初中数学苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）综合与测试教学设计

《多边形的分割》活动设计

活动目的：

（1）通过活动进一步加深对n边形内角和内容以及说理过程的认识；

（2）加深对同一个量用两种不同途径表示，从而得到相等关系的思维方法的认识；

（3）经历从探索若干特殊图形的构成规律、猜想一般结论的过程，感受归纳的数学思想和方法在探索活动中的重要作用。

活动时间：45分钟左右

活动方式：自主探索与小组合作结合

预备知识：n边形内角和公式及其说理过程，分割三角形，找等量关系，用字母表示数

主要过程：

一、 活动知识准备 

（1）n边形的内角和定理；

（答案：180°（n-2））

（2）为了研究和表述方便，我们把形如图①中的及图②中的和称为“单纯角”， 图②中是由两个单纯角组成，这样的角称为“复杂角”，在本活动涉及的角都是单纯角；

（设计思路：用两个基本图形来检查新概念的掌握情况，并未下面利用单纯角的和说理论证做铺垫）

（3）能够对实际问题中的某个量用两种不同的表达式来表示；

1. 种一批树苗，如果每人种10棵，则剩6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗，设有人种树，则树苗数为__________，由此可得等量关系为___________。

（设计意图：回顾对同一个量用两种不同途径表示，从而得到相等关系的思维方法，为后面活动中说理铺垫，以进一步展开思维。）

二、活动过程

1．活动1：探究分割三角形蕴含的规律

（1）问题1：在图1中的三角形内任选1个点，并将这个点与原三角形的3个顶点连接成线段，把三角形分割成若干个不重叠的小三角形。

（答案：共有3个小三角形）

（2）问题2：在图2中的三角形内任选2个点，并将这2个点与原三角形的3个顶点共5个点连接成线段，要求任意两条线段之间除端点外没有其他公共点，把原三角形分割成若干个不重叠的小三角形。

（思考：a.两两连接的技巧：可借助于在平面图形内同一直线上的点；

        b.对“这些线段之间除端点外没有其他公共点”的解释（教学注意点）。）                         

 （1）                （2）               (3)                 (4)

（3）数一数

 问题3：请利用（3）（4）中的三角形继续进行分割，观察内部有3个及4个点进行分割小三角形的情况（要求所连线段除端点外没有其他公共点）。并把结果填入下面的表格中。

观察上表，你有了什么发现？

（4）猜一猜

 问题4：三角形内小三角形个数与三角形内所选取的点的个数有何关系？

（通过操作—猜想—验证的过程，激发了学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助其在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，让他们获得了数学活动的经验。）

（5）问题5：你能说明你的猜想是正确的吗？

（提示：你能用两种不同的方式表示图中所有单纯角的度数和吗？）

(参考理由:这个三角形里面有个点 ,每个点处以它为顶点的单纯角 的度数的和360°, 个点共,三角形三个内角的度数和为180°,故里面所有单纯角的度数和可记为；换一种思路,因为这些线段之间除端点外没有其他公共点，所以考虑这里共有m个小三角形,内角总和为，两种算法相等,就有,即。)

（通过说理的方式发展理性认识，提升思维高度。）

2.活动2：探究分割四边形蕴含的规律

（1）仿照探索活动1中的方法通过探究填写下表。

   （1）               (2)                   (3)                     (4)

填表：

（2）猜一猜

问题6：四边形内小三角形个数m与四边形内所选取的点的个数有何关系？

（3）问题7：你能说明你的猜想是正确的吗？

（提示：你能用两种不同的方式表示图中所有单纯角的度数和吗？）

（类比分析三角形的探索及说理思路，进行探索和说理，在应用中加深认识，同时为后面探索和说理起铺垫作用。）

3.活动3：探究分割五边形或六边形蕴含的规律

（1）猜一猜：

五边形或六边形内小三角形个数m与四边形内所选取的点的个数有何关系？

（2）试进行说理。

（3）填写下表：

问题8：边形内小三角形个数与边形内所选取的点的个数有何关系？

（模仿三角形及四边形的分割，推广到n边形的分割，凸出由特殊到一般的数学思想。）

4.交流与拓展

（1）问题9：通过活动，你有何感受？

（主要感受：1在同样的边数前提下,多边形内所选取的点的个数n每增加1,多边形内小三角形个数m总是多2；2图中所有单纯角度数的和，从两个不同的角度思考，可得到相等关系；3解决某个问题有困难时，我们可以先考虑问题的特殊情形，然后利用问题的特殊情形所获得的结论或解决方法来探索问题的一般情形，最终使问题得到解决。）

（2）课外拓展延伸

问题10：尝试对边形内小三角形个数与边形内所选取的点的个数的关系进行说理。

（说理：这个边形里面有个点,每个点处以它为顶点的单纯角的度数的和为360°，个点，边形个角的度数和为，故里面所有单纯角的度数和可记为；换一种思路考虑这里共有个小三角形,内角总和为，两种算法应该相等,就有,即。）

（经历了从探索若干特殊图形的构成规律、猜想一般结论的过程，感受了归纳的思想和方法在探索活动中的重要作用。）

参考文献：

［1］       杨裕前，董林伟.数学综合实践活动七年级［M］，南京：江苏科技出版社，2013.

［2］       叶新和. 例析“经验型”数学活动设计的“四化”要点［J］新课程研究（上旬），2014（12）：106-109.