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辽宁省沈阳市大东区2020-2021学年七年级（下）期中数学试卷（含答案）
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这是一份辽宁省沈阳市大东区2020-2021学年七年级（下）期中数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年辽宁省沈阳市大东区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a3•a3•a3＝3a3
C．a4•a5＝a9 D．（﹣a3）4＝a7
2．（2分）如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．（2分）计算（a+b）（﹣a+b）的结果是（ ）
A．b2﹣a2 B．a2﹣b2 C．﹣a2﹣2ab+b2 D．﹣a2+2ab+b2
4．（2分）如果每盒笔有18支，售价12元，用y（元）表示笔的售价，x表示笔的支数，那么y与x之间的关系式应该是（ ）
A．y＝12x B．y＝18x C．y=23x D．y=32x
5．（2分）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A．∠1与∠4是同位角 B．∠2与∠3是内错角
C．∠3与∠4是同旁内角 D．∠2与∠4是同旁内角
6．（2分）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，BE＝DF，图中全等的三角形的对数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2分）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm
C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm
8．（2分）三角形两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则这个三角形的周长可能是（ ）
A．10或12 B．10或14 C．12或14 D．14或16
9．（2分）一辆汽车由韶关匀速驶往广州，下列图象中大致能反映汽车距离广州的路程S（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2分）已知x+y＝﹣5，xy＝3，则x2+y2＝（ ）
A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）已知2m＝3，2n＝4，则23m﹣2n＝ ．
12．（3分）如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F，若∠1＝116°，则∠2的度数等于 ．
13．（3分）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝ （0≤t≤5）．
14．（3分）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完．
15．（3分）已知BD、CE是△ABC的高，BD、CE所在的直线相交所成的角中有一个角为60°，则∠BAC＝ ．
16．（3分）南宋数学家杨辉在研究（展开式各项的系数时，采用了特殊到一般的方法，他将（a+b）0、（a+b）1、（a+b）2、（a+b）3，…，展开后各项的系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角，已知（a+b）°＝1，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，按杨辉三角写出（a+b）5的展开式是 ．
三、解答题
17．（8分）计算：
（1）[（x+2）（x﹣3）+6]÷x；
（2）（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）．
18．（6分）先化简，再求值：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1），其中x=-12．
19．（8分）补全下列推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AB∥CD．
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴CE∥FB （ ）
∴∠4＝∠AEC （ ）
∵∠3＝∠4 （ 已知）
∴∠3＝∠AEC （ ）
∴AB∥CD（ ）
20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，∠ACB的平分线交AB于D，DE∥BC交AC于E，求∠EDC的度数．
21．（10分）如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AB＝EF，AD＝EC，AB∥EF．△ABC与△EFD全等吗？请说明理由．
22．（4分）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为6a米，四条小路的长与宽都为b米和b2米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米30元．
（1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简．
（2）若a＝10，b＝5，计算草坪的造价．
23．（4分）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算左图的面积可以得到等式（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
请解答下列问题：
（1）观察如图，写出所表示的等式： ＝ ；
（2）已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，请利用（1）所得的结论求ab+bc+ac的值
24．（6分）如图，AD∥BC，若∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，射线OM上有一动点P．
（1）当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的何数量关系．
25．（8分）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1
所以a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝ ．
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
参考答案与解析
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a3•a3•a3＝3a3
C．a4•a5＝a9 D．（﹣a3）4＝a7
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a4+a5，无法计算，故此选项错误；
B、a3•a3•a3＝a9，故此选项错误；
C、a4•a5＝a9，故此选项正确；
D、（﹣a3）4＝a12，故此选项错误；
故选：C．
2．（2分）如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】本题根据互余和互补的概念计算即可．
【解答】解：180°﹣150°＝30°，那么这个角的余角的度数是90°﹣30°＝60°．故选B．
3．（2分）计算（a+b）（﹣a+b）的结果是（ ）
A．b2﹣a2 B．a2﹣b2 C．﹣a2﹣2ab+b2 D．﹣a2+2ab+b2
【分析】原式利用平方差公式化简，即可得到结果．
【解答】解：（a+b）（﹣a+b）＝（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2．
故选：A．
4．（2分）如果每盒笔有18支，售价12元，用y（元）表示笔的售价，x表示笔的支数，那么y与x之间的关系式应该是（ ）
A．y＝12x B．y＝18x C．y=23x D．y=32x
【分析】先求得每支笔的价格，然后依据总售价＝单价×支数列出关于即可．
【解答】解：∵每支笔的价格＝12÷18=23元/支，
∴y=23x．
故选：C．
5．（2分）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A．∠1与∠4是同位角 B．∠2与∠3是内错角
C．∠3与∠4是同旁内角 D．∠2与∠4是同旁内角
【分析】利用同位角、内错角、同旁内角的定义判定即可．
【解答】解：A、∠1与∠4是同位角，故A选项正确；
B、∠2与∠3是内错角，故B选项正确；
C、∠3与∠4是同旁内角，故C选项正确；
D、∠2与∠4不是同旁内角，故D选项错误．
故选：D．
6．（2分）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，BE＝DF，图中全等的三角形的对数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据平行线的性质求出∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，根据ASA推出△ABD≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等得出AD＝BC，AB＝CD，再根据SAS推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的对应边相等得出AE＝CF，求出BF＝DE，根据SSS推出△ADE≌△CBF即可．
【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD．
在△ABD和△CDB中
∠ABD=∠CDBBD=DB∠ADB=∠CBD，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝BC，AB＝CD．
在△ABE和△CDF中
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF＝DE，
在△ADE和△CBF中
AD=CBDE=BFAE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SSS），
即3对全等三角形，
故选：A．
7．（2分）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm
C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＜4，不能组成三角形；
B、4+6＞8，能够组成三角形；
C、5+6＜12，不能组成三角形；
D、2+3＜6，不能组成三角形．
故选：B．
8．（2分）三角形两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则这个三角形的周长可能是（ ）
A．10或12 B．10或14 C．12或14 D．14或16
【分析】设三角形第三边的长为a，根据三角形的三边关系求出a的取值范围，再由a为偶数求出a的值，进而可得出其周长．
【解答】解：设三角形第三边的长为a，
∵三角形的两边长分别为3和5，
∴5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，
∵a为偶数，
∴a＝4或a＝6，
当a＝4时，这个三角形的周长＝3+4+5＝12；
当a＝6时，这个三角形的周长＝3+5+6＝14．
综上所述，这个三角形的周长可能是12或14．
故选：C．
9．（2分）一辆汽车由韶关匀速驶往广州，下列图象中大致能反映汽车距离广州的路程S（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据行驶的状态，路程由最大到最小为0，t、s不能为负数进行判断．
【解答】解：时间和路程不会是负值，排除A、C．
由于汽车由韶关匀速驶往广州，出发时距离广州的路程s应最大，并且逐步减少为0，排除D．
图象B符合题意．
故选：B．
10．（2分）已知x+y＝﹣5，xy＝3，则x2+y2＝（ ）
A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19
【分析】把x2+y2利用完全平方公式变形后，代入x+y＝﹣5，xy＝3求值．
【解答】解：∵x+y＝﹣5，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣6＝19．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）已知2m＝3，2n＝4，则23m﹣2n＝ 2716 ．
【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：当2m＝3，2n＝4时，
23m﹣2n
＝23m÷22n
＝（2m）3÷（2n）2
＝33÷42
＝27÷16
=2716．
故答案为：2716．
12．（3分）如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F，若∠1＝116°，则∠2的度数等于 64° ．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠AFD＝180°，
∵∠1＝116°，
∴∠AFD＝64°，
∵∠2和∠AFD是对顶角，
∴∠2＝∠AFD＝64°，
故答案为：64°．
13．（3分）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝ 20﹣4t （0≤t≤5）．
【分析】蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米，则t小时燃掉4t厘米，已知蜡烛的总高度，即可表达出剩余的高度．
【解答】解：∵蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米，
∴t小时燃掉4t厘米，
由题意知：h＝20﹣4t．
14．（3分）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 8 分钟该容器内的水恰好放完．
【分析】先根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结论．
【解答】解：由函数图象得：
进水管每分钟的进水量为：20÷4＝5升
设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得
20+8（5﹣a）＝30，
解得：a=154，
故关闭进水管后出水管放完水的时间为：30÷154=8分钟．
故答案为：8．
15．（3分）已知BD、CE是△ABC的高，BD、CE所在的直线相交所成的角中有一个角为60°，则∠BAC＝ 60°或120° ．
【分析】分两种情况：（1）当∠A为锐角时，如图1；（2）当∠A为钝角时，如图2；根据四边形的内角和为360°以及三角形内角和为180°，即可得出结果．
【解答】解：分两种情况：
（1）当∠A为锐角时，如图1，
∵∠DOC＝60°，
∴∠EOD＝120°，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°；
（2）当∠A为钝角时，如图2，
∵∠F＝60°，
同理：∠ADF＝∠AEF＝90°，
∴∠DAE＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠BAC＝∠DAE＝120°，
综上所述，∠BAC的度数为60°或120°，
故答案为：60°或120°．
16．（3分）南宋数学家杨辉在研究（展开式各项的系数时，采用了特殊到一般的方法，他将（a+b）0、（a+b）1、（a+b）2、（a+b）3，…，展开后各项的系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角，已知（a+b）°＝1，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，按杨辉三角写出（a+b）5的展开式是 a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ．
【分析】根据杨辉三角确定出展开项系数，写出展开式即可．
【解答】解：根据题意得：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
三、解答题
17．（8分）计算：
（1）[（x+2）（x﹣3）+6]÷x；
（2）（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）．
【分析】（1）先算括号内的，再算除法；
（2）先用平方差公式和单项式乘单项式展开，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝（x2+3x+2x+6﹣6）÷x
＝（x2+5x）÷x
＝x+5；
（2）原式＝9x2﹣4﹣5x2+5x
＝4x2+5x﹣4．
18．（6分）先化简，再求值：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1），其中x=-12．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2+4x+4﹣x2+1
＝4x+5，
当x=-12时，原式＝4×（-12）+5＝3．
19．（8分）补全下列推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AB∥CD．
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴CE∥FB （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠4＝∠AEC （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠3＝∠4 （ 已知）
∴∠3＝∠AEC （ 等量代换 ）
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】先根据∠1＝∠2，得出CE∥BF，进而得到∠4＝∠AEC，再根据∠3＝∠4，进而得到∠3＝∠AEC，据此可得AB∥CD．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知）
∴CE∥FB（同位角相等，两直线平行 ）
∴∠4＝∠AEC（两直线平行，同位角相等 ）
∵∠3＝∠4 （ 已知）
∴∠3＝∠AEC（ 等量代换）
∴AB∥CD．（ 内错角相等，两直线平行 ）
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，∠ACB的平分线交AB于D，DE∥BC交AC于E，求∠EDC的度数．
【分析】求出∠BCD的度数，利用平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠A＝62°，∠B＝74°
∴∠ACB＝180°﹣62°﹣74°＝44°
∵CD是∠ACB的角平分线
∴∠DCB=12∠ACB＝22°
∵DE∥BC
∴∠EDC＝∠DCB＝22°
21．（10分）如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AB＝EF，AD＝EC，AB∥EF．△ABC与△EFD全等吗？请说明理由．
【分析】根据三角形的全等得出△ACB≌△DEF．
【解答】解：△ABC≌△EFD．理由：
因为AB∥EF，
所以∠A＝∠E．
因为AD＝EC，所以AD﹣CD＝EC﹣CD，即AC＝ED．
在△ABC和△EFD中，
AB=EF∠A=∠EAC=ED，
所以△ABC≌△EFD（SAS）．
22．（4分）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为6a米，四条小路的长与宽都为b米和b2米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米30元．
（1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简．
（2）若a＝10，b＝5，计算草坪的造价．
【分析】（1）根据已知条件，用大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的面积即可求解．
（2）把a＝10，b＝5及草坪的造价为每平米30元代入代数式即可求解．
【解答】解：（1）∵阴影部分的面积为：大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的面积，
∴草坪（阴影）面积为：6a×6a﹣4×b×12×b﹣（6a﹣2b）2，
∴草坪（阴影）面积为：6b×（4a﹣b）．
（2）草坪的造价为：6×5×（40﹣5）×30＝31500（元），
故答案为：（1）6b×（4a﹣b）；
（2）31500元．
23．（4分）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算左图的面积可以得到等式（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
请解答下列问题：
（1）观察如图，写出所表示的等式： （a+b+c）2 ＝ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
（2）已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，请利用（1）所得的结论求ab+bc+ac的值
【分析】（1）直接根据图形写出等式；
（2）将所求式子与（1）的结论对比，得出变形的式子，代入求值即可．
【解答】解：（1）由图形可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
故答案为：（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，
∴2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）
＝（7x﹣5﹣4x+2﹣3x+4）2﹣37
＝12﹣37
＝1﹣37
＝﹣36．
∴ab+bc+ac＝﹣18．
24．（6分）如图，AD∥BC，若∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，射线OM上有一动点P．
（1）当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的何数量关系．
【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在BO之间），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】解：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图1，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）分两种情况：①当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图2，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
②当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
25．（8分）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1
所以a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝ 10 ．
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ 17 ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）根据完全平方公式的变形，即可求出xy的值；
（2）①将（4﹣x）看作y，根据（1）中的方法可求出答案；
②将（4﹣x）＝a，（x﹣5）＝b，利用题目提供的方法可求出答案；
（3）设AC＝a，BC＝b，将问题转化为a+b＝6，a2+b2＝18，求出12ab的值即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
即，x2+2xy+y2＝64，
又∵x2+y2＝40，
∴2xy＝24
∴xy＝12；
（2）①（4﹣x）2+x2＝（4﹣x+x）2﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×3＝10，
故答案为：10；
②∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2
＝（4﹣x）2+（x﹣5）2
＝[（4﹣x）+（x﹣5）]2﹣2（4﹣x）（x﹣5）
＝1﹣2×（﹣8）
＝1+16
＝17，
故答案为：17；
（3）设AC＝a，BC＝b，则S1＝a2，S2＝b2，
由S1+S2＝18可得，a2+b2＝18，而a+b＝AB＝6，
而S阴影部分=12ab，
∵a+b＝6，
∴a2+2ab+b2＝36，
又∴a2+b2＝18，
∴2ab＝18，
∴S阴影部分=12ab=184=92，
即，阴影部分的面积为92．
2020-2021学年辽宁省沈阳市大东区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a3•a3•a3＝3a3
C．a4•a5＝a9 D．（﹣a3）4＝a7
2．（2分）如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．（2分）计算（a+b）（﹣a+b）的结果是（ ）
A．b2﹣a2 B．a2﹣b2 C．﹣a2﹣2ab+b2 D．﹣a2+2ab+b2
4．（2分）如果每盒笔有18支，售价12元，用y（元）表示笔的售价，x表示笔的支数，那么y与x之间的关系式应该是（ ）
A．y＝12x B．y＝18x C．y=23x D．y=32x
5．（2分）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A．∠1与∠4是同位角 B．∠2与∠3是内错角
C．∠3与∠4是同旁内角 D．∠2与∠4是同旁内角
6．（2分）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，BE＝DF，图中全等的三角形的对数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2分）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm
C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm
8．（2分）三角形两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则这个三角形的周长可能是（ ）
A．10或12 B．10或14 C．12或14 D．14或16
9．（2分）一辆汽车由韶关匀速驶往广州，下列图象中大致能反映汽车距离广州的路程S（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2分）已知x+y＝﹣5，xy＝3，则x2+y2＝（ ）
A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）已知2m＝3，2n＝4，则23m﹣2n＝ ．
12．（3分）如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F，若∠1＝116°，则∠2的度数等于 ．
13．（3分）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝ （0≤t≤5）．
14．（3分）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完．
15．（3分）已知BD、CE是△ABC的高，BD、CE所在的直线相交所成的角中有一个角为60°，则∠BAC＝ ．
16．（3分）南宋数学家杨辉在研究（展开式各项的系数时，采用了特殊到一般的方法，他将（a+b）0、（a+b）1、（a+b）2、（a+b）3，…，展开后各项的系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角，已知（a+b）°＝1，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，按杨辉三角写出（a+b）5的展开式是 ．
三、解答题
17．（8分）计算：
（1）[（x+2）（x﹣3）+6]÷x；
（2）（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）．
18．（6分）先化简，再求值：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1），其中x=-12．
19．（8分）补全下列推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AB∥CD．
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴CE∥FB （ ）
∴∠4＝∠AEC （ ）
∵∠3＝∠4 （ 已知）
∴∠3＝∠AEC （ ）
∴AB∥CD（ ）
20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，∠ACB的平分线交AB于D，DE∥BC交AC于E，求∠EDC的度数．
21．（10分）如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AB＝EF，AD＝EC，AB∥EF．△ABC与△EFD全等吗？请说明理由．
22．（4分）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为6a米，四条小路的长与宽都为b米和b2米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米30元．
（1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简．
（2）若a＝10，b＝5，计算草坪的造价．
23．（4分）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算左图的面积可以得到等式（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
请解答下列问题：
（1）观察如图，写出所表示的等式： ＝ ；
（2）已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，请利用（1）所得的结论求ab+bc+ac的值
24．（6分）如图，AD∥BC，若∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，射线OM上有一动点P．
（1）当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的何数量关系．
25．（8分）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1
所以a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝ ．
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
参考答案与解析
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a3•a3•a3＝3a3
C．a4•a5＝a9 D．（﹣a3）4＝a7
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a4+a5，无法计算，故此选项错误；
B、a3•a3•a3＝a9，故此选项错误；
C、a4•a5＝a9，故此选项正确；
D、（﹣a3）4＝a12，故此选项错误；
故选：C．
2．（2分）如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】本题根据互余和互补的概念计算即可．
【解答】解：180°﹣150°＝30°，那么这个角的余角的度数是90°﹣30°＝60°．故选B．
3．（2分）计算（a+b）（﹣a+b）的结果是（ ）
A．b2﹣a2 B．a2﹣b2 C．﹣a2﹣2ab+b2 D．﹣a2+2ab+b2
【分析】原式利用平方差公式化简，即可得到结果．
【解答】解：（a+b）（﹣a+b）＝（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2．
故选：A．
4．（2分）如果每盒笔有18支，售价12元，用y（元）表示笔的售价，x表示笔的支数，那么y与x之间的关系式应该是（ ）
A．y＝12x B．y＝18x C．y=23x D．y=32x
【分析】先求得每支笔的价格，然后依据总售价＝单价×支数列出关于即可．
【解答】解：∵每支笔的价格＝12÷18=23元/支，
∴y=23x．
故选：C．
5．（2分）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A．∠1与∠4是同位角 B．∠2与∠3是内错角
C．∠3与∠4是同旁内角 D．∠2与∠4是同旁内角
【分析】利用同位角、内错角、同旁内角的定义判定即可．
【解答】解：A、∠1与∠4是同位角，故A选项正确；
B、∠2与∠3是内错角，故B选项正确；
C、∠3与∠4是同旁内角，故C选项正确；
D、∠2与∠4不是同旁内角，故D选项错误．
故选：D．
6．（2分）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，BE＝DF，图中全等的三角形的对数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据平行线的性质求出∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，根据ASA推出△ABD≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等得出AD＝BC，AB＝CD，再根据SAS推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的对应边相等得出AE＝CF，求出BF＝DE，根据SSS推出△ADE≌△CBF即可．
【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD．
在△ABD和△CDB中
∠ABD=∠CDBBD=DB∠ADB=∠CBD，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝BC，AB＝CD．
在△ABE和△CDF中
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF＝DE，
在△ADE和△CBF中
AD=CBDE=BFAE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SSS），
即3对全等三角形，
故选：A．
7．（2分）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm
C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＜4，不能组成三角形；
B、4+6＞8，能够组成三角形；
C、5+6＜12，不能组成三角形；
D、2+3＜6，不能组成三角形．
故选：B．
8．（2分）三角形两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则这个三角形的周长可能是（ ）
A．10或12 B．10或14 C．12或14 D．14或16
【分析】设三角形第三边的长为a，根据三角形的三边关系求出a的取值范围，再由a为偶数求出a的值，进而可得出其周长．
【解答】解：设三角形第三边的长为a，
∵三角形的两边长分别为3和5，
∴5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，
∵a为偶数，
∴a＝4或a＝6，
当a＝4时，这个三角形的周长＝3+4+5＝12；
当a＝6时，这个三角形的周长＝3+5+6＝14．
综上所述，这个三角形的周长可能是12或14．
故选：C．
9．（2分）一辆汽车由韶关匀速驶往广州，下列图象中大致能反映汽车距离广州的路程S（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据行驶的状态，路程由最大到最小为0，t、s不能为负数进行判断．
【解答】解：时间和路程不会是负值，排除A、C．
由于汽车由韶关匀速驶往广州，出发时距离广州的路程s应最大，并且逐步减少为0，排除D．
图象B符合题意．
故选：B．
10．（2分）已知x+y＝﹣5，xy＝3，则x2+y2＝（ ）
A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19
【分析】把x2+y2利用完全平方公式变形后，代入x+y＝﹣5，xy＝3求值．
【解答】解：∵x+y＝﹣5，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣6＝19．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）已知2m＝3，2n＝4，则23m﹣2n＝ 2716 ．
【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：当2m＝3，2n＝4时，
23m﹣2n
＝23m÷22n
＝（2m）3÷（2n）2
＝33÷42
＝27÷16
=2716．
故答案为：2716．
12．（3分）如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F，若∠1＝116°，则∠2的度数等于 64° ．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠AFD＝180°，
∵∠1＝116°，
∴∠AFD＝64°，
∵∠2和∠AFD是对顶角，
∴∠2＝∠AFD＝64°，
故答案为：64°．
13．（3分）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝ 20﹣4t （0≤t≤5）．
【分析】蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米，则t小时燃掉4t厘米，已知蜡烛的总高度，即可表达出剩余的高度．
【解答】解：∵蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米，
∴t小时燃掉4t厘米，
由题意知：h＝20﹣4t．
14．（3分）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 8 分钟该容器内的水恰好放完．
【分析】先根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结论．
【解答】解：由函数图象得：
进水管每分钟的进水量为：20÷4＝5升
设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得
20+8（5﹣a）＝30，
解得：a=154，
故关闭进水管后出水管放完水的时间为：30÷154=8分钟．
故答案为：8．
15．（3分）已知BD、CE是△ABC的高，BD、CE所在的直线相交所成的角中有一个角为60°，则∠BAC＝ 60°或120° ．
【分析】分两种情况：（1）当∠A为锐角时，如图1；（2）当∠A为钝角时，如图2；根据四边形的内角和为360°以及三角形内角和为180°，即可得出结果．
【解答】解：分两种情况：
（1）当∠A为锐角时，如图1，
∵∠DOC＝60°，
∴∠EOD＝120°，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°；
（2）当∠A为钝角时，如图2，
∵∠F＝60°，
同理：∠ADF＝∠AEF＝90°，
∴∠DAE＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠BAC＝∠DAE＝120°，
综上所述，∠BAC的度数为60°或120°，
故答案为：60°或120°．
16．（3分）南宋数学家杨辉在研究（展开式各项的系数时，采用了特殊到一般的方法，他将（a+b）0、（a+b）1、（a+b）2、（a+b）3，…，展开后各项的系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角，已知（a+b）°＝1，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，按杨辉三角写出（a+b）5的展开式是 a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ．
【分析】根据杨辉三角确定出展开项系数，写出展开式即可．
【解答】解：根据题意得：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
三、解答题
17．（8分）计算：
（1）[（x+2）（x﹣3）+6]÷x；
（2）（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）．
【分析】（1）先算括号内的，再算除法；
（2）先用平方差公式和单项式乘单项式展开，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝（x2+3x+2x+6﹣6）÷x
＝（x2+5x）÷x
＝x+5；
（2）原式＝9x2﹣4﹣5x2+5x
＝4x2+5x﹣4．
18．（6分）先化简，再求值：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1），其中x=-12．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2+4x+4﹣x2+1
＝4x+5，
当x=-12时，原式＝4×（-12）+5＝3．
19．（8分）补全下列推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AB∥CD．
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴CE∥FB （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠4＝∠AEC （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠3＝∠4 （ 已知）
∴∠3＝∠AEC （ 等量代换 ）
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】先根据∠1＝∠2，得出CE∥BF，进而得到∠4＝∠AEC，再根据∠3＝∠4，进而得到∠3＝∠AEC，据此可得AB∥CD．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知）
∴CE∥FB（同位角相等，两直线平行 ）
∴∠4＝∠AEC（两直线平行，同位角相等 ）
∵∠3＝∠4 （ 已知）
∴∠3＝∠AEC（ 等量代换）
∴AB∥CD．（ 内错角相等，两直线平行 ）
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，∠ACB的平分线交AB于D，DE∥BC交AC于E，求∠EDC的度数．
【分析】求出∠BCD的度数，利用平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠A＝62°，∠B＝74°
∴∠ACB＝180°﹣62°﹣74°＝44°
∵CD是∠ACB的角平分线
∴∠DCB=12∠ACB＝22°
∵DE∥BC
∴∠EDC＝∠DCB＝22°
21．（10分）如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AB＝EF，AD＝EC，AB∥EF．△ABC与△EFD全等吗？请说明理由．
【分析】根据三角形的全等得出△ACB≌△DEF．
【解答】解：△ABC≌△EFD．理由：
因为AB∥EF，
所以∠A＝∠E．
因为AD＝EC，所以AD﹣CD＝EC﹣CD，即AC＝ED．
在△ABC和△EFD中，
AB=EF∠A=∠EAC=ED，
所以△ABC≌△EFD（SAS）．
22．（4分）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为6a米，四条小路的长与宽都为b米和b2米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米30元．
（1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简．
（2）若a＝10，b＝5，计算草坪的造价．
【分析】（1）根据已知条件，用大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的面积即可求解．
（2）把a＝10，b＝5及草坪的造价为每平米30元代入代数式即可求解．
【解答】解：（1）∵阴影部分的面积为：大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的面积，
∴草坪（阴影）面积为：6a×6a﹣4×b×12×b﹣（6a﹣2b）2，
∴草坪（阴影）面积为：6b×（4a﹣b）．
（2）草坪的造价为：6×5×（40﹣5）×30＝31500（元），
故答案为：（1）6b×（4a﹣b）；
（2）31500元．
23．（4分）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算左图的面积可以得到等式（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
请解答下列问题：
（1）观察如图，写出所表示的等式： （a+b+c）2 ＝ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
（2）已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，请利用（1）所得的结论求ab+bc+ac的值
【分析】（1）直接根据图形写出等式；
（2）将所求式子与（1）的结论对比，得出变形的式子，代入求值即可．
【解答】解：（1）由图形可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
故答案为：（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，
∴2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）
＝（7x﹣5﹣4x+2﹣3x+4）2﹣37
＝12﹣37
＝1﹣37
＝﹣36．
∴ab+bc+ac＝﹣18．
24．（6分）如图，AD∥BC，若∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，射线OM上有一动点P．
（1）当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的何数量关系．
【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在BO之间），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】解：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图1，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）分两种情况：①当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图2，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
②当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
25．（8分）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1
所以a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝ 10 ．
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ 17 ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）根据完全平方公式的变形，即可求出xy的值；
（2）①将（4﹣x）看作y，根据（1）中的方法可求出答案；
②将（4﹣x）＝a，（x﹣5）＝b，利用题目提供的方法可求出答案；
（3）设AC＝a，BC＝b，将问题转化为a+b＝6，a2+b2＝18，求出12ab的值即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
即，x2+2xy+y2＝64，
又∵x2+y2＝40，
∴2xy＝24
∴xy＝12；
（2）①（4﹣x）2+x2＝（4﹣x+x）2﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×3＝10，
故答案为：10；
②∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2
＝（4﹣x）2+（x﹣5）2
＝[（4﹣x）+（x﹣5）]2﹣2（4﹣x）（x﹣5）
＝1﹣2×（﹣8）
＝1+16
＝17，
故答案为：17；
（3）设AC＝a，BC＝b，则S1＝a2，S2＝b2，
由S1+S2＝18可得，a2+b2＝18，而a+b＝AB＝6，
而S阴影部分=12ab，
∵a+b＝6，
∴a2+2ab+b2＝36，
又∴a2+b2＝18，
∴2ab＝18，
∴S阴影部分=12ab=184=92，
即，阴影部分的面积为92．
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