必修 第二册1.6 解三角形教案及反思

解三角形应用举例

【教学目标】

1.    掌握正弦定理和余弦定理的应用。
2.    会根据题目判断并选择合适的定理。

【教学重点】  正弦定理和余弦定理的使用。

【教学难点】  如何根据题目选择合适的定理。

【教学方法】  启发式教学

【教学手段】  课件、课案。

【核心素养】  数学逻辑思维

【教学过程】

一、          情境引入

在以往的学习中，我们已经接触过了三角形。大家都知道构成三角形的元素是什么，三个角以及三条边。那么什么又是解三角形呢？通常给了三角形的三个元素，就能求出其余的三个元素。在三角形中，给了已知元素求未知元素的过程就是解三角形。

例1：货轮在海上以40km/h的速度沿着南偏东40的方向航行，货轮在B点观测灯塔A在其南偏东70的方向上，航行半小时到达C点，此时观测灯塔A在其北偏东65的方向上，求C点与灯塔A的距离。

解析：这道题实际上是在△ABC中，求出AC的边长。根据题目已知条件和图示，可以得到的度数是，的度数是105，那么的度数可以求出是45。另外通过货轮航行的速度和时间，可以得到边长BC的长为20km。这道题就转化为了在△ABC中已知三个角的度数和一条边长，求出AC的边长。那么我们就要思考是使用正弦定理还是余弦定理了。

分析：根据定理易知，在已知三个角一条边的情况下，用正弦定理，很容易就能得到其余两条边的边长，于是这道题我们选择用正弦定理。

由正弦定理得：。因此C点与灯塔A的距离是。

〖设计意图〗让学生感受在不同的情况下使用不同的“工具”来解题。

二、自主探究

例2：有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，河边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧CD的交点为E。已知扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB顶端的仰角分别为45，30和60。

（1）              求烟囱AB的高度。

（2）              如果要在CE间修一条直路，求CE的长。

解析：先来看第一问，求烟囱AB的高度。如果假设AB的高度为h m，根据已知条件，在直角三角形ABE里，可以得到在直角三角形AOB里，可以得到。所以根据OB、OE和BE的长度关系，可以得到，解得h=15。所以烟囱高度为15米。

烟囱的高度求出来后，OB的长度也可以求出来是米，CB的长度为15米。

接下来看第二问，如果要在CE间修一条直路。首先看在△OBC中，已知CO，OB和CB的长度，可以看到，在已知三条边的情况下，只有应用余弦定理，可以求出角的度数。于是我们应用余弦定理把求出来：在△OBC中，。

分析：所以在△OCE中，在已知两边及其夹角的情况下，求第三边，直接应用余弦定理。因此CE的长为10米。

〖设计意图〗在体会用正弦定理解三角形后，本道题是使用余弦定理来解三角形。

三、课堂总结

通过例子可以看出，在解决实际应用问题时，将问题抽象为解三角形的问题，在解三角形的问题中，将问题转化为：通过三角形的已知元素求未知元素，可以将思路变得更加清晰，解题更有逻辑。

〖设计意图〗在初步体会了用正弦定理和余弦定理解三角形后，总结解题过程，让学生在脑海中形成完整的解题思路。