2022年长沙中考数学专题复习：函数专题测试（含答案）

这是一份2022年长沙中考数学专题复习：函数专题测试（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年长沙中考函数专题测试
一、选择题
1.（2021长沙）下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（　　）



A． B． C． D．
2. （2021张家界）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（　　）




A． B． C． D．

3.（2021邵阳）某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（　　）

A．小明修车花了15min
B．小明家距离学校1100m
C．小明修好车后花了30min到达学校
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
4.（2021株洲）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（　　）
A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0




5.（2020长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃．臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：p＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(　　)
A. 3.50分钟 B. 4.05分钟 C. 3.75分钟 D. 4.25分钟


6. （2021郴州）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　）







A． B． C． D．
7.（2021邵阳）在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
8.（2021娄底）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则解集为（　　）

A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞2
9.（2021娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y＝（a为常数且a＞0，x＞0）的性质表述中，正确的是（　　）
①y随x的增大而增大 ②y随x的增大而减小
③0＜y＜1 ④0≤y≤1
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
10.（2021娄底）用数形结合等思想方法确定二次函数y＝x2+2的图象与反比例函数y＝的图象的交点的横坐标x0所在的范围是（　　）
A．0＜x0≤ B．＜x0≤ C．＜x0≤ D．＜x0≤1
二、填空题
11.（2021怀化）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　．
12.（2021郴州）在反比例函数y＝的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 　 　．
13.（2021永州）（2021永州）如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是 　 　．

14.（2021邵阳）已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1　 　y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
15.（2021鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 　 　．

16. （2021黄石）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m 的值为 　 　．
17. （2021黄石）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 　 　．






18.（2021荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 　 　．

19.（2021荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 　 　．



20.（2021遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a ＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 　 　（填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
三、解答题
21.（2021常德）如图，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y轴，O为坐标原点，A的坐标为
反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数图象的一支过B点，过A作AH⊥x轴于H，若△AOH的面积为．
（1）求n的值；
（2）求反比例函数的解析式．


22.（2021常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．



23.（2021郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．


24.（2021衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）……都是“雁点”．
（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．
①求c的取值范围；
②求∠EMN的度数；
（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．












25.（2021怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．














26.（2021娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b、c的值；
（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．
①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．


27.（2021邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．
（1）求抛物线C的对称轴．
（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．













2022年长沙中考函数专题测试
【答案或简析】
一、选择题
1.（2021长沙）下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（　　）



A． B． C． D．
【答案或简析】B.
2. （2021张家界）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（　　）




A． B． C． D．
【答案或简析】D.
3.（2021邵阳）某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（　　）

A．小明修车花了15min
B．小明家距离学校1100m
C．小明修好车后花了30min到达学校
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
【答案或简析】A.
4.（2021株洲）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（　　）
A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0




【答案或简析】D.
5.（2020长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃．臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：p＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(　　)
A. 3.50分钟 B. 4.05分钟 C. 3.75分钟 D. 4.25分钟

【答案或简析】C.
6. （2021郴州）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　）







A． B． C． D．
【答案或简析】A.
7.（2021邵阳）在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【答案或简析】D.
8.（2021娄底）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则解集为（　　）

A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞2
【答案或简析】A.
9.（2021娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y＝（a为常数且a＞0，x＞0）的性质表述中，正确的是（　　）
①y随x的增大而增大 ②y随x的增大而减小
③0＜y＜1 ④0≤y≤1
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案或简析】A.
10.（2021娄底）用数形结合等思想方法确定二次函数y＝x2+2的图象与反比例函数y＝的图象的交点的横坐标x0所在的范围是（　　）
A．0＜x0≤ B．＜x0≤ C．＜x0≤ D．＜x0≤1
【答案或简析】D.
二、填空题
11.（2021怀化）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　．
【答案或简析】x≥2, 且x≠3.
12.（2021郴州）在反比例函数y＝的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 　 　．
【答案或简析】m < 3.
13.（2021永州）（2021永州）如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是 　 　．

【答案或简析】(2, 0)
14.（2021邵阳）已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1　 　y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
【答案或简析】 y1　< 　y2 .

15.（2021鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 　 　．

【答案或简析】k的值为8.
16. （2021黄石）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m 的值为 　 　．
【答案或简析】m=3.
17. （2021黄石）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 　 　．






【答案或简析】
解：过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，
∵A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴设A（x，﹣），S△AOH＝，
∵AB＝2BC，
∴，，
∴BG＝AH，HG＝2CG
∴点B的纵坐标为，代入比例函数中得点B的坐标为（3x，），
∴OG＝﹣3x，HG＝﹣2x，CG＝﹣x，则OC＝﹣4x，
∴S△AOC＝＝•（﹣4x）•（﹣）＝6

故答案为：6．

18.（2021荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 　 　．

【答案或简析】
解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，
∵∠AOB＝30°，
∴OE＝AE＝，
将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），
∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝1×＝，
∴y＝，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
∴OF＝MF，
设MF＝n，则OF＝n，
∴M（n，n），
∵点M在函数y＝的图象上，
∴n＝，
∴n＝1（负数舍去），
∴M（，1），
故答案为（，1）．
19.（2021荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 　 　．


【答案或简析】
解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，
∴S1＝4S4．
故答案为：S1＝4S4．

20.（2021遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a ＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 　 　（填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
【答案或简析】
解：将将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式得，
得，
∴抛物线解析式为y＝ax2﹣4ax．
①b＝﹣4a，b+4a＝0，正确，
②5a+3b+2c＝5a﹣12a＝﹣7a，a＞0，﹣7a＜0，错误．
③当有交点时，ax2﹣4ax＝﹣3，即一元二次方程ax2﹣4ax+3＝0有实数根，
Δ＝16a2﹣12a＝a（16a﹣12）≥0，
∵a＞0，
∴16a﹣12≥0，解得a，正确．
④一元二次方程可化为ax2﹣4ax﹣t＝0，即抛物线y＝ax2﹣4ax与直线y＝t（t为常数，t≤0）的交点横坐标为正数，横坐标可以为1，2，3，有3个t满足，如图，④正确，
故答案为①③④．
三、解答题
21.（2021常德）如图，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y轴，O为坐标原点，A的坐标为
反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数图象的一支过B点，过A作AH⊥x轴于H，若△AOH的面积为．
（1）求n的值；
（2）求反比例函数的解析式．
【答案或简析】
解：（1）S△AOH＝，
即，＝，
∴n＝1，
（2）过点B作BQ⊥x轴于点Q，如图所示：

∵AO⊥BO，AB⊥y轴，
∴△BOQ∽△OAH，且BQ＝AH＝，
∴，即，
∴QO＝3，
∵点B位于第二象限，
∴B的坐标（﹣3，），
将点B坐标代入反比例函数y2＝中，
k2＝﹣3×＝﹣3，
∴反比例函数y2的解析式为：y2＝．
22.（2021常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．

【答案或简析】
解：（1）过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：

由题意得∠EOB＝∠DHC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠EBO＝∠DCH，
∴△EBO∽△DCH，
∴，
∵B（﹣2，0）、C（8，0）、D（13，10），
∴BO＝2，CH＝13﹣8＝5，DH＝10，
∴，
解得：EO＝4，
∴点E坐标为（0，4），
设过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣8），将E点代入得：
4＝a×2×（﹣8），
解得：a＝﹣，
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；
（2）抛物线的顶点在直线EF上，理由如下：
由（1）可知该抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3，
当x＝3时，y＝，
∴该抛物线的顶点坐标为（3，），
又∵F是AD的中点，
∴F（8，10），
设直线EF的解析式为：y＝kx+b，将E（0，4），F（8，10）代入得，
解得：，
∴直线EF解析式为：y＝，
把x＝3代入直线EF解析式中得：y＝，
故抛物线的顶点在直线EF上；
（3）由（1）（2）可知：A（3，10），
设直线AB的解析式为：y＝k'x+b'，将B（﹣2，0），A（3，10）代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝2x+4，
∵FQ∥AB，
故可设：直线FQ的解析式为：y＝2x+b1，将F（8，10）代入得：
b1＝﹣6，
∴直线FQ的解析式为：y＝2x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴Q点坐标为（0，﹣6），
设M（0，m），直线BM的解析式为：y＝k2x+b2，将M、B点代入得：
，解得：，
∴直线BM的解析式为：y＝，
∵点P为直线BM与抛物线的交点，
∴联立方程组有：，
化简得：（x+2）（x﹣8+2m）＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8﹣2m，
∴点P的横坐标为：8﹣2m，
则此时，S△PBQ＝MQ×（|xP|+|xB|）＝＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，S取得最大值，
∴点P横坐标为8﹣2×（﹣）＝9，
将x＝9代入抛物线解析式中y＝﹣，
综上所述，当△PBQ的面积最大时，P的坐标为（9，﹣）．
23.（2021郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．






【答案或简析】
解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PF•EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．









24.（2021衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）……都是“雁点”．
（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．
①求c的取值范围；
②求∠EMN的度数；
（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案或简析】
解：（1）由题意得，“雁点”在直线y = x上运动，联立方程，得
解得：或者所以函数y＝图象上的“雁点”坐标为（2, 2），（-2， -2）.
（2）①抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E.
所以方程ax2+5x+c=x有两个相等的实数根，整理得：ax2+4x+c=0，
所以，所以.
所以当a＞1时，.
②令ax2+5x+c=0，由，解得或，
因为，且点M在点N的左侧，所以.
由ax2+4x+c=0，解得，所以
如图（1）作EH⊥MO于点H，则，，
所以,所以∠EMN=45°.

（3）由y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）得A（-1, 0）B（3， 0）
设C（t, t）P（m, n）
情形一，如下图，作辅助线。易证△HPC≌△KBP,所以HC=KP,HP=KB.

所以解得，.
所以.
情形二：如下图，作辅助线。同理易证△FPC≌GBP, 所以GP=FC,GB=FP
所以解得，
令 解得，（舍去）
所以

情形三：如下图，作辅助线，同理易证△YPB≌△WCP, 所以PY=CW, YB=WP
所以解得.
令 解得（舍去），.
所以







综上所述，符合条件的点P坐标为，，
25.（2021怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案或简析】
解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），
设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8；

（2）存在，理由：
当∠CP′M为直角时，

则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，
则点P′的坐标为（1，8）；
当∠PCM为直角时，
在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，
cosα＝，
在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，
则BM＝＝3，
同理可得，MN＝6，
由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC＝MB＝，
在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，
则PM＝＝＝，
则PN＝MN+PM＝6+＝，
故点P的坐标为（1，），
故点P的坐标为（1，8）或（1，）；

（3）∵D为CO的中点，则点D（0，4），
作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），
连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，

理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短，
由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4，
对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，解得x＝，当x＝1时，y＝2，
故点E、F的坐标分别为（，0）、（1，2）；
G走过的最短路程为C′D′＝＝2；

（4）存在，理由：
①当点Q在y轴的右侧时，
设点Q的坐标为（x，﹣x2+2x+8），
故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，

∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，
∴∠MQC＝∠QRE，
∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，
∴△ANQ≌△QMC（AAS），
∴QN＝CM，
即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合题意的值已舍去），
故点Q的坐标为（，）；
②当点Q在y轴的左侧时，
同理可得，点Q的坐标为（，）．
综上，点Q的坐标为（，）或（，）．
26.（2021娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b、c的值；
（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．
①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．

【答案或简析】
解：（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），得：
，
解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴b＝﹣2，c＝﹣3．
（2）①∵点P（m，n）在抛物线上y＝x2﹣2x﹣3，
∴P（m，m2﹣2m﹣3），
∴PQ＝m﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m+3＝﹣（m﹣）2+，
∵过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q，
∴Q（m，m），
设点P到直线y＝x的距离为h，
∵直线y＝x是一三象限的角平分线，
∴PQ＝h，
∴当P点到直线l：y＝x的距离最大时，PQ取得最大值，
∴当m＝时，PQ有最大值，
∴当P点到直线l：y＝x的距离最大时，m的值为．
②∵抛物线与y轴交于点C，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵OC∥PQ，且以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴PQ＝OC，
又∵OC＝3，PQ＝|﹣m2+3m+3|，
∴3＝|﹣m2+3m+3|，
解得：m1＝0，m2＝3，m3＝，m4＝，
当m1＝0时，PQ与OC重合，菱形不成立，舍去；
当m2＝3时，P（3，0），Q（3，3），
此时，四边形OCPQ是平行四边形，OQ＝，
∴OQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；
当m3＝时，Q（，），
此时，四边形OCQP是平行四边形，CQ＝，
∴CQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；
当m4＝时，Q（，），
此时，四边形OCQP是平行四边形，CQ＝，
∴CQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；
综上所述：不存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．
27.（2021邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．
（1）求抛物线C的对称轴．
（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案或简析】
解：（1）∵点（1，1）和（4，1）的纵坐标相同，
故上述两点关于抛物线对称轴对称，
故抛物线的对称轴为直线x＝（1+4）＝；

（2）①由题意得：，解得，
故原抛物线的表达式为y＝﹣x2+5x﹣3；
由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+2）2+5（x+2）﹣3﹣1＝﹣x2+x+2；

②存在，理由：
令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝2，
故点B、A的坐标分别为（﹣1，0）、（2，0），点C（0，2）；
∵tan∠BCO＝，
同理可得：tan∠CBO＝2，
当以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似时，
则tan∠DOE＝2或，
设点D的坐标为（m，﹣m2+m+2），
则tan∠DOE＝＝＝2或，
解得：m＝﹣2（舍去）或1或（舍去）或，
故m＝1或．