2021-2022学年北京十三中分校九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年北京十三中分校九年级（下）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021-2022学年北京十三中分校九年级（下）开学数学试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是A.  B.  C. 且 D. 且在中，，点为中点．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定如图，已知中，，是高和的交点，，，则线段的长度为A.
B.
C.
D. 如图，点是内一点，，平分，是边的中点，延长线段交边于点，若，，则线段的长为A.
B.
C.
D. 在中按如下步骤作图：
作的直径；
以点为圆心，长为半径画弧，交于，两点；
连接，，，，．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是A.
B.
C.
D.
 某施工队计划修建一个长为米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的倍修建，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划一周修建隧道米，则可列方程为A.  B.
C.  D. 中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”图中虚线的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是A.  B.  C.  D. 如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：
此二次函数表达式为；
若点在这个二次函数图象上，则；
该二次函数图象与轴的另一个交点为；
当时，．
所有正确结论的序号是A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的度数为______．

  是方程的一个根，则代数式的值是______．若点，在抛物线上，则，的大小关系为：______填“”，“”或“”．如图，在平面直角坐标系中，点，点将线段绕点旋转得到线段，则点的坐标为______．
如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与边交于点，将绕点旋转后点与点恰好重合，则图中阴影部分的面积为______．


    三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）解方程：；
计算：．






 已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个实数根；
若该方程有一个根小于，求的取值范围．






 如图，在中，点是弦的中点，过点，作直径，连接，过点作交于点，交于点，连接求证：．


  






 如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点，且．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
  






 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．
用含的式子表示；
若当时，的最大值是，求的值；
若点为抛物线上两点，且，求的取值范围．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
且，
故选：．
利用二次项系数非零和根的判别式，即可得出关于的不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，理解“当时，一元二次方程有实数根”是解题的关键．
 2.【答案】
 【解析】解：连接，
，点为中点，
，
以点为圆心，长为半径作，
点到的距离等于的半径，
与的位置关系是相切，
故选：．
连接，根据等腰三角形的性质得到，于是得到点到的距离等于的半径，根据切线的判定定理即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
 3.【答案】
 【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故选：．
由勾股定理可求，由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
 4.【答案】
 【解析】解：延长交于，
平分，
，
在和中，
，
≌
，，
，，
，
，
，
，
故选：．
延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 5.【答案】
 【解析】解：根据作图过程可知：
是的直径，
，
选项正确；
，
，
，
选项正确；
根据垂径定理，得
，
选项正确；
，
，
选项错误．
故选：．
根据作图过程可知：是的直径，，根据垂径定理即可判断、、C正确，再根据，可得，进而可判断选项．
本题考查了作图复杂作图、含度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
 6.【答案】
 【解析】解：设原计划一周修建隧道米，则提速后的速度为一周修建米，
根据题意，得：．
故选：．
设原计划一周修建隧道米，则提速后的速度为一周修建米，根据“结果比原计划提前一周完成任务”即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 7.【答案】
 【解析】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“”标记的有处，
位于“---”图中虚线的上方的有处，
所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是，
故选：．
用“---”图中虚线的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，难度适中．
 8.【答案】
 【解析】解：从图象看，抛物线的顶点坐标为，抛物线和轴的一个交点坐标为，
则设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，解得，
故抛物线的表达式为，故错误，不符合题意；
从点、的横坐标看，点距离抛物线对称轴远，故正确，符合题意；
抛物线的对称轴为直线，抛物线和轴的一个交点坐标为，则另外一个交点为，
故正确，符合题意；
从图象看，当时，，故错误，不符合题意；
故选：．
根据函数图象和性质逐一求解即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 9.【答案】
 【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，由三角形的内角和定理即可求解．
本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 10.【答案】
 【解析】 【分析】
本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想求出的值，然后整体代入是解题的关键．
根据方程的根的定义，把代入方程求出的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．
【解答】
解：是方程的一个根，
，
整理得，，
，
，
．
故答案为：．  11.【答案】
 【解析】解：把代入得，
把代入得，
，
故答案为：．
分别把，代入解析式求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 12.【答案】
 【解析】解：设．
线段绕点旋转得到线段，
，
点，点，
，，
，，
．
设利用中点坐标公式构建方程组求解即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，中点坐标公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题即可．
 13.【答案】
 【解析】解：由旋转可知，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：．
阴影部分的面积三角形的面积扇形的面积，根据面积公式计算即可．
本题考查了三角形和扇形的面积公式及三角函数值，关键是得到是等边三角形．
 14.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
原式

．
 【解析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，分别求解即可；
先代入三角函数值、计算零指数幂、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可．
本题主要考查解一元二次方程因式分解法和实数的运算，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 15.【答案】证明：，
无论为任何实数时，此方程总有两个实数根；
解：，
，
，．
方程有一根小于，
，
的取值范围为．
 【解析】根据根的判别式：，即可得到结论；
利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于，找出关于的一元一次不等式．
 16.【答案】证明：为的直径，点是弦的中点，
，
，
，
，
，
，
．
 【解析】根据垂径定理得到，则，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得出，等量代换得到，再根据等角对等边即可得解．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的性质等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
 17.【答案】证明：连接，
，
，
又，
，
又，
，
，
，
是的切线；

解：过点作于点．
在中，，，
，，
，
，
在中，，
．
在中，，
的半径为．
 【解析】连接，根据圆周角定理求出，再由得出，再由得出，继而由，可得出，从而得出结论；
过点作于点在中，，，于是得到，，根据勾股定理得到，于是得到解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含直角三角形的性质．
 18.【答案】解：，
抛物线对称轴为直线，
．
，
抛物线开口向上，
抛物线对称轴为直线，
时，为最大值，
，
解得．
抛物线对称轴为直线，开口向上，
，
，
，
，，
把代入得，
，
解得，
把代入得，
，
解得，
．
 【解析】由抛物线对称轴为直线求解．
由抛物线开口方向和对称轴为直线可得时取最大值，进而求解．
由抛物线开口方向和对称轴为直线可得，由可得，，将和分别代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．