2021杭州学军中学高一下学期期中考试数学试题含解析

杭州学军中学2020学年第二学期期中考试

高一数学试卷

一、选择题（8个单选题，每题4分；2个多选题，每题5分；共42分）

1. 复数的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，，，且，则实数等于（    ）

A.  B. 0 C. 3 D.

3. 若的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的解的个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定

4. 一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

5. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为（    ）

A. 1 B.  C. 1或 D. -1或

6. 设复数满足，则等于（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

7. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（    ）

A. 与，都不相交  B. 与，都相交

C. 至多与，中的一条相交 D. 至少与，中的一条相交

8. 已知，为单位向量，，记是与方向相同的单位向量，则在方向上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

9.（多选题）设，是复数，则下列命题中的真命题有（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

10.（多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，.若，内角的平分线交于点，，，以下结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D. 的面积为

二、填空题（6题，每题5分，共30分）

11. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________.

12. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，则这块菜地的面积为___________.

13. 已知正四棱锥的顶点都在球的球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为___________.

14. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，并且，则的面积为___________.

15. 设为所在平面上一点，且满足.若的面积为8，则的面积为___________.

16. 如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.

三、解答题（4题，每题12分，共48分）

17. 如图所示，已知是所在平面外一点，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）设平面平面，求证：.

18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且.

（1）求；

（2）若为边上的中线，，，求的面积.

19. 如图，在中，是的中点，，与交于点.

（1）设，求的值；

（2）若，求的值.

20. 设为实数，函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）求的最小值；

（3）设函数，，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的解集.

杭州学军中学2020学年第二学期期中考试

高一数学答案

一、选择题（8个单选题，每题4分；2个多选题，每题5分；共42分）

1. 答案 B

2. 答案 C

解析 因为，，所以.

因为，所以，

解得.故选C.

3. 答案 C

4. 答案 B

解析 设圆锥底面半径是，母线长为，所以，即，

根据圆心角公式，即，解得，，所以.

5. 答案 B

6. 答案 A

解析 ，，，∴.

7. 答案 D

解析 方法一  由于与直线，分别共面，故直线与，要么都不相交，要么至少与，中的一条相交，若，，则，这与，是异面直线矛盾，故至少与，中的一条相交.

方法二 如图1，与是异面直线，与平行，与相交，故A，B不正确；如图2，与是异面直线，，都与相交，故C不正确.

8. 答案 C

解析 由题设可得，即，则，

设与的夹角为，则.

又，故.

9. 答案 ABC

解析 A中，，则，故，成立.B中，，则成立.C中，，则，即，C正确.D不一定成立，如，，则，但，，.

10. 答案 AC

二、填空题（6题，每题5分，共30分）

11. 答案 3

解析 ∵实系数一元二次方程的一个虚根为，

∴其共轭复数也是方程的根.

由根与系数的关系知，，∴，.

12. 答案

解析 如图1，在直观图中，过点作，垂足为.

在中，，，∴.

又四边形为矩形，，∴，

由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形，

在梯形中，，，.

∴这块菜地的面积.

13. 解 如图，设球心为，半径为，则在中，，解得，则球的体积.

14. 答案

解析 因为，，所以.

又，

结合，得，.于是.

由及正弦定理，得.故的面积.

15. 解：由，可得，

可设，则，，共线，且在线段上，可得，

∴分的比为，∴到直线的距离等于到直线的距离的倍，

故.

16. 解：连接，，设是线段的中点，连接，则有.

设为和的夹角.则

，

且，

因为，所以当时，有最小值.

又当且时，有最大值为3，

即有最大值3，所以的取值范围是.

三、解答题（4题，每题12分，共48分）

17. 证明：（1）如图，取的中点，连接，，

可以证得且，

所以四边形是平行四边形，所以.

又平面，平面，所以平面.

（2）因为，平面，平面，所以平面.

又因为平面平面，所以.

18. 解：（1），

由正弦定理得，

即，

亦即，

则.

又，所以，所以.

在中，，则，所以，得.

（2）在中，因为，所以.

所以.

由正弦定理，得.

设，，则在中，，

即，解得（负值舍去），所以，，

故.

19. 答案：（1）；（2）

20.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.满分16分

（1）若，则.

（2）当时，，.

当时，，，

综上.

（3）时，得，，

当或时，，；

当时，，得：，

讨论得：当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为.