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的度数是(　　)A. 60° B. 80° C. 100° D. 120°
8. (2019·湖州中考)如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝ 6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　　) A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 第8题9. (2019·日照中考)如图，AB＝8 cm，BD＝3 cm，C为AB的中点，则线段CD的长 为________cm. 第9题10. (2018·昆明中考)如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°18′，则 ∠AOC的度数为________．第10题
11. (2019·南京中考)用符号语言表示定理“同旁内角互补，两直线平行”的推 理形式：如图，∵ ____________，∴ a∥b. 第11题 第12题12. (2019·菏泽中考)如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2－∠1＝________．13. (2018·南充中考)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于 点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝________． 第13题14. (2019·武汉中考)如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A ＝∠1，CE∥DF.求证：∠E＝∠F. 第14题
∵ CE∥DF，∴ ∠ACE＝∠D.∵ ∠A＝∠1，∴ 180°－∠ACE－∠A＝180°－∠D－∠1，即∠E＝∠F
第17课时　三角形与多边形
课时目标1. 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念及性质，了解三角形的稳定性；会画任意三角形的角平分线、中线、高．2. 探索并证明三角形的三边关系、三角形的内角和定理及外角性质，并会对三角形进行分类，会进行有关证明和计算．3. 了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和的相关知识.
知识点1　三角形的概念及其分类概念：由______________直线上的三条线段首尾依次连接组成的图形叫做三 角形，一个三角形有三条边、三个顶点、三个内角．2. 分类：
知识点2　三角形的边角关系三角形三边关系：三角形的任意两边之和________第三边，任意两边之差 ________第三边．2. 三角形内角和定理及其推论： (1) 三角形的内角和等于________；(2) 三角形的一个外角等于与它________的两个内角的________；(3) 三角形的一个外角________与它________的任何一个内角．
知识点3　三角形中的三条重要线段
温馨提示：1. 常过角平分线上的点作两条邻边的垂线，构造全等三角形解题；2. 三角形的中线平分三角形的面积．
考点一　三角形中三边的关系例1 (2019·徐州中考)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(　　) A. 2，2，4 B. 5，6，12 C. 5，7，2 D. 6，8，10
∵ 2＋2＝4，∴ 2，2，4不能组成三角形．故A错误．∵ 5＋6＜12，∴ 5，6，12不能组成三角形．故B错误．∵ 5＋2＝7，∴ 5，7，2不能组成三角形．故C错误．∵ 6＋8＞10，∴ 6，8，10能组成三角形．故D正确．故选D.
[方法归纳] 判断三条边(a，b，c，a≤b≤c)能否构成三角形，只需比较两条短边a，b的和与第三边c的大小，若a＋b＞c，则能构成三角形；反之，则不能构成三角形．
例2 (2019·广安中考)等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为 ________cm.[思路点拨] 题目给出等腰三角形有两条边长为6 cm和13 cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否构成三角形．
由题意，知应分两种情况：(1) 当腰长为6 cm时，三角形的三边长为6 cm，6 cm，13 cm，6＋6＜13，不能构成三角形；(2) 当腰长为13 cm时，三角形的三边长为6 cm，13 cm，13 cm，能构成三角形，周长为2×13＋6＝32(cm)．
[方法归纳] 当已知等腰三角形的两条边长时，若没有明确边的类型，要分已知边是底边和腰两种情况进行讨论，再根据三角形三边关系(三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边)进行判断．
考点二　三角形内角和定理例3 (2019·赤峰中考)如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F. 若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为(　　) A. 65° B. 70° C. 75° D. 85°例3图[思路点拨] 已知DE⊥AB，可得∠DEB＝90°.结合∠D的度数及三角形内角和定理可得∠B的度数，再结合∠A的度数得出答案．
∵ DE⊥AB，∴ ∠DEB＝90°.∵ ∠D＝15°，∴ ∠B＝90°－∠D＝90°－15°＝75°.又∵ ∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴ ∠ACB＝180°－75°－35°＝70°.故选B.
[方法归纳] 在一个三角形中已知任意两个角的度数便可求出第三个角的度数，或在一个三角形中已知两角的度数和也可求出第三个角的度数．
考点三　三角形的外角性质例4 (2018·南通中考)如图，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，C为射线OP上一点， 作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝________°. 例4图[思路点拨] 由角平分线可求得∠AOP与∠POB的度数，再根据外角性质得∠DCP＝∠AOP＋∠ODC，从而求得∠DCP的度数，此时只需利用平行线的性质求得∠PCE的度数便可解决问题．
∵ ∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，∴ ∠AOP＝∠POB＝20°.∵ CD⊥OA，∴ ∠ODC＝90°.∴ ∠DCP＝∠ODC＋∠AOP ＝110°.∵ CE∥OB，∴ ∠PCE＝∠POB＝20°.∴ ∠DCE＝∠DCP＋∠PCE＝130°.
[方法归纳] 在解决求角度相关问题时，常常要用到三角形内角和等于180°及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质及平行线的性质，这些是解决求角度相关问题的重要工具．
考点四　多边形的内角和与外角和例5 (2018·南通中考)若一个多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为 (　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
设这个多边形的边数为n.由多边形的内角和公式，得(n－2)·180°＝720°，解得n＝6.故选C.
[方法归纳] 求多边形的边数问题，常见以下几类：(1) 已知内角和，求边数，此时可直接利用多边形内角和公式求解；(2) 已知多边形的每个内角相等，且等于a°，此时可利用多边形内角和的两种不同计算方法得出方程(n－2)·180＝n·a；(3) 已知多边形的每个外角相等，且等于b°，则多边形的边数为.
例6 (2018·山西中考)图①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征 着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图② 是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋ ∠3＋∠4＋∠5＝________°.　　　 ① ② 例6图[思路点拨] 观察图形易知，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5为五边形的外角，根据多边形的外角和等于360°解答即可．
由多边形的外角和等于360°，可知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°.
4. (2019·天水中考)一把直尺和一把三角尺ABC(含30°角)按如图所示的方式摆 放，直尺的一边与三角尺的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角尺的两 直角边分别交于点F和点A，且∠CED＝50°，那么∠BFA的度数为(　　)A. 145° B. 140° C. 135° D. 130°第4题5. (2019·大庆中考)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的 平分线，BE与CE相交于点E.若∠A＝60°，则∠BEC的度数为(　　)A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°第5题6. (2019·辽阳中考)已知正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是 ________．7. (2018·抚顺中考)将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ 220°，则∠5＝________．第7题
8. (2018·宜昌中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的 外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E. (1) 求∠CBE的度数； (2) 过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．第8题
9. 如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线． (1) 若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数； (2) 若∠C＞∠B，猜想∠DAE与∠C－∠B之间的数量关系，并加以证明． 第9题
第18课时　全等三角形
课时目标1. 通过画图和实验了解全等三角形的概念；能识别全等三角形中的对应边、对应角．掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质进行计算或推理．2. 能灵活运用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”来判定两个三角形全等．3. 能运用全等三角形的性质与判定和等腰三角形的性质与判定进行证明和计算.
知识点1　全等三角形及其性质1. 全等三角形：能够__________的两个三角形叫全等三角形．2. 全等三角形的性质： (1) 全等三角形的________相等； (2) 全等三角形的________相等； (3) 全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高等)________，周长 ________，面积________．
知识点2　全等三角形的判定1. 三角形全等的判定：
温馨提示：在判定三角形全等时，还要注意的问题：(1) 根据已知条件与结论认真分析图形；(2) 准确无误地确定每个三角形的六个元素；(3) 根据条件，确定对应元素，即找出相等的角或边；(4) 对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等；(5) 想办法找出所需条件．
2. 判定三角形全等的技巧：
3. 全等三角形常见模型： (1) 平移型：如图，它们可看成由对应边在一直线上移动所构成的，故该对应 边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差得到． (2) 对称型：如图，它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全 重合(轴对称图形)，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点． (3) 旋转型：如图，它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的， 故一般有一对相等的角隐含在对顶角中或某些角的和差中．
考点一　全等三角形的性质例1 如图，△ABE≌△ACD，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠DOE的度数为(　　) A. 85° B. 95° C. 110° D. 120°例1图
∵ △ABE≌△ACD，∴ ∠B＝∠C＝25°.∵ ∠A＝60°，∠C＝25°，∴ ∠BDO＝∠A＋∠C＝85°.∴ ∠DOE＝∠B＋∠BDO＝25°＋85°＝110°.故选C.
[误区警示] 全等三角形的性质是全等三角形的对应角、对应边相等，运用全等三角形的性质的关键是“对应”．
考点二　全等三角形的判定例2 (2019·安顺中考)如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那 么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　) A. ∠A＝∠D B. AC＝DF C. AB＝DE D. BF＝EC[思路点拨] 全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据判定方法逐个判断即可．
添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故A符合题意；添加AC＝DF可用AAS进行判定，故B不符合题意；添加AB＝DE可用AAS进行判定，故C不符合题意；添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故D不符合题意．故选A.
[方法归纳] (1) 要证三角形全等，至少要有一组“边”的条件，因此一般情况下，我们先找对应边．(2) 在有一组对应边相等的前提下，我们通常找任意两组对应角相等即可；在有两组对应边分别相等的前提下，可以找第三组对应边相等，或者找两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角；若有三组对应边分别相等，则可以直接根据边边边(SSS)求解．(3) 要证直角三角形全等，通常先考虑斜边、直角边定理(HL)．
考点三　全等三角形的性质与判定的综合应用例3 (2019·宜昌中考)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分 ∠ABC，交AC边于点E，连接DE. (1) 求证：△ABE≌△DBE； (2) 若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数． 例3图[思路点拨] (1) 由角平分线性质得出∠ABE＝∠DBE，由SAS证明△ABE≌△DBE即可．(2) 由△ABE≌△DBE，可得∠A＝∠BDE，∠AEB＝∠DEB，再结合外角性质可解决问题．
[方法归纳] 证明三角形全等主要去找边和角，根据已知条件得出两个三角形的对应边和对应角相等，用AAS，SAS，ASA，SSS来证明两个三角形全等，另外证明全等之后可根据全等三角形的性质得出相应边、角的等量关系．
考点四　等腰三角形、全等三角形的综合应用例4 (2018·滨州中考)已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． (1) 如图①，若E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF. (2) 如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，则BE＝AF吗？ 请说明理由．例4图[思路点拨] (1) 连接AD，根据等腰三角形的“三线合一”可得出AD＝BD，∠EBD＝∠FAD，再根据同角的余角相等可得∠BDE＝∠ADF，从而可证△BDE≌△ADF(ASA)，最后根据全等三角形的性质即可得出BE＝AF.(2) 连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD＝∠FAD，BD＝AD，根据同角的余角相等可得出∠EDB＝∠FDA，由此证出△EDB≌△FDA(ASA)，再根据全等三角形的性质即可得出BE＝AF.
[方法归纳] 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是(1) 根据全等三角形的判定定理ASA证出△BDE≌△ADF；(2) 根据全等三角形的判定定理ASA证出△EDB≌△FDA.
如图，△ABC≌△A′B′C，点B′在边AB上，线段A′B′与AC交于点D.若∠A ＝40°，∠B＝60°，则∠A′CB的度数为(　　) A. 100° B. 120° C. 135° D. 140°第1题2. (2018·黔西南州中考)下列各图中的a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙 三个三角形和左侧△ABC全等的是(　　) A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有丙第2题3. (2019·襄阳中考)如图，∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：① ∠A＝ ∠D；② AC＝DB；③ AB＝DC.其中不能确定△ABC≌△DCB的是________(填序 号)．第3题
4. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上的两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝5， BF＝4，EF＝3，则AD的长为________．第4题5. (2019·南通中考)如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平 地上取一点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D， 使CD＝CA.连接BC并延长到点E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A， B的距离．为什么？第5题
在△ABC和△DEC中，CA＝CD，∠ACB＝∠DCE，CB＝CE，∴ △ABC≌△DEC.∴ AB＝DE
6. (2019·温州中考)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是边AB上一点， 过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F. (1) 求证：△BDE≌△CDF； (2) 当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．第6题
(1) ∵ CF∥AB，∴ ∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.∵ AD是边BC上的中线，∴ BD＝CD.∴ △BDE≌△CDF　(2) ∵ △BDE≌△CDF，∴ BE＝CF＝2.∴ AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.∵ AD⊥BC，BD＝CD，∴ AC＝AB＝3
第19课时　等腰三角形与直角三角形
课时目标1. 了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理与判定定理；探索等边三角形的性质定理与判定定理，并会进行有关证明和计算．2. 了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质与判定定理．3. 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
知识点1　等腰三角形的概念与性质
知识点2　等腰三角形的判定1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形．2. 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边________，简称____________．知识点3　等边三角形的性质与判定
知识点4　直角三角形的概念、性质与判定
知识点5　勾股定理及逆定理
考点一　等腰三角形的性质与判定例1 (2019·宁夏中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别在AB，AC上，且AD ＝AE，连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为 (　　) A. 40° B. 45° C. 55° D. 70°[思路点拨] 利用等边对等角及∠C的度数求∠CAB的度数，从而得出∠ADE的度数，然后利用平行线的性质求出∠GAD的度数．[方法归纳] 解答等腰三角形已知边求角的问题，经常利用等边对等角及三角形内角和或外角性质来解决．
例2 (2019·无锡中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，BD ＝CE，BE，CD相交于点O.求证： (1) △DBC≌△ECB； (2) OB＝OC. 例2图[思路点拨] (1) 根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠ECB，再结合题中条件及全等三角形的判定定理即可得到结论．(2) 根据全等三角形的性质得到∠DCB＝∠EBC，再根据等腰三角形的判定定理即可得到OB＝OC.
∵ AB＝AC，∴ ∠DBC＝∠ECB.在△DBC和△ECB中，BD=CE,∠DBC=∠ECB,BC=CB ∴ △DBC≌△ECB.(2) 由(1)，知△DBC≌△ECB，∴ ∠DCB＝∠EBC.∴ OB＝OC.
[方法归纳] 要证明三角形是等腰三角形必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有：(1) 通过等角对等边得到两边相等；(2) 通过三角形全等得到两边相等；(3) 利用垂直平分线的性质得到两边相等．
考点二　等边三角形的性质与判定例3 (2019·哈尔滨中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°， E为边AD上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB.若AB＝8，CE＝6， 则BC的长为________． 例3图[思路点拨] 如图，连接AC交BD于点O.由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长．
[方法归纳] 本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的性质和判定、勾股定理，熟练运用等边三角形的判定以及进行边角的转化是解答本题的关键．同时等边三角形是一个极其特殊的图形，应重点关注它的边和角．
∵ 在Rt△ABC中，CM平分∠ACB，MN∥BC，且MN平分∠AMC，∴ ∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC.∴ ∠ACB＝2∠B，NC＝NM.∴ 易得∠B＝30°.∴ ∠AMN＝30°.∵ AN＝1，∴ NM＝2.∴ AC＝AN＋NC＝AN＋NM＝3.∴ BC＝6.故选B.
[方法归纳] 含30°角的直角三角形的性质主要用来计算线段长度，或证明线段的倍数关系，当直角三角形出现30°或60°角时应该联想此性质来解决问题．
考点四　勾股定理及其应用例5 (2019·南通中考)小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练 习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作 AB⊥OA，使AB＝3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于 点P，则点P所表示的数介于(　　) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间例5图[思路点拨] 根据勾股定理求出OB的长，即OP的长，从而判断出点P所表示的数的范围．
[方法归纳] 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方，遇到直角三角形及求其边长时便应考虑勾股定理．
例6 (2019·南京中考)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm的 细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有________cm.例6图[思路点拨] 根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的木筷的最长长度，进而得出答案．
[误区警示] 本题主要考查了勾股定理的应用，构造出直角边长为12和9的直角三角形是解题关键，需要一定的空间想象能力.
1. (2018·南通中考)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　　)A. 3，4，5 B. 2，3，4 C. 4，6，7 D. 5，11，122. (2019·山西中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在 直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E.若∠1＝145°，则∠2的度数是(　　)A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°3. (2019·毕节中考)如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA的长为半径画弧，交边BC 于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数为________．第2题 第3题
4. (2019·大连中考)如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连 接AD.若AB＝2，则AD的长为________．5. (2019·河北中考)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B， C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地． (1) A，B两地间的距离为________km； (2) 计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A， C的距离相等，则C，D间的距离为________km.第4题 第5题
6. (2019·攀枝花中考)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线， 且BD＝CE.求证： (1) 点D在BE的垂直平分线上； (2) ∠BEC＝3∠ABE.第6题
(1) 如图，连接DE.∵ CD是AB边上的高，∴ ∠ADC＝∠BDC＝90°.∵ BE是AC边上的中线，∴ DE＝CE＝AE.∵ BD＝CE，∴ BD＝DE.∴ 点D在BE的垂直平分线上　(2) ∵ DE＝AE，∴ ∠ADE＝∠A.∵ BD＝DE，∴ ∠DBE＝∠DEB.∴ ∠A＝∠ADE＝∠DBE＋∠DEB＝2∠ABE.∵ ∠BEC＝∠A＋∠ABE，∴ ∠BEC＝3∠ABE
第20课时　相似三角形
课时目标1. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．2. 通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比．3. 了解相似三角形的判定定理与性质定理，并利用它们进行计算或推理．4. 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．5. 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
概念：对应角________，对应边成________的两个三角形叫做相似三角形．相 似三角形对应边的比叫做________．2. 相似三角形的性质： (1) 性质1: 相似三角形的对应角______________，对应边________． (2) 性质2：相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比等于_ __________． (3) 性质3：相似三角形的周长之比等于______，面积之比等于___________．3. 相似三角形的判定方法：(1) 一般三角形：① 两角对应相等，两个三角形相似；② 两边对应成比例，且________相等，两个三角形相似；③ 三边对应________，两个三角形相似．(2) 直角三角形：① 一组________对应相等，两直角三角形相似；② 两组直角边对应成比例，两直角三角形相似.
知识点3　相似多边形及其性质定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角________，对应边_______，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形________的比叫做相似 比．2. 性质： (1) 相似多边形的对应角________，对应边________； (2) 相似多边形对应边的比、周长的比等于________，面积的比等于 ________________．
[方法归纳] 本题考查了平行线分线段成比例定理，运用此定理时，要看清平行线组，找准被平行线组截得的对应线段．为了便于记忆，可用口诀“上对上，下对下，全对全”．
[方法归纳] 相似三角形的判定，关键要抓住两点：(1) 判定两个三角形相似的常规思路：①__先找两组对应角相等；②__若只能找到一组对应角相等，则判断夹相等角的两边是否对应成比例；③__若找不到角相等，则判断三边是否对应成比例，否则可考虑相似三角形的“传递性”等．(2) 借助图形找三角形相似：① 有平行线的可围绕平行线找相似；② 有公共角或相等角的可再找其他相等的角或成比例的对应边(夹相等角的两边)；③ 有公共边的可将图形旋转或翻折，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．
考点三　相似三角形的性质例3 (2019·沈阳中考)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中 线．若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是(　　) A. 3∶5 B. 9∶25 C. 5∶3 D. 25∶9[思路点拨] 根据相似三角形对应中线的比、周长的比等于相似比即可得出答案．
∵ △ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，AD＝10，A′D′＝6，∴ △ABC与△A′B′C′的周长比＝AD∶A′D′＝10∶6＝5∶3.故选C.
[误区警示] 本题是相似三角形性质的直接应用，要注意找准相似三角形的对应边，避免找错对应边而导致结果错误．
∵ AD⊥AB，DE⊥AD，∴ ∠BAD＝∠ADE＝90°.∴ DE∥AB.∴ △EDC∽△ABC.∵ DE＝1，AB＝2，即DE∶AB＝1∶2，∴ S△EDC∶S△ABC＝1∶4.∴ S四边形ABDE∶S△ABC＝3∶4.∵ S四边形ABDE＝S△ABD＋S△ADE＝×2×2＋×2×1＝3，∴ S△ABC＝4.故选B.
[方法归纳] 相似三角形的面积之比等于相似比的平方，由面积关系得出线段的数量关系，反过来，知道两个相似三角形的对应线段的数量关系也就知道了它们的面积关系．
[方法归纳] 在判定两个三角形相似时，当给出的两个三角形中的已知条件以角为主时，我们应首先考虑使用“两角对应相等”的判定方法；另外一些基本图形是我们解决问题的重要基础，像本题中的“垂直型”基本图形，给我们带来判定两个三角形相似的灵感．
考点五　相似的应用例6 (2019·荆门中考)如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明先在操场上点A处 放一面镜子，向后退到点B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放 到点C处，然后后退到点D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(点O，A，B， C，D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m．如果小明眼睛距地面的 高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE. [思路点拨] 设点E关于点O的对称点为M，由光的反射知，延长GC，FA相交于点M，连接GF并延长，交OE于点H.根据FH∥AO，GF∥AC得到△AOM∽△FHM，△MAC∽△MFG，利用相似三角形对应边的比相等列式计算即可．
[方法归纳] 利用相似三角形对应边成比例的性质是求线段长的重要方法，运用相似求线段的长时首先要根据相似三角形的判定条件找出相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例的性质建立比例式，通过比例式搭建已知线段与要求线段之间的关系．
例7 (2019·南京建邺区一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点， 以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，连接DE，CD. (1) 求证：DE是⊙O的切线； (2) 若CD＝6 cm，DE＝5 cm，求⊙O的直径． 例7图[思路点拨] (1) 如图，连接DO，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADC＝90°，则∠BDC＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质，得DE＝CE，由等边对等角，得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，通过角的转化可得∠EDO＝90°，则DE是⊙O的切线．(2) 易证△BCA∽△BDC，由相似三角形的性质求出AC的长即可．
考点六　相似与圆的综合应用
[方法归纳] 圆是相似三角形的重要知识背景，解与圆有关的题目时，相似是一种常见的数学手段，注意从同弧(等弧)所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是90°出发，找出相似三角形，再根据对应边的关系，很多问题便可迎刃而解.
7.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延 长EF交BC的延长线于点G. (1) 求证：△ABE∽△EGB； (2) 若AB＝4，求CG的长．
8. (2019·常州二模)(1) 如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是BA， CA延长线上的点，且△ABC∽△AED，M是BC的中点，延长MA交DE于点N，求证： MN⊥DE. (2) 如图②，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．请仅用 无刻度的直尺按下面的要求分别作图(保留作图痕迹，不需要写作法)： ① 在△ABC外作△CEF，使△ABC∽△FEC； ② 在线段FE上作一点P，使得点P到点C的距离最小． 第8题
9. (2019·泰州海陵区二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O，交 BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB于点E，交AC的延长线于点F. (1) 求证：BD＝CD； (2) 求证：∠BAC＝2∠FDC； (3) 若OA＝3，DF＝，求CF的长． 第9题
第21课时　锐角三角函数及其应用
课时目标1. 理解锐角三角函数(sin α，cs α，tan α)的定义，会由已知条件(图形或网格)求锐角三角函数值．2. 熟记30°，45°，60°角的三角函数值，会计算含有特殊角的三角函数值．3. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角．4. 能利用直角三角形中的边边、边角关系解直角三角形．5. 能结合仰角、俯角、坡度等知识，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.
温馨提示：一个锐角的正弦、余弦、正切只与边的比值或角的大小有关，而与三角形的大小无关．
2. 一些特殊角的三角函数值：
3. 三角函数的增减性： 当角度在0°～90°范围内变化时，正弦函数值随角度的增大而_______ _，余弦函数值随角度的增大而________，正切函数值随角度的增大而_ __________．
知识点2　解直角三角形1. 解直角三角形的定义及常用关系：
2. 解直角三角形的常见类型和解法：
知识点3　解直角三角形应用的有关概念
[方法归纳] 本题考查了如何在网格中构造直角三角形，从而求一个角的三角函数值．解决这类问题一般先将相应的角置于直角三角形中，当所求的角不能直接构造出直角三角形时，可以将角转换，即寻找相等的角，构造出相等的角所在的直角三角形，求出相应的边的长度，进而解决问题．
[误区警示] 这类问题常见的错误是记错特殊角的锐角三角函数值．可结合下面的图形理解记忆．
考点三　函数与三角函数的综合题例3 (2019·泰州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图像的顶点坐 标为(4，－3)，该图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A的横坐 标为1. (1) 求该二次函数的表达式； (2) 连接BC，求tan ∠ABC的值． 例3图[思路点拨] (1) 由题意，可设该二次函数的表达式为y＝a(x－4)2－3，将A(1，0)代入即可求得a的值．(2) ∠ABC是Rt△OBC的内角，根据锐角三角函数的定义即可解决问题．
[方法归纳] 锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系．本题是锐角三角函数与二次函数的综合运用，利用锐角三角函数的定义及二次函数图像的对称性是解题的关键．
[方法归纳] 遇到含有特殊角的非直角三角形时，往往通过作垂直构造含特殊角的直角三角形，从而利用锐角三角函数解决问题．
考点五　解直角三角形的应用例5 (2019·南京中考)如图，山顶有一塔AB，塔高33 m．计划在塔的正下方沿直 线CD开通穿山隧道EF.从与点E相距80 m的点C处测得A，B的仰角分别为27°， 22°，从与点F相距50 m的点D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长(参考数 据：tan 22°≈0.40，tan 27°≈0.51)． 例5图[思路点拨] 如图，延长AB交CD于点H，根据正切的定义用CH表示出AH，BH，再由题意列式求出CH，利用特殊角45°即可得到DH的长，最后结合已知计算即可得到EF的长．
延长AB交CD于点H，则AH⊥CD.在Rt△AHD中，∵ ∠D＝45°，∴ AH＝DH.在Rt△AHC中，AH＝CH·tan ∠ACH≈0.51CH.在Rt△BHC中，BH＝CH·tan ∠BCH≈0.4CH.∵ AH－BH＝AB，∴ 0.51CH－0.4CH＝33 m，解得CH＝300 m．∴ EH＝CH－CE＝300－80＝220(m)，BH≈0.4×300＝120(m)．∴ AH＝AB＋BH＝153 m．∴ DH＝AH＝153 m．∴ HF＝DH－DF＝153－50＝103(m)．∴ EF＝EH＋HF＝323 m．∴ 隧道EF的长为323 m.
[方法归纳] 解决这类问题的一般方法是把实际问题转化为数学问题，即构造直角三角形模型，利用直角三角形的边角关系，通过勾股定理或者锐角三角函数直接求解边长或建立方程模型求解．
[方法归纳] 本类问题解答时的基本模式：化斜为直，构造出联系已知条件与未知条件的直角三角形，然后设出相应的未知数，结合图形中的边角关系利用三角函数列出方程，进而求解.
8. (2019·扬州中考)如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，CE＝6，BE＝8， DE＝10. (1) 求证：∠BEC＝90°； (2) 求cs ∠DAE的值． 第8题
9. (2019·宿迁中考)宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服 务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其 中AB，CD都与地面l平行，车轮半径为32 cm，∠BCD＝64°，BC＝60 cm，坐 垫E与点B的距离BE为15 cm. (1) 求坐垫E到地面的距离． (2) 根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒 适．小明的腿长约80 cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′处，求EE′ 的长． (结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 64°≈0.90，cs 64°≈0.44，tan 64°≈2.05)
11. (2019·南京二模)如图，有一截面为矩形BDFE的建筑物，在该建筑物的上方有 一信号塔DC.从点A处测得点C，F的仰角分别为45°，26.6°.沿AB方向前进20米 到达点G处，此时测得点F的仰角为37°，从点F处测得点C的仰角为68.2°.求： (1) 建筑物的高度EF； (2) 信号塔DC的高度． (参考数据：tan 37°≈0.75，tan 26.6°≈0.5，tan 68.2°≈2.5)