2022年高考押题预测卷02（新高考卷）-数学及答案（含答题卡）

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13．14．15．16． QUOTE .
17．（10分）
【解析】（1）选①：∵，即，∴.
即，∴数列是常数列，
∴，故；
选②：∵，∴时，，
则，即
∴，∴；
当时，也满足，∴；
选③：得，
所以数列是等差数列，首项为2，公差为1．
则，∴.
（2）由（1）知当时，，∴
又∵时，，符合上式，∴
∴
∴
而
相减得
∴.
18．（12分）
【解析】（1）∵
∴，即
∴
∴或
∵在中，
∴，故
∴，即，
∴
（2）∵的面积为，且由第一问可知：
由面积公式得：
∴
∵
由余弦定理得：
解得：
∴的周长为
19．（12分）
【解析】（1）证明：取中点连接．
因为三棱柱的所有棱长都为
所以．
又因为且平面，
所以平面．
又因为平面
所以．
在直角三角形中，
所以．
在三角形中，，
所以，
所以
又因为平面
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．
（2）解：以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因此，，．
因为点在棱上，
则设，其中．
则
设平面的法向量为，
由
得
取
所以平面的一个法向量为．
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以
化简得
解得，
所以．
【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，由线面角确定点的位置．掌握面面垂直、线面垂直、线线垂直的相互转化是证明垂直的关键．求线面角常用方法：
（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；
（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．
20．（12分）
【解析】（1）前两局和棋最后一局甲胜，.
（2）的所有可能取值为，乙慢棋比赛胜概率，乙快棋比赛胜概率，
乙超快棋比赛胜概率.
，
的分布列为
.
21．（12分）
【解析】（1）解：由题意可知，，
所以动点的轨迹是以，为焦点且长轴长为4的椭圆，
所以，，故，
所以动点的轨迹的方程为；
（2）证明：题意可知，，，，为直线上一点，
设，，，，直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，可得，
可得，
所以，
故，，
同理可得，
故直线的方程为，
即，
故直线过定点，
所以的周长为定值8．
当时，是椭圆的通径，经过焦点，此时的周长为定值，
综上可得，的周长为定值8．
22．（12分）
【解析】（1）因为，所以，
因为在定义域内是单调递减函数，则在上恒成立.
即在上恒成立，
令，得，
易知，且函数在上单调递减，
当时，，所以在区间上，；在上，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
此时的最大值为；
所以当时，在定义域上单调递减；
（2）当时，，
要证，即可证，
①当时，欲证明，即证明，
令，，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，则，即；
又因为，，所以在上成立；
②当时，欲证明，即证明，
令，
则，
，当时，，
所以，
即在上成立，所以在上单调递减，
又因为，所以在上成立，
所以在上单调递减，，
即时，成立.
综合①②可得，对任意，恒有成立.
【点睛】方法点睛：利用导数的方法证明不等式恒成立的常用方法：一般需要构造函数（作差构造函数，或作商构造函数，或构造两不同函数），对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性及最值，即可求解.
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A
A
A
B
C
A
A
CD
BCD
AC
BCD
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