2022年江苏省扬州市广陵区树人中学中考数学一模试卷（含解析）

2022年江苏省扬州市广陵区树人中学中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

2. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，下列函数的图象不过点的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图是一个几体何的三视图图中尺寸单位：，则这个几何体的侧面积为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，菱形的对角线、的长分别为和，则这个菱形的周长是

A.
B.
C.
D.

6. 将二次函数的图象向上平移个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为

A.  B.
C.  D.

7. 已知、、为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

8. 在平面直角坐标系中，点在直线上上，以为圆心，为半径的圆与轴的另一个交点为，给出如下定义：若线段，和直线上分别存在点，点和点，使得四边形是矩形点，，顺时针排列，则称矩形为直线的“理想矩形”例如，图中的矩形为直线的“理想矩形”，若点，则直线的“理想矩形”的面积为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9. 光速是每秒万公里，每小时公里．用科学记数法表示是______．
10. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
11. 分解因式的结果是______ ．
12. 如图，是一块直角三角板，，，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点落在直尺的一边上，与直尺的另一边交于点，与直尺的两边分别交于点，，若，则的度数为______
     

13. 某天我国个城市的平均气温分别是、、、、、，则这个城市平均气温的极差是______
14. 二次函数的顶点坐标为______ 。
15. ，是下列函数图象上任意的两点：
    ；；；．
    其中，满足的函数有______ 填上所有正确的序号
16. 如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为______
17. 如图，点在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则______．
     

18. 如图，在中，，，为边上一动点点除外，以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分）

19. 计算或化简：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解不等式组，并写出它的整数解．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某佼举行“母亲节暖心特别行动”，从全校随机调查了部分同学的吸心行动，并将其分为，，，四种类型分别对应送服务、送鲜花、送红包、送祝愿现根据诃查的数据绘食成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据两幅不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
    
    该校共抽查了多少名同学的暖心行动？
    求出扇形统计图中扇形的圆心角度数？
    若该校共有名同学，请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名？
    
    
    
    
    
    
     
22. 为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有名学生名男生，名女生获奖．
    老师若从获奖的名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概率为______．
    老师若从获奖的名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 某服装店用元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了元．
    这两次各购进这种衬衫多少件？
    若第一批衬衫的售价是元件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，则第二批衬衫每件售价多少元？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，有两座建筑物与，从测得建筑物顶部的仰角为，在上有一点，点到的距离为米，从测得建筑物的顶部、的仰角分别为、求建筑物的高度．参考数据：，

25. 如图，在中，，以为直径作，交于点，交的延长线于点过点作，垂足为．
    求证：为的切线；
    若，，求劣弧的长．

26. 已知二次函数为常数．
    求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个不同的公共点；
    求证：不论为何值，该函数的图象的顶点纵坐标不变；
    若该函数的图象与轴交点为、，与轴交点为，当时，面积的取值范围为______．
    
    
    
    
    
    
     
27. 已知在中，，是边上的一点，将沿着过点的直线折叠，使点落在边的点处不与点，重合，折痕交边于点．
    特例感知如图，若，是的中点，求证：；
    变式求异如图，若，，，过点作于点，求和的长；
    化归探究如图，若，，且当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置，请直接写出的取值范围．

28. 如图，在中，，，过点作，垂足为，且，是线段上一点，过作，垂足为．
    请直接写出的长为______ ；
    如图，若点在的角平分线上，求的长；
    如图，连接，点为点关于的对称点．
    连接，，当四边形中有两边互相平行时，求的长；
    连接交于点，点在点的上方，若，则 ______ ．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，则；故函数的图象过点；
B.，则，故函数的图象过点；
C.，则，故函数的图象不过点；
D.，则，故函数的图象过点；
故选：．
把点分别代入解析式判断即可．
本题考查了反比函数、一次函数、二次函数图象上点的坐标特征．图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为，底面圆的直径为，
所以这个几何体的侧面积
故选：．
先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为，底面圆的直径为，然后根据圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由菱形对角线性质知，，，且，

则，
故这个菱形的周长．
故选：．
由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键，难度一般．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式为：，即；
故选：．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】

解：点在第二象限，
，，
，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选B．

8.【答案】
 

【解析】解：过点作轴于点，连接、，如图．

点的坐标为，
，，．
点在直线上，
，
解得．
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，．
在中，．
在中，．
所求“理想矩形”面积为；
故选：．
过点作轴于点，连接、，如图，根据点在直线上可求出，设直线与轴相交于点，易求出，，根据勾股定理可求出、、的值，从而可求出“理想矩形”面积．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式中被开方数的取值范围，关键把握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式即可．
【解答】
解：二次根式在实数范围内有意义，
被开方数为非负数，
，
解得：．
故答案为：．  

11.【答案】
 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：如图所示，，
，
又，，
，
，
故答案为：．
依据，可得，再根据三角形外角性质，即可得到，进而得出．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
 

13.【答案】
 

【解析】解：这个城市平均气温的极差．
故答案为．
极差就是一组数中最大值与最小值之间的差．
本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
注意：极差的单位与原数据单位一致；
如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标是解题的关键。把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可。
【解答】
解：，
顶点坐标为。
故答案为。  

15.【答案】
 

【解析】解：，
或．
当时或当时，．
就是说，随的增大而减小．
；
，
随的增大而减小．
符号题意；
；
，
函数图象在第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小．
不符合题意；
；
，
抛物线开口向上．
对称轴为直线，
当时，随的增大而增大．
当时，随的增大而减小．
不符合题意；
；
，
抛物线开口向下．
对称轴为直线，
时，随的增大而减小．
符合题意．
综上，符合题意，满足所给条件．
故答案为：．
由可得或，即当时或当时，，就是函数满足随的增大而减小，依据上述性质，对四个函数进行判断即可得到结论．
本题主要考查了函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握上述函数图象的性质和点的坐标 的特征并正确应用是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设人行通道的宽度为，
将两个矩形绿地平移，如图所示，
，，，
由题意可列出方程：
解得：或不合题意，舍去
故答案为：
将矩形绿地平移后，根据图中的等量关系列出方程即可求出答案．
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．
 

17.【答案】
 

【解析】解：连接，
在正方形、中，
，
，
设，，
，，
，
故答案为：．
根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
过点作于点，作于点，作于点由，，得到，易证∽，求得，设，则，易证≌，，所以，当时，面积的最大值为．
【解答】
解：过点作于点，作于点，作于点．

，，
，
易证∽，
，
即
，
设，则，
，
，
在和中

≌，
，
，
当时，面积的最大值为．
故答案为．  

19.【答案】解：原式

．
原式


．
 

【解析】根据三次方根的定义、特殊角的锐角三角函数，绝对值的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集是：，
满足不等式组的整数解为，，．
 

【解析】先分别解两个不等式，再找出两个解集的公共部分，得出不等式组的解集，然后根据这个解集找出整数解．
本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是注意大小小大取中间．
 

21.【答案】解：人，
答：该校共抽查了名同学的暖心行动；
送红包人数：人，
，
扇形统计图中扇形的圆心角度数为：；
人，
答：该校名同学中进行送鲜花行动的约有名．
 

【解析】从两个统计图可以得到，“送服务”的有人，占调查人数的，可求出调查总人数；
用“送鲜花”所占比例即可；
样本中“送鲜花”的占，因此全校人的是送鲜花的人数．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，从条形图可以很容易看出数据的大小，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．也考查了用样本估计总体．
 

22.【答案】解：；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中选出名男生和名女生的结果数为种，
所以恰好选出名男生和名女生的概率．
 

【解析】

解答：所有等可能结果共有种，其中男生有种，
恰好是男生的概率为，
故答案为：；
见答案．
【分析】
根据概率公式用男生人数除以总人数即可得；
先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出选出名男生和名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．  

23.【答案】解：设第二次购进衬衫件，则第一次购进衬衫件，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
．
答：第一次购进衬衫件，第二次购进衬衫件．
由可知，第一次购进衬衫的单价为元件，第二次购进衬衫的单价为元件，
设第二批衬衫每件售价为元件，
依题意，得：，
解得：，
答：第二批衬衫每件售价为元．
 

【解析】设第二次购进衬衫件，则第一次购进衬衫件，根据单价总价数量结合第二次的进价每件比第一次降低了元，列出分式方程，解方程即可；
设第二批衬衫每件售价为元件，由题意：第一批衬衫的售价是元件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

24.【答案】解：作于，

设米，
，
米，
在中，，
则，
，
在中，，即，
解得，，
答：建筑物的高度约为米．
 

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
作于，设米，根据正切的定义求出，用表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
 

25.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
连接，
，
，
，
的长．
 

【解析】证明，可得，可得结论；
根据外角的性质可得：，可得圆心角，根据弧长公式可得结论．
此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、弧长公式的计算等知识点，属于基础题，难度中等．
 

26.【答案】解：证明：当时，，
解得，，
，方程有两个不相等的实数根，
不论为何值，函数图象与轴总有两个不同的公共点；
解：由得图象与轴的两个交点坐标为、，
由抛物线的对称性可知图象顶点横坐标为，
把代入得，
不论为何值，该函数的图象的顶点纵坐标不变为；

 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标和顶点坐标是解题的关键．
当时，，解得，，即可得到结论；
图象与轴的两个交点坐标为、，由抛物线的对称性可知图象顶点横坐标为，代入解析式求得，从而求得结论；
当时，根据题意得，当或时，；
当顶点在轴上，即时，最大值是，此时，即可求得的取值．
【解答】
见答案

见答案
解：，
，
图象与轴的两个交点坐标为、，
，
，
当时，；当时，，
当顶点在轴上，即时，最大值是，故此时，
，
故答案为．
 

27.【答案】解：证明：，，
是等边三角形，
，，
由题意，得，，
，
是等边三角形，
．

解：，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
将沿过点的直线折叠，
情形一：当点落在线段上的点处时，如图中，

，
，
，
又，
，
情形二：当点落在线段上的点处时，如图中，

同法可证，
，
综上所述，满足条件的的值为或，的长为．

如图中，过点作于，过点作于．

，，
，
，
当时，设，则，
，
，
，
，
观察图形可知当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置．
 

【解析】证明是等边三角形即可解决问题．
分两种情形：情形一：当点落在线段上的点处时，如图中．情形二：当点落在线段上的点处时，如图中，分别求解即可．
如图中，过点作于，过点作于求出时的值，结合图形即可判断．
本题考查几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

28.【答案】 
 

【解析】解：，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，．
故答案为．

如图中，作于．

，，，
≌，
，，
，
，设，则，
在中，，
，
，
．

如图中，当时，设交于．

，关于对称，
垂直平分线段，
，，
，，
，
，
，
．

如图中，当时，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．

如图中，设交于．

，
，，
，设，
，
，
，，，四点共圆，
，设，
，
，
，
，
，设，则，，
，，
．
故答案为．
在中，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出即可．
如图中，作于证明≌，推出，，设，则，在中，根据，构建方程求出即可解决问题．
分两种情形：如图中，当时，设交于证明，利用三角形的中位线定理解决问题．如图中，当时，证明，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题．
如图中，设交于证明，设，则，，分别求出，即可解决问题．
本题考查四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．