2020-2021年江西省赣州市某校初二（下）期中考试数学试卷新人教版

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2020-2021年江西省赣州市某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 下列各式中是最简二次根式的是(        ) A.12 B.5 C.12 D.23 2. 下列计算正确的是(        ) A.5−3=2 B.3+2=32 C.6÷2=3 D.6×2=23 3. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A.AB // DC，AD // BC B.AB=DC，AD=BCC.AB // DC，AD=BC D.OA=OC，OB=OD 4. 如图，是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是(        ) A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，4 5. 如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距(        ) A.20海里 B.40海里 C.35海里 D.30海里 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD为中线，延长CB至点，使BE=BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC=8，BC=6，则BF的长为(        ) A.2 B.2.5 C.3 D.4二、填空题  要使二次根式x−3有意义，则实数x的取值范围是________．   如图，在正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是________．   已知a，b都是实数，且b=a−2+2−a+4，则ba=________.   如图，△ABO中，AO=AB，点B(10, 0)，点A在第一象限，C，D分别为OB，OA的中点，且CD=6.5，则A点坐标为________．   如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从A处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要________m．   已知在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90∘，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，线段BD的长为________. 三、解答题  计算： (1)18−75+32+12； (2)3+23−22．  如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且AF=CE．求证：四边形AECF是平行四边形．   已知a，b，c为△ABC的三边长，且a和b满足b2−4b+4+a−6=0．求c的取值范围．   如图(1)是超市的儿童玩具购物车，图(2)为其侧面简化示意图，测得支架AC=24cm，CB=18cm，AC⊥BC，两轮中心的距离AB=30cm，求点C到AB的距离．（结果保留整数）   如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上. (1)在图1中画出一个以AB为边的▱ ABDE，使顶点D，E在格点上. (2)在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）.  观察下列各式及验证过程：223=2+23；338=3+38．验证： 223=233=23−2+23=6+23=2+23；338=338=33−3+38=24+38=3+38．请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想：①4415=________；②________=5+524． (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥2)表示的等式，并进行验证．  如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=12，BC=9，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E. (1)求AB的长度； (2)求CE的长．  如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA，OC的中点，延长BM至点E，使EM=BM，连接DE． (1)求证：△AMB≅△CND； (1)若BD=2AB，且AB=5，DN=4，求四边形DEMN的面积．  如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AB//OC，点B，C的坐标分别为15,8，(21,0)，动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动，动点N从点C→O以每秒2个单位的速度运动．M，N同时出发，运动时间为t秒． (1)在t=3时，M点坐标________，N点坐标________； (2)当t为何值时，四边形OAMN是矩形？ (3)运动过程中，是否存在MN=BC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．  【阅读材料】如果两个正数a，b，即a>0，b>0，则有下面的不等式：a+b2≥ab，当且仅当a=b时取等号，我们把a+b2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．【实例剖析】已知x>0，求式子y=x+4x的最小值．解：令a=x，b=4x，则由a+b2≥ab，得y=x+4x≥2x⋅4x=2×4=4，当且仅当x=4x时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4.【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)已知x>0，则当x=________时，式子x+1x取到最小值，最小值为________； (2)用篱笆围一个面积为100m2的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (3)已知x>0，则x=________时，分式xx2−2x+9取到最大值，最大值为________.  如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边所在射线ED上运动． (1)①求证：△AEC≅△BDC；②当∠ACE<90∘时，求证： AE2+AD2=2AC2． (2)当∠ACE>90∘时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请画出图形，并证明；若不成立，请说明理由． (3)若EC=3，点A从点E运动到点D时，点B运动的路径长为________．参考答案与试题解析2020-2021年江西省赣州市某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】最简二次根式【解析】利用最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述条件的二次根式称为最简二次根式，求解即可.【解答】解：A，12=23，则12不是最简二次根式；B，5满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；C，12=22，则12不是最简二次根式；D， 23=63，则23不是最简二次根式．故选B．2.【答案】D【考点】二次根式的性质与化简【解析】利用二次根式的运算逐一分析求解即可.【解答】解：A，5与3不是同类二次根式，不能计算，故A错误；B，3与2不是同类二次根式，不能计算，故B错误；C，6÷2=3≠3，故C错误；D，6×2=12=23，故D正确．故选D．3.【答案】C【考点】平行四边形的判定【解析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．【解答】解：A，AB // DC，AD // BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；B，AB=DC，AD=BC，根据两组对边相等的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；C，AB // DC，AD=BC，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故符合题意；D，OA=OC，OB=OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意．故选C．4.【答案】B【考点】勾股定理的逆定理三角形的面积【解析】根据题意可知，三块三角形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是1×42=42；当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是2×32=62；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是2×22=42.∵ 62>42，∴ 所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5.故选B.5.【答案】B【考点】勾股定理的应用【解析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【解答】解：如图，∵ 两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴ ∠BAC=90∘，两小时后，两艘船分别行驶了AB=16×2=32(海里)，AC=12×2=24(海里)，根据勾股定理，得BC=322+242=40(海里).故选B.6.【答案】B【考点】勾股定理直角三角形斜边上的中线三角形中位线定理【解析】利用勾股定理求得AB=10，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度，结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=12CD．【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，∴ AB=AC2+BC2=82+62=10．又∵ CD为中线，∴ CD=12AB=5．∵ F为DE中点，BE=BC，即点B是EC的中点，∴ BF是△CDE的中位线，∴ BF=12CD=2.5．故选B.二、填空题【答案】x≥3【考点】二次根式有意义的条件【解析】直接利用二次根式的定义得出答案．【解答】解：二次根式x−3有意义，故x−3≥0，则x的取值范围是：x≥3．故答案为：x≥3.【答案】−2【考点】在数轴上表示实数勾股定理【解析】在直角三角形中根据勾股定理求得OB的值，即OA的值，进而求出数轴上点A表示的数【解答】解：∵ OB=12+12=2，∴ OA=OB=2，∵ 点A在数轴上原点的左边，∴ 点A表示的数是−2.故答案为：−2.【答案】16【考点】有理数的乘方二次根式的非负性【解析】根据被开方数大于等于0列式取出a的值，再求出b的值，然后代入进行计算即可求解．【解答】解：根据题意，得a−2≥0，2−a≥0，解得a=2，∴b=0+0+4=4，∴ba=42=16．故答案为：16．【答案】(5, 12)【考点】勾股定理直角三角形斜边上的中线等腰三角形的性质：三线合一【解析】连接AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得AC⊥BC，根据线段中点的定义求出OC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AO，利用勾股定理列式求出AC，然后写出点A的坐标即可．【解答】解：如图，连接AC，∵ AO=AB，点C是OB的中点，∴ AC⊥BC，OC=12OB=12×10=5，∵ 点D是AO的中点，∴ AO=2CD=2×6.5=13，由勾股定理，得AC=AO2−OC2=132−52=12，∴ 点A的坐标为(5, 12)．故答案为：(5, 12)．【答案】26【考点】平面展开-最短路径问题勾股定理【解析】将圆柱沿AB侧面展开并连接AB，得到△ABC，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图，把圆柱沿AB侧面展开，连接AB，根据题意可知，油罐周长即为AC的长，则AC=24m，BC=10m，根据勾股定理，得AB=BC2+AC2=102+242=26m，即梯子最短需要26m．故答案为：26．【答案】4或25或10【考点】等腰直角三角形勾股定理【解析】分情况讨论，①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．【解答】解：①如图，以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，∵∠DAC=90∘，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②如图，以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACD=90∘，∴∠DCE=45∘，又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90∘，∴∠CDE=45∘，∴CE=DE=2，在Rt△BAC中，∠BAC=90∘，∴ BC=22+22=22，∴BD=BE2+DE2=22+22+22=25；③如图，以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，∵∠ADC=90∘，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=2，又∵△ABC，△ADC均是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45∘，∴∠BCD=90∘，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，∴ BC=22+22=22，∴BD=BC2+CD2=222+22=10．综上所述，BD的长为4或25或10．故答案为：4或25或10．三、解答题【答案】解：(1)原式=32−53+42+23=72−33.(2)原式=(3+2)(3−2)(3−2)=3−2.【考点】二次根式的加减混合运算平方差公式二次根式的混合运算【解析】无无【解答】解：(1)原式=32−53+42+23=72−33.(2)原式=(3+2)(3−2)(3−2)=3−2.【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD // BC，∴ AF // CE．又∵ AF=CE，∴ 四边形AECF是平行四边形．【考点】平行四边形的判定【解析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AF // CE，又AF=CE，所以四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD // BC，∴ AF // CE．又∵ AF=CE，∴ 四边形AECF是平行四边形．【答案】解：∵ b2−4b+4+a−6=0，∴ b−22+a−6=0，即b−2=0，a−6=0，解得a=6，b=2，∴ 6−20，得x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时，式子x+1x的最小值为2.故答案为：1；2.(2)设这个长方形的长为xm，则宽为100xm，∵ 2x+200x≥22x⋅200x=40m，∴ 所用的篱笆最短为40m，当且仅当2x=200x，即x=10时，等号成立，答：这个矩形的长、宽各为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.(3)∵ x2−2x+9x=x+9x−2≥2x⋅9x−2=4，当且仅当x=9x，即x=3时，等号成立，∴ x2−2x+9x的最小值为4，∴ xx2−2x+9的最大值为14.故答案为：3；14.【答案】(1)证明：①∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴ ∠ACB=∠ECD=90∘，AC=BC，EC=DC，∴ ∠ACE=∠BCD．在△ACE和△BCD中，CE=CD,∠ACE=∠BCD,AC=BC,∴ △ACE≅△BCD(SAS)，②由①，得AE=BD，∠E=∠BDC．∵ ∠E+∠CDE=90∘，∴ ∠BDC+∠CDE=90∘，即∠ADB=90∘．在Rt△ADB中，BD2+AD2=AB2，∴ AE2+AD2=AB2．∵ AB2=2AC2，∴ AE2+AD2=2AC2．(2)解：结论仍然成立．理由如下：如图所示，连接BD，∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴ ∠ACB=∠ECD=90∘，AC=BC，EC=DC，∴ ∠ACE=∠BCD．在△ACE和△BCD中，CE=CD,∠ACE=∠BCD,AC=BC,∴ △ACE≅△BCD(SAS)，∴ AE=BD，∠E=∠BDC．∵ ∠E+∠CDE=90∘，∴ ∠BDC+∠CDE=90∘，即∠ADB=90∘．在Rt△ADB中，BD2+AD2=AB2，∴ AE2+AD2=AB2．∵ AB2=2AC2，∴ AE2+AD2=2AC2．32【考点】勾股定理等腰直角三角形全等三角形的性质与判定动点问题【解析】无无无【解答】(1)证明：①∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴ ∠ACB=∠ECD=90∘，AC=BC，EC=DC，∴ ∠ACE=∠BCD．在△ACE和△BCD中，CE=CD,∠ACE=∠BCD,AC=BC,∴ △ACE≅△BCD(SAS)，②由①，得AE=BD，∠E=∠BDC．∵ ∠E+∠CDE=90∘，∴ ∠BDC+∠CDE=90∘，即∠ADB=90∘．在Rt△ADB中，BD2+AD2=AB2，∴ AE2+AD2=AB2．∵ AB2=2AC2，∴ AE2+AD2=2AC2．(2)解：结论仍然成立．理由如下：如图所示，连接BD，∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴ ∠ACB=∠ECD=90∘，AC=BC，EC=DC，∴ ∠ACE=∠BCD．在△ACE和△BCD中，CE=CD,∠ACE=∠BCD,AC=BC,∴ △ACE≅△BCD(SAS)，∴ AE=BD，∠E=∠BDC．∵ ∠E+∠CDE=90∘，∴ ∠BDC+∠CDE=90∘，即∠ADB=90∘．在Rt△ADB中，BD2+AD2=AB2，∴ AE2+AD2=AB2．∵ AB2=2AC2，∴ AE2+AD2=2AC2．(3)解：由(1)(2)知，BD⊥DE，可知点B运动的路径是在同一条直线上．∵ △ACE≅△BCD，∴ EA=BD．∵ EC=3，∴ DE=32，∴ 点B运动的路径长为32．故答案为：32．