2022年中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习八（含答案）

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2022年中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习八1.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：DA=DE.  2.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB.（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.  3.如图,已知把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D与点B重合,点C落在点C′的位置上,若∠1=60°，AE=2． （1）求∠2，∠3的度数． （2）求长方形ABCD的纸片的面积S．  4.如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF。（1）求证：AF=EF；（2）求EF长。    5.如图,已知在等边△ABC中,D、F分别为CB、BA上的点,且CD=BF,以AD为边作等边三角形ADE．求证：(1)△ACD≌△CBF；(2)四边形CDEF为平行四边形．       6.如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q．(1)求证：△PDE≌△QCE；(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．     7.如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB.(1)求证：△BCP≌△DCP；(2)求证：∠DPE=∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC=58°，则∠DPE=________°.    8.如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．     
0.答案解析1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠E=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠E=∠DAE，∴DA=DE.2.解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°.∴∠ADE=∠CBF=60°.∵AE=AD，CF=CB，∴△AED，△CFB是正三角形.∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°.∴四边形AFCE是平行四边形. （2）解：上述结论还成立 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB.∴∠ADE=∠CBF.∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF.∴∠AED=∠CFB.又∵AD=BC，在△ADE和△CBF中.，∴△ADE≌△CBF（AAS）. ∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB.又∵∠DAB=∠BCD，∴∠EAF=∠FCE. ∴四边形EAFC是平行四边形 3. 4.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=DC=7，BC=AD=12，∴∠BAF+∠AFB=90°，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF=45°，∴△DCF是等腰直角三角形，∴FC=DC=7，∴AB=FC，∵AF⊥EF，∴∠AFE=90°，∴∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，在△ABF和△FCE中，∠BAF＝∠EFC；AB＝FC；∠B＝∠C，∴△ABF≌△FCE（ASA），∴EF=AF；（2）解：BF=BC-FC=12-7=5，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF= = =，则EF=AF=。 5.提示：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AC=CB，∠ACD=∠CBF=60°．又∵CD=BF，∴△ACD≌△CBF．(2)∵△ACD≌△CBF，∴AD=CF，∠CAD=∠BCF．∵△AED为等边三角形，∴∠ADE=60°，且AD=DE．∴FC=DE．∵∠EDB＋60°=∠BDA=∠CAD＋∠ACD=∠BCF＋60°，∴∠EDB=∠BCF．∴ED∥FC．∵ED//=FC，∴四边形CDEF为平行四边形.6.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ECQ=90°，∵E是CD的中点，∴DE=CE，又∵∠DEP=∠CEQ，∴△PDE≌△QCE(ASA)；(2)①∵PB=PQ，∴∠PBQ=∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE=QE，∵EF∥BQ，∴PF=BF，∴在Rt△PAB中，AF=PF=BF，∴∠APF=∠PAF，∴∠PAF=∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；②当AP=时，四边形AFEP是菱形．设AP=x，则PD=1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE=PA=x，∵CD=1，E是CD中点，∴DE=，在Rt△PDE中，由PD2+DE2=PE2得(1﹣x)2+()2=x2，解得x=，即当AP=时，四边形AFEP是菱形． 7. (1)证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°.在△BCP和△DCP中，∴△BCP≌△DCP(SAS)．(2)证明：如图，由(1)知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP.∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠CDP=∠E.又∵∠1=∠2(对顶角相等)，∴180°－∠1－∠CDP=180°－∠2－∠E，即∠DPE=∠DCE.∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC.(3)58. 8.（1）证明：∵EQ⊥BP，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP===4．∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=2，∴QF=BQtan∠FBQ=BQtan∠ABP=2×=．由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．