2021-2022学年福建省厦门市海沧区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省厦门市海沧区八年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 计算的正确结果是

A.  B.  C.  D.

2. 已知三角形的三边长分别为、、，则的值可能是

A.  B.  C.  D.

3. 五边形的外角和为

A.  B.  C.  D.

4. 分式有意义，则满足的条件是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，点，分别是边，上的点，连接和，则下列是的外角的是

A.
B.
C.
D.

6. 运用完全平方公式计算，则公式中的对应的是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，，，则下列结论不正确的是

A.
B.
C.
D.
 

8. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨．现在改用喷灌方式，可使同样吨的水量多用天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的

A.  B.  C.  D.

9. 如图，已知与，，，，四点在同一条直线上，其中，，，则等于

A.
B.
C.
D.

10. 已知，满足，且，则关于与的数量关系，下列说法中正确的是
    ；；；．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 计算：
    ______；
    ______；
    ______；
    ______．
12. 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为毫克，那么毫克可以用科学记数法表示为______ 毫克．
13. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上点坐标，点为边上一点，，且，则______．
    
     

14. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形．若拼成的长方形一边长为，则另一边长为______．

15. 如图，在四边形中，，连接，将沿着翻折得到，点的对应点刚好落在上，若，则______
16. 如图，海上救援船要从处到海岸上的处携带救援设备，再回到海上处对故障船实施救援，使得行驶的总路程为最小．已知救援船和故障船到海岸的最短路径分别为和，海里，，救援船的平均速度是节节海里小时，则这艘救援船从处最快到达故障船所在处的时间为______小时．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 计算：；
    因式分解：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，若，求证：．
     

19. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形的顶点的坐标为，关于直线对称的，已知顶点．
    请作出关于直线对称的；
    求四边形的面积．

21. 如图，已知是的角平分线．
    尺规作图：在边上找一点，使得；不写作法，保留作图痕迹
    在的条件下，判断和的位置关系，并加以证明．

22. 为促进学生健康成长，某校分批购进若干体育用品．第一批购买的单价不低于元，第二批购买的单价比第一批的单价少元．
    若第一批和第二批购买的费用分别为元和元，且第二批所购体育用品数是第一批所购体育用品数的倍．求第一批体育用品每件的单价是多少元？
    由于该体育用品深受学生喜欢，学校继续筹划费用购买第三批体育用品．如果第二批和第三批购买费用分别为元和元，：：第三批所购买的单价比第一批购买单价的倍少元．第二批和第三批哪次购买的数量多，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
23. 在一次数学活动中，小乐发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于的两位数的积的计算有规律．例如：；；；．
    请利用上述算式中的规律计算：______；
    请你用所学知识解释这个规律；
    小乐进一步思考，个位数字相同，十位数字之和为的两位数的积的计算会不会也有规律呢？如果有，请你尝试探索找出规律，并用所学知识解释；如果没有，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
24. 定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．
    
    例如：
    如图，在中，
    于，且，
    是直角三角形，
    是等腰三角形，
    是等直三角形，
    是的一条等直分割线段．
    如图，已知中，，是的垂直平分线，请说明是的一条等直分割线段；
    若是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，和均小于，求证：是等腰三角形．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，线段及过点的直线，线段与线段关于直线对称．
    根据题意作出线段要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹若点是上的一点点在点的下方，连接，，，，求到的距离；
    连接交直线于点，以为边作等边，点在左下方，作射线交直线于点，连接设．
    若，则______；用含的式子表示
    探究线段，与的数量关系，并证明．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，
故选：．
根据负整数指数幂即可得出答案．
本题考查了负整数指数幂，掌握是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：，，
，
的可能取值是．
故选：．
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可选择答案．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出的取值范围是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：五边形的外角和是．
故选：．
根据多边形的外角和等于解答．
本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是．
 

4.【答案】

【解析】

解：，
，
故选：．
根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：由题意得，，是的外角．
故选：．
根据三角形外角的定义可判断求解．
本题主要考查三角形的外角，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：，所以公式中的是
故选：．
利用完全平方公式计算即可得到答案．
本题考查了完全平方公式，属于基础题，熟记公式即可解题．
 

7.【答案】

【解析】

解：，，
，，故正确；
，，
，
，，
，故正确；
，，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质得到，，故正确；根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，故正确；由，，得到故错误．
本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨，
根据题意，得．
故选：．
首先求得漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可．
此题考查列代数式分式，掌握基本的数量关系：水的总量天数每一天的用水量是解决问题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：在和中，
，
≌，
，
又，
，
，
故选：．
先利用“”证明≌，据此得，再结合得，据此可得答案．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

10.【答案】

【解析】

解：，



，
，
，
．
故选：．
将等式整理即可得出，根据因式分解及即可得到．
本题主要考查了多项式乘多项式及因式分解，掌握因式分解是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：原式；
原式；
原式；
原式．
故答案为：；；；．
根据零指数幂即可得出答案；
根据同底数幂的除法即可得出答案；
根据积的乘方即可得出答案；
根据单项式乘单项式的法则即可得出答案．
本题考查了零指数幂，同底数幂的除法，积的乘方，单项式乘单项式，掌握是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：毫克可以用科学记数法表示为 毫克，
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

13.【答案】

【解析】

解：如图，过点作于，

点坐标，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
由等腰三角形的性质可得，可得，即可求解．
本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：如图，将剩余部分拼成一个长方形．这个长方形一边长为，另一边长为，
即，
故答案为：．
根据拼图中各个部分之间的关系得出答案．
本题考查平方差公式的几何背景，理解拼图中各个部分之间的关系是解决问题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：将沿着翻折得到，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
由旋转的性质得出，，，证出，则可求出答案．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：作关于的对称点，连接，交于，则此时点为所求；
，
过作，交的延长线于，
则四边形是矩形，
所以，，
、关于对称，
，
，
，，
海里，
即海里，
救援船的速度是节节海里小时，
这艘救援船最快小时到达故障船．
故答案为：．
作关于的对称点，连接即可，求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了轴对称最短路线问题，能找出点的位置是解此题的关键．
 

17.【答案】

解：


；


．
 

【解析】

用多项式的每一项分别乘以另一多项式的每一项进行计算即可；
先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解．
此题考查了整式乘法和因式分解的能力，关键是能准确理解方法并进行计算、变形．
 

18.【答案】

证明：，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
．
 

【解析】

利用证明≌即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，得到≌是解题的关键．
 

19.【答案】

解：原式

，
当时，原式．
 

【解析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】

解：如图，为所作；

四边形的面积．
 

【解析】

先利用点和的坐标特征确定对称轴，再利用网格特点画出、关于直线的对称点即可；
利用梯形的面积公式计算．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

21.【答案】

解：如图，点即为所求；

和的位置关系为：，
证明：是的角平分线，
，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
．
 

【解析】

利用尺规作的垂直平分线交于点即可；
结合的垂直平分线交于点，可得，所以，进而可以证明和的位置关系．
本题考查了作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
 

22.【答案】

解：设第一批体育用品每件的单价为元，则第二批体育用品每件的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一批体育用品每件的单价是元；
第二批购买的数量多，理由如下：
第二批和第三批购买费用分别为元和元，：：，
，
第二批和第三批购买费用分别为元和元，
设第一批购买的单价为元，
第一批购买的单价不低于元，
，
由题意得：第二批购买的单价为元，第三批购买的单价为元，
第二批购买的数量为件，第三批购买的数量为件，
，
，
，
，
，
即第二批购买的数量多．
 

【解析】

设第一批体育用品每件的单价为元，则第二批体育用品每件的单价为元，由题意：第一批和第二批购买的费用分别为元和元，且第二批所购体育用品数是第一批所购体育用品数的倍．列出分式方程，解方程即可；
由题意得：第二批和第三批购买费用分别为元和元，设第一批购买的单价为元，则二批购买的单价为元，第三批购买的单价为元，再求出第二批购买的数量为件，第三批购买的数量为件，然后比较大小即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

23.【答案】

【解析】

解：由规律得，，
故答案为：；
将相同的十位数字设为，个位数字为，，依题意得：


，
，
原式
；
规律：个位数字相同，十位数字和为的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方或乘积，前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和．
理由：设将相同的个位数字设为，十位数字分别为，，则，




，
即：个位数字相同，十位数字和为的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方或乘积，前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和．
直接根据规律计算即可得出结论；
将相同的十位数字设为，个位数字为，，从而有：，进行化简即可；
设将相同的个位数字设为，十位数字分别为，，则，进而得出

，即可得出结论
此题主要考查了数字的变化规律，多项式乘以多项式，找出规律是解本题的关键．
 

24.【答案】

证明：是的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
又，
是直角三角形，
是的一条等直分割线段；
如图，，是的两条等值分割线段，

，，，，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形．
 

【解析】

利用线段垂直平分线的性质可得，可证明结论；
根据等值分割线的定义画出图形，可证明，从而得出，可证明结论．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】

【解析】

解：图形如图所示：
线段与线段关于直线对称，

平分，
到的距离等于到的距离，设到的距离为，
，，
，
，
到的距离为；

线段与线段关于直线对称，
，垂直平分线段，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
故答案为：．

结论：．
理由：在上截取，使得，连接，．

，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
．
根据要求作出图形即可．
利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
结论：在上截取，使得，连接，证明≌，推出，推出，再证明，推出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．