2020-2021学年广东省汕头市某校初二（下）期中考试数学试卷新人教版

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2020-2021学年广东省汕头市某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 4的算术平方根是(        ) A.±2 B.2 C.−2 D.2 2. 在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是(        ) A.AB//CD，AD=BC B.∠A=∠B，∠C=∠DC.AB//CD，AB=CD D.AB=AD，CB=CD 3. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A.a=1.5，b=2，c=3 B.a=7，b=24，c=25C.a=6，b=8，c=10 D.a=5，b=12，c=13 4. 下列计算正确的是（      ） A.2+3=5 B.32−2=3 C.2×3=6 D.8÷2=4 5. 下列命题中，其逆命题成立的是 （ ） A.如果a，b都是正数，那么它们的积也是正数B.如果a=b，那么a=bC.菱形的对角线互相垂直D.平行四边形的对角线互相平分 6. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B:∠BCD=1:2，则对角线AC等于（ ） A.5 B.10 C.15 D.20 7. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是(        ) A.两组对边分别平行 B.对角线相等C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 8. 若直角三角形的两条直角边长分别为3cm，4cm，则该直角三角形斜边上的高为（        ） A.52cm B.512cm C.5cm D.125cm 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至F，使CF=12BC，若AB=10，则EF的长是（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 10. 如图，在矩形纸片ABCD中， AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，使点D落在E处，CE交AB于点O，若BO=3cm，则AC的长为（       ） A.6cm B.8cm C.52cm D.45cm二、填空题  计算：(32)2=________.   式子x−2中，x的取值范围是________.   矩形的两条对角线的夹角为60∘，较短的边长为12cm，则对角线长为________cm．   如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于________．   如图，数轴上点A表示的实数是________．   如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是25和36，则△CDE的面积为________.   如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60∘，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值为________． 三、解答题  计算：48÷3+12×12−|−24|．   已知，如图，E，F分别为▱ABCD的边BC，AD上的点，且∠1=∠2．求证：AE=CF．   如图所示， △ABC中， ∠B=45∘，∠C=30∘，AB=22．求BC的长．   如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度． (1)请在所给的网格内画出以线段AB，BC为边的菱形ABCD； (2)在(1)的条件下，若E，F，G，H分别是AB，BC，DC，AD 的中点，则四边形EFGH是________（填其中一种特殊四边形)． (3)填空：菱形ABCD 的周长等于________；菱形ABCD的面积等于________.  如图，在▱ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接AC，BF． (1)求证：△ABE≅△FCE； (2)当四边形ABFC是矩形时，当∠AEC=86∘ ，求∠D的度数．  观察下列各式：1+112+122=1+11−12=112；1+122+132=1+12−13=116；1+132+142=1+13−14=1112；……请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想：1+172+182=________=________； (2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：________； (3)应用：用上述规律计算:1+112+122+1+122+132+1+132+142+...+1+192+1102  如图， △ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． (1)求证：OE=OF； (2)①若CE=8,CF=6，则OC长度为________；②当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由． (3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形， △ABC的形状是一个________三角形.  四边形ABCD是正方形，AC与BD相交于点O，点E，F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H． (1)当点E，F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明； (2)如图2，在(1)条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG．参考答案与试题解析2020-2021学年广东省汕头市某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】算术平方根【解析】此题暂无解析【解答】解：4的算数平方根为4=2.故选B.2.【答案】C【考点】平行四边形的判定【解析】根据平行四边形的判定方法即可得出结论．【解答】解：A，由AB//CD，AD=BC不能判定四边形ABCD为平行四边形，也可能是等腰梯形，故不符合题意；B，由∠A=∠B，∠C=∠D不能判定四边形ABCD为平行四边形,故不符合题意；C，由AB//CD，AB=CD能判定四边形ABCD为平行四边形，故符合题意；D，由AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形，故不符合题意.故选C．3.【答案】A【考点】勾股定理的逆定理【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A，1.52+22≠32，故不是直角三角形，故此选项符合题意；B，72+242=252，故是直角三角形，故此选项不合题意；C，62+82=102，故是直角三角形，故此选项不合题意；D，52+122=132，故是直角三角形，故此选项不合题意．故选A．4.【答案】C【考点】二次根式的乘除法二次根式的加法二次根式的减法【解析】利用二次根式的运算求解即可.【解答】解：A，2与3不是同类二次根式，不能合并，本选项错误；B，32−2=22 ，本选项错误；C，2×3=6，本选项正确； D，8÷2=4=2，本选项错误.故选C.5.【答案】D【考点】真命题，假命题原命题与逆命题、原定理与逆定理【解析】首先写出各个命题的逆命题，然后判断真假即可．【解答】解：A，逆命题为：积为正数的两个数都是正数，错误，如：−2×−3=6，故A不符合题意；B，逆命题为：如果a=b，那么a=b，错误，如当−2=−2时，故B不符合题意；C，逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，故C不符合题意；D，逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，故D符合题意.故选D．6.【答案】A【考点】菱形的性质【解析】根据题意可得出∠B＝60∘，结合菱形的性质可得BA＝BC，判断出△ABC是等边三角形即可得到AC的长．【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ ∠B+∠BCD=180∘，AB=BC，∵ ∠B:∠BCD=1:2，∴ ∠B=60∘，∴ △ABC是等边三角形，∴ AB=BC=AC=5．故选A.7.【答案】B【考点】矩形的性质菱形的性质【解析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A，矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B，矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C，矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D，矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．8.【答案】D【考点】勾股定理【解析】先根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积列式进行计算即可求解．【解答】解：根据勾股定理，斜边=32+42=5，设斜边上的高为h，则S△=12×3×4=12×5⋅h，整理得5h=12，解得h=125cm．故选D.9.【答案】A【考点】三角形中位线定理直角三角形斜边上的中线平行四边形的性质与判定【解析】由三角形中位线定理得出DE // BC，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB=AD=BD，又CF=12BC，即可证出四边形CDEF是平行四边形，由此即可解决问题．【解答】解：∵ AD=DB，AE=EC，∴ DE // BC，DE=12BC.∵ CF=12BC，∴ DE // CF，DE=CF，∴ 四边形DEFC是平行四边形，∴ EF=CD.∵ ∠ACB=90∘，AD=DB，AB=10，∴ CD=12AB=5，∴ EF=5．故选A．10.【答案】D【考点】翻折变换（折叠问题）矩形的性质勾股定理【解析】根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形CBO中，运用勾股定理求得CO，再根据线段的和差关系和勾股定理求解即可．【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠DCA=∠ACO，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD=BC=4cm，∴∠DCA=∠CAO，∴∠ACO=∠CAO，∴AO=CO.在直角三角形BCO中， CO=BC2+OB2=32+42=5(cm)，∴AB=CD=AO+BO=3+5=8(cm)，在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=82+42=45(cm).故选D．二、填空题【答案】18【考点】二次根式的乘法【解析】此题暂无解析【解答】解：(32)2=18.故答案为：18.【答案】x≥2【考点】二次根式有意义的条件【解析】根据被开方数为非负数列不等式求解即可．【解答】解：由x−2≥0得：x≥2，故答案为：x≥2．【答案】24【考点】矩形的性质【解析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可．【解答】解：如图：AB=12cm，∠AOB=60∘．∵ 四边形是矩形，AC，BD是对角线．∴ OA=OB=OD=OC=12BD=12AC．在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60∘．∴ OA=OB=AB=12cm，AC=BD=2OB=2×12=24cm．故答案为：24．【答案】2π【考点】勾股定理勾股定理的综合与创新【解析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．【解答】解：S1=12π(AC2)2=18πAC2，S2=18πBC2，所以S1+S2=18π(AC2+BC2)=18πAB2=2π．故答案为：2π．【答案】5−1【考点】勾股定理数轴【解析】此题暂无解析【解答】解：因为12+22=5，所以点A到−1的距离为5，设点A表示的实数为xA，则xA−(−1)=5，所以xA=5−1．故答案为：5−1．【答案】5112【考点】勾股定理三角形的面积全等三角形的性质与判定【解析】利用正方形的面积求出各正方形的边长，再利用勾股定理求出AG的长，根据直角三角形的全等判定定理进行转化，最后根据三角形的面积公式即可求解.【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于H，因为四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是25和36，所以AD⊥CD，DG=DE=6,∠BAD=90∘，AD=CD=5，在Rt△ADG中，AG=DG2−AD2=11，因为∠ADG+∠GDH=90∘，∠GDH+∠EDH=90∘，所以，∠EDH=∠ADG，且∠DAG=∠H=90∘，DE=DG，所以△ADG≅△HDE，所以HE=AG=11，所以S△CDE=12×CD×HE=5112.故答案为：5112.【答案】​3【考点】勾股定理菱形的性质轴对称——最短路线问题【解析】根据ABCD是菱形，找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，根据勾股定理求出即可．【解答】解：如图，找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P′，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．因为四边形ABCD是菱形，所以AC与BD互相垂直平分，所以P′D=P′B，所以PB+PE的最小长度为DE的长.又因为∠DAB=60∘=∠BCD，CD=CB,所以△CDB是等边三角形，又因为点E为BC边的中点，所以DE⊥BC.因为菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60∘，所以BD=2，BE=1，在Rt△DBE中，由勾股定理得DE=3，即PB+PE的最小值为3.故答案为：3.三、解答题【答案】解：原式=16+6−26=4−6．【考点】二次根式的混合运算【解析】 【解答】解：原式=16+6−26=4−6．【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD // BC，∴ ∠DAE=∠1.∵ ∠1=∠2，∴ ∠DAE=∠2，∴ AE // CF.∵ AF // EC，∴ 四边形AECF是平行四边形，∴ AE=CF．【考点】平行四边形的性质与判定【解析】先由平行四边形的对边平行得出AD // BC，再根据平行线的性质得到∠DAE＝∠1，而∠1＝∠2，于是∠DAE＝∠2，根据平行线的判定得到AE // CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到AE＝CF．【解答】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD // BC，∴ ∠DAE=∠1.∵ ∠1=∠2，∴ ∠DAE=∠2，∴ AE // CF.∵ AF // EC，∴ 四边形AECF是平行四边形，∴ AE=CF．【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．在Rt△ABD中，∠ADC=90∘， ∠B=45∘，AB=22，∴ 根据勾股定理可知AD=BD=2，在Rt△ACD中，∠ADC=90∘，∠C=30∘， AD=2，∴ AC=2AD=4，∴ CD=42−22=23，∴ BC=BD+CD=2+23.【考点】勾股定理【解析】过点A作AD⊥BC于点D，解Rt△ABD求出AD，BD的长度，解Rt△ACD求出CD的长度，再根据BC=BD+CD即可求出BC的长度．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．在Rt△ABD中，∠ADC=90∘， ∠B=45∘，AB=22，∴ 根据勾股定理可知AD=BD=2，在Rt△ACD中，∠ADC=90∘，∠C=30∘， AD=2，∴ AC=2AD=4，∴ CD=42−22=23，∴ BC=BD+CD=2+23.【答案】 解：(1)菱形ABCD如图所示. 矩形417,15【考点】作图—几何作图菱形的性质矩形的判定三角形中位线定理菱形的面积【解析】   【解答】  解：(1)菱形ABCD如图所示. (2)作出四边形EFGH，连接AC，BD，如图，依题意，EH//BD，EH=12BD，GF//BD，GF=12BD，∴GF//EH，GF=EH，∴四边形EFGH是平行四边形.∵GH//AC，AC⊥BD，∴GH⊥GF，∴▱EFGH是矩形.故答案为：矩形. (3)AB=12+42=17，故菱形ABCD的周长为417.AC=32+32=32，BD=52+52=52，菱形ABCD的面积为12AC⋅BD=12×32×52=15.故答案为：417；15.【答案】(1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB//DC，即AB//DF，∴ ∠ABE=∠FCE，∵ 点E是BC的中点，∴ BE=CE，在△ABE和△FCE中，∠ABE=∠FCE,BE=CE,∠AEB=∠FEC,∴ △ABE≅△FCE(SAS).(2)解：∵ 四边形ABFC是矩形，∴ AF=BC，AE=12AF，BE=12BC，∴ AE=BE，∴ ∠ABE=∠BAE，∵ ∠AEC=86∘，∴ ∠ABE=∠BAE=47∘，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠D=∠ABE=47∘.【考点】平行四边形的性质矩形的性质全等三角形的判定【解析】(1)根据平行四边形性质得出AB//DC，推出∠ABE=∠FCB，根据全等三角形的判定证两三角形全等即可；(2)根据矩形的性质解答即可．【解答】(1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB//DC，即AB//DF，∴ ∠ABE=∠FCE，∵ 点E是BC的中点，∴ BE=CE，在△ABE和△FCE中，∠ABE=∠FCE,BE=CE,∠AEB=∠FEC,∴ △ABE≅△FCE(SAS).(2)解：∵ 四边形ABFC是矩形，∴ AF=BC，AE=12AF，BE=12BC，∴ AE=BE，∴ ∠ABE=∠BAE，∵ ∠AEC=86∘，∴ ∠ABE=∠BAE=47∘，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠D=∠ABE=47∘.【答案】1+17−18,1156n2+n+1n2+n(3) 1+1- 12+1+12-13+1+13-14+...+1+19-110    =1×9+1-110   =9910【考点】规律型：数字的变化类【解析】根据已知3个等式的规律可知，等式右边的第一项是1，第2项是等式左边第2项的分母去取指数2，第3项是等式左边第3项的分母去取指数2，且前面的符号变为负号，据此规律可直接写出答案.根据第（1）小题的分析和猜想，如果用n来表示等式的规律，可表示为1+1n2+1n+12=1+1n−1n+1，然后化简整理即可.【解答】解：(1)由题意可得，1+172+182=1+17−18=1156.故答案为：1+17−18；1156.(2)1+1n2+1n+12=1+1n−1n+1=1+1n(n+1)=n2+n+1n2+n.故答案为：n2+n+1n2+n.(3) 1+1- 12+1+12-13+1+13-14+...+1+19-110    =1×9+1-110   =9910【答案】(1)证明：如图所示：∵ MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴ ∠2=∠5，∠4=∠6，∵ MN // BC，∴ ∠1=∠5，∠3=∠6，∴ ∠1=∠2，∠3=∠4，∴ EO=CO，FO=CO，∴ OE=OF.(2)解：∵ ∠2=∠5，∠4=∠6，∴ ∠2+∠4=∠5+∠6=90∘，∵ CE=8，CF=6，∴ EF=82+62=10，∴ OC=12EF=5；故答案为：5.②当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO=CO，∵ EO=FO，∴ 四边形AECF是平行四边形，∵ ∠ECF=90∘，∴ 平行四边形AECF是矩形．直角【考点】角平分线的定义平行线的性质勾股定理矩形的判定直角三角形斜边上的中线正方形的判定【解析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2 ∠3=∠4，进而得出答案；①先判定∠ECF为直角，再利用勾股定理求出斜边EF，再由斜边中线性质得到OC=12EF即可求出答案；②矩形首先是平行四边形，而平行四边形的对角线互相平分，从而确定O为AC的中点，然后进行说理即可；由（2）可知四边形AECF是矩形，要让矩形成为正方形可添加对角线垂直这一条件即∠AOE=90∘，而由EF//BC，可知∠ACB=∠AOE，故只需要让∠ACB=90∘即可，故△ABC应满足为直角三角形且∠ACB=90∘【解答】(1)证明：如图所示：∵ MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴ ∠2=∠5，∠4=∠6，∵ MN // BC，∴ ∠1=∠5，∠3=∠6，∴ ∠1=∠2，∠3=∠4，∴ EO=CO，FO=CO，∴ OE=OF.(2)解：∵ ∠2=∠5，∠4=∠6，∴ ∠2+∠4=∠5+∠6=90∘，∵ CE=8，CF=6，∴ EF=82+62=10，∴ OC=12EF=5；故答案为：5.②当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO=CO，∵ EO=FO，∴ 四边形AECF是平行四边形，∵ ∠ECF=90∘，∴ 平行四边形AECF是矩形．(3)解：当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90∘时，四边形AECF会是正方形，理由：由(2)证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，∵ EF//BC，∴ ∠AOE=∠ACB=90∘，∴ EF⊥AC，∴ 矩形AECF是正方形．故答案为：直角.【答案】(1)①证明：∵ 四边形ABCD为正方形，∴ DA=DC，∠ADB=∠CDB=45∘，在△ADG和△CDG中，AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴ △ADG≅△CDGSAS，∴ ∠DAG=∠DCG.②解：AG⊥BE．理由如下：∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AB=DC，∠BAD=∠CDA=90∘，在△ABE和△DCF中，AB=DC,∠BAE=∠CDF,AE=DF,∴ △ABE≅△DCFSAS，∴ ∠ABE=∠DCF.∵ ∠DAG=∠DCG，∴ ∠DAG=∠ABE.∵ ∠DAG+∠BAG=90∘，∴ ∠ABE+∠BAG=90∘，∴ ∠AHB=90∘，∴ AG⊥BE.(2)解：由(1) ②可知AG⊥BE．如图所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形，∴ ∠MON=90∘.又∵ OA⊥OB，∴ ∠AON=∠BOM．∵ ∠AON+∠OAN=90∘，∠BOM+∠OBM=90∘，∴ ∠OAN=∠OBM．在△AON与△BOM中，∠OAN=∠OBM,OA=OB,∠AON=∠BOM,∴ △AON≅△BOMASA，∴ OM=ON，∴ 矩形OMHN为正方形，∴ HO平分∠BHG．【考点】正方形的性质全等三角形的性质与判定正方形的判定与性质【解析】（1）根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45∘，则可根据"SAS“证明△ADG≅△CDG，所以∠DAG=∠DCG；（3）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≅△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立【解答】(1)①证明：∵ 四边形ABCD为正方形，∴ DA=DC，∠ADB=∠CDB=45∘，在△ADG和△CDG中，AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴ △ADG≅△CDGSAS，∴ ∠DAG=∠DCG.②解：AG⊥BE．理由如下：∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AB=DC，∠BAD=∠CDA=90∘，在△ABE和△DCF中，AB=DC,∠BAE=∠CDF,AE=DF,∴ △ABE≅△DCFSAS，∴ ∠ABE=∠DCF.∵ ∠DAG=∠DCG，∴ ∠DAG=∠ABE.∵ ∠DAG+∠BAG=90∘，∴ ∠ABE+∠BAG=90∘，∴ ∠AHB=90∘，∴ AG⊥BE.(2)解：由(1) ②可知AG⊥BE．如图所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形，∴ ∠MON=90∘.又∵ OA⊥OB，∴ ∠AON=∠BOM．∵ ∠AON+∠OAN=90∘，∠BOM+∠OBM=90∘，∴ ∠OAN=∠OBM．在△AON与△BOM中，∠OAN=∠OBM,OA=OB,∠AON=∠BOM,∴ △AON≅△BOMASA，∴ OM=ON，∴ 矩形OMHN为正方形，∴ HO平分∠BHG．