2021-2022学年山东省日照市东港区田家炳中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省日照市东港区田家炳中学九年级（下）开学数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 数，，，中最小的是

A.  B.  C.  D.

2. 一个位的量子计算机的数据处理速度约是目前世界上最快的“太湖之光”超级计算机的倍其中数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 某服务台如图所示，它的主视图为

A.
B.
C.
D.

4. 温州年月日日的气温折线统计图如图所示，其中实线表示当日最高气温，虚线表示当日最低气温由图可知，这一周中温差最小的是

A. 月日 B. 月日 C. 月日 D. 月日

5. 若分式的值为，则的值是

A.  B.  C.  D.

6. 甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们次跳高的平均成绩及方差如下表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 如图，在菱形中，是对角线上的一点，过点作，，点，，，分别在，，，上若，，则图中阴影部分的周长为

A.  B.  C.  D.

8. 某零件轴截面的示意图如图所示，它是关于直线成轴对称的梯形，则大头直径的长为

A. 厘米
B. 厘米
C. 厘米
D. 厘米
 

9. 如图，已知点为直线：上一点，先将点向下平移个单位，再向右平移个单位至点，然后再将点向下平移个单位，向右平移个单位至点若点恰好落在直线上，则，应满足的关系是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图象与的边、分别交于点，点若：：，：：，，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 已知二次函数的图象如图，对称轴，分析下列六个结论：
    ；
    若，则；
    ；
    ；
    为实数；
    为实数．
    其中正确的结论有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12. 如图，在中，，分别以，，为直径作半圆围成两月牙形，过点作分别交三个半圆于点，，若，，则阴影部分的面积为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 分解因式：______．
14. 不等式组的解集为______ ．
15. 如图，反比例函数在第一象限经过，两点过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点，连接，若，的面积为，则的值为______ ．
     

16. 如图是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图所示灯柱，灯臂绕着支点可以旋转，灯罩呈圆弧形即和在转动过程中，总是与桌面平行当时，，，测得点在墙壁上，且；当灯臂转到位置时，测得，则点到桌面的距离为______ 若此时点，，在同一条直线上，的最低点到桌面的距离为，则所在圆的半径为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共68.0分）

17. 计算：；
    先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
18. 在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分，学校将八年级一班和二班参赛人员的成绩整理并绘制成如下的统计图．
    分别求出此次比赛中两个班的平均成绩．
    从两个班成绩的平均数、中位数和众数的角度进行分析，你认为哪个班的成绩更好？

19. 如图，在中，，点为延长线上一点，以为直径作半圆分别交，于点，，点为的中点，过点作的切线交于点．
    求证：．
    若，，求的长．
    
     

20. 某经销商以每箱元的价格购进一批消毒水进行销售，当每箱售价为元时，日均销量为箱为了增加销量，该经销商准备适当降价经市场调查发现，每箱消毒水降价元，则可以多销售箱设每箱降价元，日均销量为箱．
    求日均销量关于的函数关系式．
    要使日均利润为元，则每箱应降价多少元？
    促销后发现，该经销商每天的销售量不低于箱若每销售一箱消毒水可以享受政府元的补贴，且销售这种消毒水的日均最大利润为元，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在矩形中，，点为的中点，将沿翻折至，直线分别交直线，直线于点，，连接．
    试判断与的位置关系，并说明理由．
    如图，连接分别交，于点，，若，
    求证：．
    求的长．
    设直线交于点，连接，记的面积为，的面积为，连接，当中有一个内角的正切值为时，求的值．

22. 如图，已知二次函数的图象经过点，和原点，为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线相较于点．
    求出二次函数的解析式；
    当点在直线的上方时，求线段的最大值；
    当点在直线的上方时，是否存在一点，使射线平分，若存在，请求出点坐标；若不存在．请说明理由；
    当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：大于，，，
最小的数为．
故选：．
根据正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】

解：从正面看，得到的图形是．
故选：．
根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】

【解析】

解：由折线图知：日温差为，
日温差为，
日温差为，
日温差为，
日温差为，
日温差为，
日温差为．
所以这一周温差最小的是月日．
故选：．
通过折线图得到相关数据，计算每天的温差后得结论．
本题考查了折线图，读懂折线图并得到需要数据是解决本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：分式的值为，
，且，
．
故选：．
直接利用分式的值为，则分子为，进而求出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：乙、丙射击成绩的平均环数较大，
乙、丙成绩较好，
丙的方差乙的方差，
丙比较稳定，
成绩较好状态稳定的运动员是丙，
故选：．
根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：四边形是菱形，，，
，
又，，
四边形和四边形是平行四边形，
，，，，
阴影部分的周长


．
故选：．
根据菱形的性质可得出，由可得出，由，，可得四边形和四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，进行计算即可得出答案．
本题主要考查了菱形及平行四边形的性质，合理应用相关性质进行计算是解决本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：设，则，
如图，过点作于点，
则，，
，
在中，，
，
，
，
，
即大头直径的长为，
故选：．
设，则，过点作于点，则，，得，再由锐角三角函数定义求出，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，本题关键是构造直角三角形，利用锐角三角函数定义求解．
 

9.【答案】

【解析】

解：点为直线：上一点，
设，
将点向下平移个单位，再向右平移个单位至点，
，
将点向下平移个单位，向右平移个单位至点，
，
恰好落在直线上，
，化简得，
故选：．
设，用表示坐标，再代入即可得到答案．
本题考查一次函数图像上点的坐标，解题的关键是表示出的坐标代入．
 

10.【答案】

【解析】

解：设，
：：，
，
：：，
点的纵坐标为，
，在的图象上，
，
直线的解析式为，
令，得到，
，
，
，
，
，
故选：．
设，想办法求出，，的坐标，构建方程求出的值即可解决问题．
本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上的点坐标特征等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数与不等式组：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数的性质．
利用对称轴方程得到，再利用时，得到，则可对进行判断；利用抛物线与轴的一个交点在和之间可对进行判断；利用时，；时，得到，则可对进行判断；利用时得到，则可对进行判断；利用二次函数的增减性可对进行判断；利用时，有最大值得到，然后利用可对进行判断．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线，
，
时，，即，
，即，所以错误；
抛物线与轴的一个交点在和之间，
，，所以错误；
时，，即；时，，即，
，
，所以正确；
时，，即，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
而，
，所以错误；
时，有最大值，
，
而，
，所以错误．
故选B．  

12.【答案】

【解析】

解：连接、，

是直径，
．
是直径，
．
，
四边形是矩形，
，
取的中的，作．
，设，，
，，
，
，，
．
，
，
，
，，
直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积





．
故选：．
阴影部分面积可以看成是以、为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形的面积减去一个以为直径的半圆的面积．
此题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
 

13.【答案】

【解析】

解：．
故答案为：．
本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：．
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项都是平方项；符号相反．
 

14.【答案】

【解析】

解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：，，
，．
．
．
故答案为：
根据反比例函数的几何意义得到，再通过表示的面积从而求出．
本题考查反比例函数的的几何意义及应用，解题关键是熟练掌握三角形及矩形的面积与的关系．
 

16.【答案】

【解析】

解：延长，，则、、在一条直线上，、、、在一条直线上，
由题意得，，，
在中，由勾股定理得，
，
，
即点到桌面的距离为，
过点作，垂足为，则，
由∽得，
，
即，
解得，
，
如图，可得，，
设半径为，则，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
故答案为：，．
根据题意，通过作平行线和垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出相应的边，再在圆中，利用垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
本题考查垂径定理、直角三角形的边角关系，相似三角形，理解题意将实际问题转化为数学问题是解决问题的关键，掌握相似三角形、勾股定理、垂径定理是正确计算的前提．
 

17.【答案】

解：原式
；
原式


，
当时，
原式

．
 

【解析】

先计算算术平方根、零指数幂、绝对值及负整数指数幂，再计算加减即可；
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

18.【答案】

解：一班平均成绩为分，
二班平均成绩为分；
一班成绩更好，理由如下：
一班成绩的中位数为分，众数为分，
二班分的有人、分的有人、分的有人，分的有人，
所以二班成绩的中位数为分，众数为分，
所以在平均成绩相等的前提下，一班成绩的中位数和众数均大于二班，
故一班成绩更好．
 

【解析】

根据加权平均数的定义求解即可；
分别计算出两个班级成绩的中位数和众数，从而得出答案．
本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图、中位数与众数．
 

19.【答案】

证明：连接，，，
点为的中点，
，
，
又，
，
又是的切线，
，
，
，
，
，
；
在中，，设，则，
，
连接，
点为的中点，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
又，
≌，
，
，，
∽，
，
即，
，

，
在中，，
由得，
，
解得，
．
 

【解析】

根据切线的判断和性质，直角三角形的性质以及圆周角定理即可得到证明；
利用全等三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系以及三角函数解析解答即可．
本题考查切线的判断和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质以及三角函数，掌握切线的性质，圆周角定理以及三角函数的意义是解决问题的前提．
 

20.【答案】

解：每箱消毒水降价元，则可以多销售箱，每箱降价元，
日均销量下降箱，
日均销量关于的函数关系式为．
由题意得：
，
整理得：，
解得，不合题意，舍去；
要使日均利润为元，则每箱应降价元．
由题意得，
，
设销售这种消毒水的日均利润为元，由题意得：


，
，抛物线开口向下，
当时，有最大值，
此时，
整理得：，
解得，不合题意，舍去．
，
，
 

【解析】

每箱消毒水降价元，则可以多销售箱，每箱降价元，则日均销量下降箱，从而可得日均销量关于的函数关系式；
根据售价元减降价元，再减去进价元，乘以销售量，等于利润元，可得关于的一元二次方程，解方程并作出取舍即可；
根据每天的销售量不低于箱得出，解得的取值范围；设销售这种消毒水的日均利润为元，列出关于的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】

解：沿翻折至，
≌，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
▱是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
：：：，
，，
，
，
，
，得，
，
在中，，
在中，，
，，，
≌，
，
，
，
第一种情况：如图，的正切值为，即，
，，
，
，
∽，
，
，，，
，
∽，
，
，
，，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
第二种情况：如图，的正切值为，即，
同理可得，，，，
，
，
，
．
．
 

【解析】

先说明，再证明，由，得，即可解决问题，
证明≌，得，，得四边形是平行四边形，再由，得▱是菱形，由相似三角形各边成比例，得，，得，求出，得，得，从而，
先证，分两种情况：第一种情况，如图，的正切值为，即，第二种情况，如图，的正切值为，即，利用相似基本图形相关线段长度，分别求，，即可解决问题．
本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质，菱形判定，解决此题关键在于利用相似三角形的性质求出相关线段长度．
 

22.【答案】

解：二次函数的图象经过原点，
设二次函数的解析式为，
将，代入，
得，
解得，，，
；

设直线的解析式为，
将代入，
得，，
，
轴，，
，，


，
根据二次函数的图象及性质可知，当时，有最大值，其最大值为；

存在，理由如下：
如图，当射线平分时，过点作轴于点，作于点，
则，
点在直线上，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
由知，，
，
，
，
，
，
解得，舍去，，
；

存在，理由如下：
，
当为等腰三角形时，只存在一种情况，
由知，，，
，
解得，舍去，，
当时，，

 

【解析】

由待定系数法将，代入二次函数的解析式为即可；
求出的解析式，将，的纵坐标用含的代数式表示出来，再表示出的长度，用函数的思想即可求出其最大值；
存在，如图，当射线平分时，过点作轴于点，作于点，则，证和是等腰直角三角形，可用含的代数式分别表示出，的长度，解等式即可求出的值，进一步写出点的坐标；
存在，当为等腰三角形时，只存在一种情况，用含的代数式表示出，的长，解方程即可求出的值，进一步写出点的坐标．
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象及性质的运用，等腰三角形的性质等，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质．