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2022年中考第二轮复习讲义-三角形专题 教案
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这是一份2022年中考第二轮复习讲义-三角形专题 教案,共9页。教案主要包含了例1-1,例1-2,例1-3,例1-4,例2-1,例2-2,例2-3,例2-4等内容,欢迎下载使用。
知识点一:直角三角形
1. 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多,最简捷的方法就是求出一个角等于90°,也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半,或者利用勾股定理的逆定理证得.
2. 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外,还具有外接圆半径等于斜边的一半,内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半,它的外心是斜边的中点,垂心是直角顶点等性质.
3. 勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边,当我们只知道直角三角形的一边时,如果可以找到另外两边的关系,也可通过列方程的方法求出另外两条边.
4. 勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边,判断三角形是否为直角三角形.
5. 解题策略
面积法:用面积法证题是常用的方法之一,使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式,从而得到要证明的结论.如ch=ab,其中a、b为两直角边,c为斜边,h为斜边上的高.
【例1-1】 三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2,则此三角形是( )
A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形
【例1-2】如图,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,则BP= .
【例1-3】无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有 cm.
【例1-4】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( )
A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和
举一反三
1. 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是( )
A.B.C.D.
2. 已知M、N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
3. 如图,等边三角形ABC内有一点P,分別连结AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10.则S△ABP+S△BPC= .
4. 如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图2是此时的示意图,则图2中水面高度为( )
A.B.C.D.
知识点二:相似三角形
1. 图形的相似
(1)相似图形:形状相同的图形叫做相似图形.
(2)相似多边形:对应角相等,对应边的比相等。相似多边形对应边的比为相似比.
2. 相似三角形
(1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
(2)相似三角形的判定
①预备定理:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等.
②判定定理:
平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
③传递性定理:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
(3)相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
②相似三角形的周长的比等于相似比;对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方.
3. 相似三角形常见模型
4. 判定两个三角形相似思路
(1)先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单;
(2)再而先找一对内角对应相等,且看夹角的两边是否对应成比例;
(3)若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例;
5. “三点定形法”,即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“横定”;若不能,再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,则只要证明这两个三角形相似就行了,这叫做“竖定”。
5. 等量过渡法(等线段代换法)
遇到三点定形法无法解决欲证的问题时,即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上,不能组成三角形,或四条线段虽然组成两个三角形,但这两个三角形并不相似,那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段,如果没有,可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当,问题往往可以得到解决。当然,还要注意最后将代换的线段再代换回来。
【例2-1】如图,小正方形的边长为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【例2-2】 如图,在△ABC中,D、E分别在AB边和AC边上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与B、C重合),连结AM交DE于点N,则( )
A.B.C.D.
【例2-3】如图,在△ABC中,D为AC边上一点,∠DBC=∠A.
(1)求证:△BDC∽△ABC;
(2)如果BC=, AC=3,求CD的长.
【例2-4】如图,在等边三角形△ABC中,AB=4,AD=4,点P在边BC(不与B、C点重合)上移动,且保持∠DPE=60°,则AE的最小值是 。
【例2-5】如图,已知△ABC中,AD,BF为BC,AC边上的高,过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC的延长线于H,求证:DE2=EG⋅EH.
【例2-6】已知:图下图,AD是△ABC的中线,
(1)若E为AD的中点,射线CE交AB于F,则 ;
(2)若E为AD上一点,且,射线CE交AB于F,则 .
举一反三
1. 如图,在△ABC中,∠A=75°,AB=6,AC=8,将△ABC沿图中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A.B.C.D.
2. 如图,△ABC 中,点 D 为边 BC 的点,点 E、F 分别是边 AB、AC 上两点,且 EF∥BC,若 AE:EB=m,BD:DC=n,则( )
A.若 m>1,n>1,则 2S△AEF>S△ABD B.若 m>1,n<1,则 2S△AEF<S△ABD
C.若 m<1,n<1,则 2S△AEF<S△ABD D.若 m<1,n>1,则 2S△AEF<S△ABD
3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,过 A 作直线分别交 CB,CD 于点 E,F,且 CE=CF.
(1)求证:△ACF∽△ABE;
(2)若∠ACD=45°,AE=4,求的长.
4. 如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,2BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C. 设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析式是( )
A. B. C. D.
5. 如图四边形ABCD是矩形,AB=2,∠FEG=90°,求EF与EG的数量关系。
6. 如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B. C重合),连结AD.
问题引入:
(1)如图①,当点D是BC边上的中点时, ;当点D是BC边上任意一点时, (用图中已有线段表示).
探索研究:
(2)如图②,在△ABC中,O点是线段AD上一点(不与点A. D重合),连结BO、CO,试猜想与之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由。
拓展应用:
(3)如图③,O是线段AD上一点(不与点A. D重合),连结BO并延长交AC于点F,连结CO并延长交AB于点E,试猜想的值,并说明理由。
课堂练习
1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )
A. B.1, C.6,7,8 D.2,3,4
2.如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A.B.C.D.
3.如图,在平行四边形ABCD中,E是DC上的点,DE:EC=3:2,连接AE交BD于点F,则△DEF与△BAF的面积之比为( )
A.2:5B.3:5C.9:25D.4:25
4.如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,则经过点B的反比例函数解析式为( )
A.y=﹣B.y=﹣
C.y=﹣D.y=
5.如图,是三个正方形拼成的一个长方形,则∠1+∠2+∠3=( )
A.60°B.75°C.90°D.105°
6.如图,点E在△DBC的边DB上,点A在△DBC内部,∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE,AB=AC.给出下列结论:
①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45°;③BD⊥CE;④BE2=2(AD2+AB2)﹣CD2.其中正确的是( )
A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④
7.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,AC=5cm,将△ABC折叠,使点C与A重合,得折痕DE,则△ABE的周长等于_____cm.
8.如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(−2,1),点C的纵坐标是4,则B,C两点的坐标分别是( )
A.B.C.D.
9.如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,D为AB的中点,DC⊥BC,则△ABC的面积是 .
优化1. 如图,直线,,,C分别为直线,,上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线于点D.设直线,之间的距离为m,直线,之间的距离为n,若∠ABC=90°,BD=4,且,则的最大值为_____.
优化2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为( )
A.B.C.D.
优化3. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D是斜边AB的中点,E是BC边上一动点,连接DE、AE,当∠AED=45°时,求CE的长。
课后作业
1. 已知:如图,有人在岸上点C的地方,用绳子拉船靠岸,开始时,绳长CB=10米,
CA⊥AB,且CA=6米,拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后,绳长CD=6米.
(1)试判定△ACD的形状,并说明理由;
(2)求船体移动距离BD的长度.
2. 如图,在△ABC中,BC=6,BC边上的高为4,在△ABC的内部作一个矩形EFGH,使EF在BC边上,另外两个顶点分别在AB、AC边上,则对角线EG长的最小值为_____.
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