安徽省安庆市第四中学2021-2022学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份安徽省安庆市第四中学2021-2022学年下学期八年级期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了下列二次根式是最简二次根式的是，关于x的一元二次方程，一元二次方程x2＝3x的解为等内容，欢迎下载使用。
八年级数学期中考试试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
3．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5
4．设a＝﹣1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（　　）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
5．一元二次方程x2＝3x的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝0 且x＝3
6．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15
7．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
9．有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（　　）
A．3 B． C．不确定 D．或3
10．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则斜边BD的长是（　　）

A．a+b B．a﹣b C． D．


二．填空题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）
11．当x＝+1时，式子x2﹣2x+2的值为　 　．
12．计算的结果是 　 　．
13．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，所列方程是　 　．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，M是AB的中点，若CM＝6.5，BC+CD+DA＝17，则四边形ABCD的面积为　 　．

三．解答题（本大题共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：（﹣3）0﹣+|1﹣|+．


16． （8分）用配方法解方程：x2+2x﹣2＝0．




17．（8分）关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此方程的根．






18．（8分）如图，在3×3的网格中，小正方形的边长为1，连接三个格点得到△ABC．
（1）求△ABC的周长．
（2）BC边上的高是多少？






19．（10分）先观察下列等式，再回答问题：
①＝1+1＝2；
②＝2+＝2；
③＝3+＝3；
…
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．








20．（10分）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标．



21． （12分）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克茶叶应降价多少元？




22．（12分）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝，这就是著名的韦达定理．
已知m，n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，不解方程计算：
（1）+；
（2）m-3n．






23．（14分）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　 　；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为　 　；

（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 　．
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：
如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．

八年级数学期中考试试卷 参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求就出答案．
【解答】解：（B）原式＝2，故A不选；
（C）原式＝，故C不选；
（D）原式＝2，故D不选；
故选：A．
2．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：由已知得：，
解得：a≥1且a≠5．
故选：C．
3．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；
D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
4．设a＝﹣1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（　　）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
【分析】先估算出的取值范围，再由不等式的基本性质即可得出结论．
【解答】解：∵16＜20＜25，
∴4＜＜5，
∴4﹣1＜﹣1＜5﹣1，即3＜﹣1＜4．
故选：D．
5．一元二次方程x2＝3x的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝0 且x＝3
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程移项得：x2﹣3x＝0，
分解因式得：x（x﹣3）＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：C．
6．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【解答】解：x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+16＝17，
（x﹣4）2＝17．
故选：B．
7．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+＝0，再根据非负数的性质得x2﹣4x+4＝0，2x﹣y﹣3＝0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后计算它们的和即可．
【解答】解：根据题意得|x2﹣4x+4|+＝0，
所以|x2﹣4x+4|＝0，＝0，
即（x﹣2）2＝0，2x﹣y﹣3＝0，
所以x＝2，y＝1，
所以x+y＝3．
故选：A．
8．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
【分析】圆桶内容下的木棒最长时，木棒、圆桶的直径、桶高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝＝＝25（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
故选：B．


9．有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（　　）
A．3 B． C．不确定 D．或3
【分析】分长为4和5的两边都是直角边和长是5的边是斜边两种情况进行讨论，根据勾股定理即可求得第三边的长．
【解答】解：当长为4和5的两边都是直角边时，斜边是：＝；
当长是5的边是斜边时，第三边是：＝3．
第三边长是：和3．
故选：D．

10．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则斜边BD的长是（　　）

A．a+b B．a﹣b C． D．
【分析】设CD＝x，则DE＝a﹣x，求得AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x，求得CD＝，得到BC＝DE＝a﹣＝，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设CD＝x，则DE＝a﹣x，
∵HG＝b，
∴AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x，
∴x＝，
∴BC＝DE＝a﹣＝，
∴BD2＝BC2+CD2＝（）2+（）2＝，
∴BD＝，
故选：C．


二．填空题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）
11．当x＝+1时，式子x2﹣2x+2的值为　4　．
【分析】原式配方后，利用完全平方公式化简，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+1
＝（x﹣1）2+1，
当x＝+1时，
原式＝（+1﹣1）2+1
＝3+1
＝4．
故答案为：4．
12．计算的结果是 　3　．
【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：原式＝2+
＝3．
故答案为3．
13．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，所列方程是　560（1﹣x）2＝315　．
【分析】设每次降价的百分率为x，根据题意可得，560×（1﹣降价的百分率）2＝315，据此列方程即可．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，
由题意得，560（1﹣x）2＝315．
故答案为：560（1﹣x）2＝315．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，M是AB的中点，若CM＝6.5，BC+CD+DA＝17，则四边形ABCD的面积为　30　．

【分析】延长CM、DA交于点E．根据AAS可以证明△AME≌△BMC，则ME＝MC＝6.5，AE＝BC；根据BC+CD+DA＝17，得DE+DC＝17①，根据勾股定理，得DE2+DC2＝CE2＝169②，联立求得DE•CD的值，即可求得梯形的面积．
【解答】解：延长CM、DA交于点E．

∵AD∥BC，
∴∠MAE＝∠B，∠E＝∠BCM．
又AM＝BM，
∴△AME≌△BMC（AAS）．
∴ME＝MC＝6.5，AE＝BC．
又BC+CD+DA＝17，∠D＝90°，
∴DE+DC＝17①，DE2+DC2＝CE2＝169②．
∴DE•CD＝[（DE+DC）2﹣DE2﹣DC2]＝60．
∴梯形ABCD的面积为DE•CD＝30．
故答案为：30．

三．解答题（本大题共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：（﹣3）0﹣+|1﹣|+．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣3+﹣1+﹣
＝﹣2．
16．（8分）用配方法解方程：x2+2x﹣2＝0．
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】解：原方程化为：x2+2x＝2，
x2+2x+1＝3
（x+1）2＝3，
x+1＝±
x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．

17．（8分）关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此方程的根．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且Δ＝（2m﹣3）2﹣4（m﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）利用m的范围可确定m＝1，则原方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）根据题意得m≠0且Δ＝（2m﹣3）2﹣4m（m﹣1）≥0，
解得m≤且m≠0；

（2）∵m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程变形为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．

18．（8分）如图，在3×3的网格中，小正方形的边长为1，连接三个格点得到△ABC．
（1）求△ABC的周长．
（2）BC边上的高是多少？

【分析】（1）利用勾股定理求得△ABC三条边的长度，然后由周长公式求其周长即可；
（2）利用分割法求得△ABC的面积，然后利用三角形的面积公式求BC边上的高．
【解答】解：（1），，，所以△ABC的周长为；
（2）设BC边上的高是h，
S△ABC＝＝4．
∴，
∴h＝．
∴BC边上的高是．

19．（10分）先观察下列等式，再回答问题：
①＝1+1＝2；
②＝2+＝2；
③＝3+＝3；
…
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
【分析】（1）根据“第一个等式内数值为1，第二个等式内数值为2，第三个等式内数值为3”，即可猜想出第四个等式为＝4+＝4；
（2）根据等式的变化，找出变化规律“＝n+＝”，再利用开方即可证出结论成立．
【解答】解：（1）∵①＝1+1＝2；②＝2+＝2；③＝3+＝3；里面的数值分别为1、2、3，
∴④＝4+＝4．
（2）观察，发现规律：＝1+1＝2，＝2+＝2，＝3+＝3，＝4+＝4，…，
∴＝n+＝．
证明：等式左边＝，
＝，
＝n+，
＝＝右边．
故＝n+＝成立．

20．（10分）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标．

【分析】先根据勾股定理求出BE的长，进而可得出CE的长，求出E点坐标，在Rt△DCE中，由DE＝OD及勾股定理可求出OD的长，进而得出D点坐标．
【解答】解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE＝AO＝10，AB＝8，BE＝＝＝6，
∴CE＝4，
∴E（4，8）．
在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，
又∵DE＝OD，
∴（8﹣OD）2+42＝OD2，
∴OD＝5，
∴D（0，5），
综上D点坐标为（0，5）、E点坐标为（4，8）．

21． （12分）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克茶叶应降价多少元？
【分析】根据“利润＝每千克的利润×销售的数量来求出周销售利润”即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出（200+）千克，
依题意，得：（400﹣240﹣x）（200+）＝41600，
整理，得：x2﹣110x+2400＝0，
解得：x1＝30，x2＝80．
因为尽可能让利于顾客，赢得市场，
所以x＝80符合题意．
答：每千克茶叶应降价80元．

22．（12分）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝，这就是著名的韦达定理．
已知m，n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，不解方程计算：
（1）+；
（2）m-3n．
【分析】根据根与系数的关系即可而得出m+n＝、mn＝﹣．
（1）将m+n＝、mn＝﹣代入+＝中即可求出结论；
（2）将m+n＝、mn＝﹣代入m-3n中即可求出结论．
【解答】解：∵m，n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝，mn＝﹣．
（1）+＝＝＝﹣10；
（2）m-3n＝m-2n-n＝m-2n-(-m)＝2(m-n)-．
(m-n) 2＝(m+n) 2-4mn＝，
m-n＝；m-n＝-；
原式＝或
23．（14分）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　5：9　；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为　28　；

（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　　．
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：
如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
【分析】【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．
（3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【解答】解：【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c＝a，
∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，
故答案为：5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣2××4×6＝28．
故答案为：28．
（3）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
×（3+1）×3×4
＝×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，
∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，
∴x+4y＝，
∴S2＝x+4y＝．
故答案为：．
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．
理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得：（a+b）×k（a+b）＝3××b×ka+×c×ck，
∴（a+b）2＝3ab+c2
∴a2+b2﹣ab＝c2．