高中数学3.1 离散型随机变量的均值精练

6.3.1　离散型随机变量的均值

1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分.已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是(　　)

A.0.2 B.0.8 C.1 D.0

【答案】B

【解析】因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以EX=1×0.8+0×0.2=0.8.

2.已知随机变量X的分布列是

EX=7.5，则a等于(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

【答案】C

【解析】∵EX=4×0.3+0.1a+9b+2=7.5，0.3+0.1+b+0.2=1，∴a=7，b=0.4.

3.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的期望为(　　)

A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4

【答案】C

【解析】X的可能取值为3，2，1，0，P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.4×0.6=0.24;P(X=1)=0.42×0.6=0.096;P(X=0)=0.43=0.064.所以EX=3×0.6+2×0.24+1×0.096=2.376.

4.设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X<4)=0.3，则EX等于　　　　. 

【答案】5.5

【解析】根据题意，X取1，2，3，…，n的概率都是，

则P(X<4)==0.3，解得n=10，

则EX=1+2+…+10=5.5.

5.设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，P(X=k)=ak+b(k=1，2，3).又X的均值EX=3，则a+b=　　　　. 

【答案】-

【解析】∵P(X=1)=a+b，

P(X=2)=2a+b，

P(X=3)=3a+b，

∴EX=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)=3，

∴14a+6b=3. ①

又∵(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1，

∴6a+3b=1. ②

∴由①②可知a=，b=-，∴a+b=-

6.两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4，0.1，0.5;战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁?

解设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下:

根据均值公式，

得EX1=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1;

EX2=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2.

EX2>EX1，

故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大.

7.若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为ξ，求Eξ.

解记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，ξ可能取值为0，1，2.

P(ξ=0)=P()P()=，

P(ξ=1)=P(A)+P(B)

=P(A)P()+P()P(B)

=，

P(ξ=2)=P(A)P(B)=

所以，ξ的分布列为

故Eξ=0+1+2

8.已知随机变量X的分布列为

则E(5X+4)等于(　　)

A.13 B.11 C.2.2 D.2.3

【答案】A

9.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则EX为(　　)

A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22

【答案】B

【解析】由题意可知X的可能取值为0，1，2，

则P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015，

P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.85×(1-0.9)=0.22，

P(X=2)=0.9×0.85=0.765，

所以EX=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.

10.若随机变量X的分布列如下表，则EX等于(　　)

A B 

C D

【答案】C

【解析】由题意，得2x+3x+7x+2x+3x+x=1，解得x=，所以EX=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40

11.等可能地在1，2，3，…，10中取一个数，如果以X表示这个数的因数的个数，那么EX等于(　　)

A.2.6 B.2.5 C.2.7 D.2.8

【答案】C

【解析】X可取1，2，3，4，且P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=，所以EX=1+2+3+4=2.7.

12.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值EX=(　　)

A B 

C D

【答案】B

【解析】由题意知X=0，1，2，3，P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，所以EX=0+1+2+3

13.袋子里装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3只球，若用X表示取出的球的最大号码，则EX等于　　　　　. 

【答案】4.5

【解析】X可能的取值为3，4，5，P(X=3)=，P(X=4)=，P(X=5)=，所以EX=3+4+5=4.5.

14.为了解人们对于我国颁布的“全面放开二孩”政策的热度，现在某市进行调查，对[5，65]岁的人群随机抽取了n人，得到如下统计表和各年龄段抽取人数的频率分布直方图:

(1)求n，p的值;

(2)若对年龄在[5，15)，[35，45)的被调查人中各随机选取2人进行调查，记选中的4人不支持“生育二孩”人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.

解(1)[5，15)年龄段抽取的人数为=5，频率为0.010×10=0.1，所以n==50.

由频率分布直方图可知，第二组的频率为0.2，

所以第二组的人数为50×0.2=10，则p==0.5.

(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.

P(X=0)=，

P(X=1)=，

P(X=2)=，

P(X=3)=

所以X的分布列是

所以X的期望EX=0+

15.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.

(1)求小波参加学校合唱团的概率;

(2)求X的分布列和数学期望.

解(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有=28种，当X=0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)=

(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2，-1，0，1，X=-2时，有2种情形;X=1时，有8种情形;X=-1时，有10种情形;X=0时，有8种情形.

所以X的分布列为

EX=(-2)+(-1)+0+1=-