2022年中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习十（含答案）

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2022年中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习十1.如图所示，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形.     2.已知□ABCD中，AC是对角线，BE平分∠ABC交AC于点E，DF平分∠ADC交AC于点F，求证：AE=CF．        3.如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD.(1)求证：△AEB≌△CFD；(2)若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数.         4.如图,已知在□ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于G.求证：GF＝GC．     5.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．        6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．　　     7.如图,已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连结AE分别交BC、BD于点F、G,连结AC交BD于O,连结OF.求证：AB＝2OF．     8.在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,AE与BF相交于点G．（1）如图1,求证：AE⊥BF；（2）如图2,将△BCF沿BF折叠,得到△BPF,延长FP交BA的延长线于点Q,若AB=4,求QF的值. 
0.答案解析1.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF.（2）证法1：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形.证法2：如图，连接AC，与BD相交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.又∵BE=DF，∴OB﹣BE=OD﹣DF，∴OE=OF.∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.2.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠CDA，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=∠CDF，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF． 3. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD.∵点E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=AD，FC=BC.∴AE=CF.在△AEB与△CFD中，，∴△AEB≌△CFD(SAS).(2)解：∵四边形EBFD是菱形，∴BE=DE.∴∠EBD=∠EDB.∵AE=DE，∴BE=AE.∴∠A=∠ABE.∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，∴∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°. 4.提示：取BE的中点P，证明四边形EFPC是平行四边形． 5.【解答】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ 6.解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M，∵BD是∠ABC的平分线，∴OE＝OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE＝OF，∴OF＝OM，∵OM⊥AB，OF⊥AD，∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；(2)∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，∴解得∴OE＝CE＝CF＝2. 7.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，OA=OC．∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF．∵CE=DC，在平行四边形ABCD中，CD=AB，∴AB=CE．∴在△ABF和△ECF中，∠BAF=∠CEF，AB=CE，∠ABF=∠BCF∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF=CF．∵OA=OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB=2OF．8.（1）证明：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF；（2）解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，∴FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，设QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2，∴QB=x，PQ=x﹣2，在Rt△BPQ中，∴x2=（x﹣2）2+42，解得：x=5，即QF=5．