2021学年3.3 复数的几何表示教案

复数的几何表示

【教学目标】

1.复数的两种几何意义；复数的模长与共轭复数的概念；复数加减法的几何意义.

2.类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量的模长和加减法的几何意义学习复数的模长及加减法的几何意义，培养学生的逻辑思维能力.

3.通过知识的探究过程培养学生认真分析、严谨论证的良好思维习惯.

【教学重点】复数的两种几何意义；复数的模长与共轭复数的概念；复数加减法的几何意义.

【教学难点】复数的向量表示、复数加减法的几何意义及综合应用.

【教学方法】教师启发式教学、学生探究学习.  

【教学手段】计算机、投影仪 

【核心素养】逻辑推理 

【教学过程】

一、        创设情境，引入课题

课前布置任务：

（1）    说出下列复数的实部和虚部，指出哪些是实数、哪些是纯虚数.

2+3i, 5-i, -6i,  3    

（2）    若(x-3)+( y+4)i=1+2i,求出实数x，y的值.

课上通过交流，使学生回顾复数的基本概念：复数的代数表示、分类、复数相等的等价条件.

     预案：（1）2+3i实部为2，虚部为3，5-i实部是5，虚部为-1，-6i实部是0，虚部为-6，此复数为纯虚数， 3实部为3，虚部为0，且3是实数.

     （2）由复数相等的条件得x-3=1，y+4=2，则x=4，y=-2.

〖设计意图〗通过两个题目复习复数的基本概念，为本节课的学习打下基础，做好铺垫.

二、        归纳探索，形成概念

1. 类比实数的几何意义探究复数的几何意义

问题1：实数的几何意义是什么？

预案：每个实数a均与数轴上的点一一对应.若以数轴原点为起点，将方向

为数轴的正方向、长度等于单位长度的向量记为,则每个实数a都可用平行于-+ -数轴的向量来表示.

问题2：复数如何确定？

预案：根据复数相等的定义，任何一个复数都可以由一

个有序实数对(a, b)唯一确定.

问题3：实数a可以与数轴上的点一一对应，有序实数对(a, b)与什么样的点

对应？

预案：有序实数对(a, b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的.

问题4：类比实数的几何意义，你认为复数还可以怎么表示？

预案：连接原点与点,可以确定一个向量，因此复数可用向量

表示.

根据上面的几个问题，形成概念，板书复数的几何意义，并介绍复平面、实

轴、虚轴的概念.

（1）板书概念

（2）巩固概念

题目：①在复平面上画出以下复数分别对应的点..

②求向量

③点中是否存在两个点关于实轴对称？若存在，则它们所对应的复数有什么关系？

根据题目使学生明确：

（1）        复数对应的点的坐标(a, b)，不是(a, bi)，其横坐标为复

数的实部，纵坐标为复数的虚部.

（2）        再一次认识实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示纯虚

数.

（3）        回顾向量模长的定义及求法.

      〖设计意图〗类比实数的几何意义学习复数的几何意义，回顾向量模长定义为后面复数的模做铺垫.

2. 复数的模与共轭复数

问题1：复数可以比较大小吗？

预案：不能，复数由a和b共同确定.

问题2：向量可以比较大小吗？

预案：不能，向量既有大小又有方向.但是向量的模长可以比较大小.

问题3：类比向量的模长你能归纳出复数的模吗？

预案：根据复数的几何意义与向量的模长总结复数的模长为。

问题4：类比向量模长的表示方法，复数的模如何表示？

预案：用符号表示，即

问题5：你认为复数的模长表示的意义是什么呢？

预案：表示点(a, b)到原点的距离.

师生共同归纳总结复数的模的概念,教师板书

问题6：点(a, b)关于x轴对称点的坐标是什么？

预案：点(a, -b)

问题7：点(a, b)和点(a, -b)表示的复数分别是什么？它们有什么特征？

预案：点(a, b)表示的复数，点(a, -b)表示复数，这两个复数

实部相等，虚部相反.

我们把这样的两个复数称为共轭复数，z的共轭复数记做，板书共轭复数的概念.

 〖设计意图〗根据向量是复数的几何意义，类比向量的模长学习复数的模长.根据点的对称介绍共轭复数.

3. 复数加减法的几何意义

问题1：向量加法的平行四边形法则是什么？

预案：以同一起点O的两个向量为邻边做平行四边形OACB，则以O为

起点的对角线是向量的和.

问题2：若，，则等于什么？

预案：.

问题3：复数对应的坐标是什么？

预案：复数对应的坐标是，对应的坐标是.

问题4：复数，根据复数的加法等于什么？

预案：.

问题5：复数对应的坐标是什么？

预案：对应的坐标为.

问题6：根据以上几个问题，你能发现什么？

预案：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.

师生共同总结复数加法的几何意义.

问题7：根据复数加法的几何意义你能说明复数减法的几何意义吗？

预案：   .

问题8：根据向量的数乘你能说明复数与任一实数k相乘的几何意义是什

么吗？

预案：   .

〖设计意图〗根据向量加减法的几何意义学习复数加减法的几何意义.

三、        学以致用、深化概念

例：已知复数在复平面内所对应的点位于第二

象限，求实数m的取值范围.

解：复数所对应的点为，∴有   ∴

练习:若复数对应的点在虚轴上，求实数a应满足的条件.

〖设计意图〗理解表示复数的几何意义，能够将问题进行转化，转化成复数的实部与虚部所满足的不等式组问题，体会数形结合的重要性.

例：设 ,点Z对应复数z，在平面内满足的点Z的集合是什

么图形？

解：复数z的模等于2，这表明z对应的向量的长度等于2，即点Z到原点O的距离等于2，因此满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆.

练习：设 ,点Z对应复数z，在平面内满足下列条件的点Z的集合是

什么图形？

    （1）        （2）

预案：（1）不等式可以化为不等式组

不等式的解集是圆和该圆内部所有的点构成的集合；不等式的解集是圆和该圆外部所有的点构成的集合.这两个集合的交集，即上述不等式的解集，也就是满足条件的点Z的集合.因此，所求的集合是以原点O为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.

（2）复数 是复数与复数i的差，表示z对应的点到i对应的点（0,1）之间的距离，所以表示以（0,1）为圆心，半径为1的圆.

     〖设计意图〗利用模长的定义分析，理解模长的意义，进一步体会数学结合思想.

     例：设已知求.

     解1：设，因为

，

又，则

所以.

解2：设复数分别对应向量由题不共线，所以四边形为平行四边形，因为所以平行四边形为正方形，所以.

〖设计意图〗根据复数不同的表示方法分析解决问题，体会向量法的简洁性.

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生共同完成小结.

1.    小结

（1）概念探究过程：类比实数的几何意义与向量的模长与加减法的几何意义分析、推理、归纳复数的几何表示，注重知识间的联系.

（2）数学思想方法和思维方法：数形结合、类比等.

2.    作业

      课后探究：

（1）已知复数在复平面内所对应的点在直线上，求实数x的取值范围.

（2）分别求复数和的共轭复数，并分别比较与，与的大小.

（3）设 ,点Z对应复数z，在平面内满足下列条件的点Z的集合是

什么图形？

 ①    ②