人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系当堂达标检测题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系当堂达标检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
A [b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．]
2．与A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是( )
A．10x＋2y＋10z－37＝0 B．5x－y＋5z－37＝0
C．10x－y＋10z＋37＝0 D．10x－2y＋10z＋37＝0
A [由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A．]
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(k,1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是( )
A．－6 B．－eq \f(2,3) C．eq \f(2,3) D．14
C [由题意得a＋2b＝(2＋2k,5)，且a－b＝(2－k,2)，又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝eq \f(2,3)．]
4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为eq \f(8,9)，则λ＝( )
A．2 B．－2
C．－2或eq \f(2,55) D．2或－eq \f(2,55)
C [由cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2－λ＋4,\r(5＋λ2)·\r(9))＝eq \f(8,9)，
解得λ＝－2或λ＝eq \f(2,55)．]
5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为( )
A．3eq \r(3) B．3eq \r(6) C．2eq \r(3) D．2eq \r(6)
B [|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(2a－12＋－7－a2＋－2＋52)
＝eq \r(5a2＋10a＋59)
＝eq \r(5a＋12＋54)，
当a＝－1时，|eq \(AB,\s\up7(→))|min＝eq \r(54)＝3eq \r(6)．]
二、填空题
6．已知a＝(1，x,3)，b＝(－2,4，y)，若a∥b，则x－y＝________．
4 [∵a∥b，∴b＝λa．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－2，,xλ＝4，,3λ＝y，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－2，,x＝－2，,y＝－6.))
∴x－y＝4．]
7．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________．
eq \f(2π,3) [(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝－10，
又a·c＝4，∴b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12，
∴cs〈b，c〉＝eq \f(b·c,|b|·|c|)＝－eq \f(1,2)，
∵〈b，c〉∈[0，π]，∴〈b，c〉＝eq \f(2π,3)．]
8．在空间直角坐标系中，以O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．
6＋2eq \r(3) [S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝eq \f(1,2)×2×2＝2，
S△ABC＝eq \f(\r(3),4)×|AB|2＝eq \f(\r(3),4)×8＝2eq \r(3)，
故三棱锥的表面积S＝6＋2eq \r(3)．]
三、解答题
9．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，eq \(OA,\s\up7(→))＋λeq \(OB,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))的夹角为120°，求λ的值．
[解] ∵eq \(OA,\s\up7(→))＝(1,0,0)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(0，－1,1)，
∴eq \(OA,\s\up7(→))＋λeq \(OB,\s\up7(→))＝(1，－λ，λ)，
∴(eq \(OA,\s\up7(→))＋λeq \(OB,\s\up7(→)))·eq \(OB,\s\up7(→))＝λ＋λ＝2λ，
又|eq \(OA,\s\up7(→))＋λeq \(OB,\s\up7(→))|＝eq \r(1＋λ2＋λ2)＝eq \r(1＋2λ2)，
|eq \(OB,\s\up7(→))|＝eq \r(2)．
∴cs 120°＝eq \f(2λ,\r(2)·\r(1＋2λ2))＝－eq \f(1,2)，
∴λ2＝eq \f(1,6)，又eq \f(2λ,\r(2)·\r(1＋2λ2))＜0，即λ＜0，∴λ＝－eq \f(\r(6),6)．
10．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x，y的值．
(2)求与向量(－3，－4,5)共线的单位向量．
[解] (1)因为a∥b，所以存在实数λ，使a＝λb，
所以(2,4,5)＝λ(3，x，y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝3λ，,4＝λx，,5＝λy，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)，,x＝6，,y＝\f(15,2).))
(2)向量(－3，－4,5)的模为eq \r(－32＋－42＋52)＝5eq \r(2)，
所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为±eq \f(1,5\r(2))·(－3，－4,5)＝±eq \f(\r(2),10)(－3，－4,5)，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))．
11．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C [eq \(AB,\s\up7(→))＝(3,4，－8)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(5,1，－7)，
eq \(BC,\s\up7(→))＝(2，－3,1)，
∴|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(32＋42＋82)＝eq \r(89)，
|eq \(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(52＋12＋72)＝eq \r(75)，
|eq \(BC,\s\up7(→))|＝eq \r(22＋32＋12)＝eq \r(14)，
∴|eq \(AC,\s\up7(→))|2＋|eq \(BC,\s\up7(→))|2＝75＋14＝89＝|eq \(AB,\s\up7(→))|2．
∴△ABC为直角三角形．]
12．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq \r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
C [a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝eq \r(12＋22＋32)＝eq \r(14)，所以cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝－eq \f(1,2)，〈a，c〉＝120°．]
13．(一题两空)已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0，0,0)，点Q在直线OP上运动，eq \(QA,\s\up7(→))·eq \(QB,\s\up7(→))的最小值为________，此时点Q的坐标为________．
－eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))) [设eq \(OQ,\s\up7(→))＝λeq \(OP,\s\up7(→))＝(λ，λ，2λ)，
故Q(λ，λ，2λ)，
∴eq \(QA,\s\up7(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq \(QB,\s\up7(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
∴eq \(QA,\s\up7(→))·eq \(QB,\s\up7(→))＝6λ2－16λ＋10＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(4,3)))eq \s\up12(2)－eq \f(2,3)，
∴eq \(QA,\s\up7(→))·eq \(QB,\s\up7(→))的最小值为－eq \f(2,3)，此时λ＝eq \f(4,3)，Q点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))．]
14．若eq \(AB,\s\up7(→))＝(－4,6，－1)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥eq \(AB,\s\up7(→))，a⊥eq \(AC,\s\up7(→))，则a＝________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,13)，\f(4,13)，\f(12,13)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,13)，－\f(4,13)，－\f(12,13))) [设a＝(x，y，z)，由题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·\(AB,\s\up7(→))＝0，,a·\(AC,\s\up7(→))＝0，,|a|＝1，))代入坐标可解得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,13)，,y＝\f(4,13)，,z＝\f(12,13)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(3,13)，,y＝－\f(4,13)，,z＝－\f(12,13).))]
15．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？
[解] 以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(eq \r(3)，1,0)，B1(eq \r(3)，1,2)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0))．
又点N在CC1上，
可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，
则eq \(AB1,\s\up7(→))＝(eq \r(3)，1,2)，eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，m))，
所以|eq \(AB1,\s\up7(→))|＝2eq \r(2)，|eq \(MN,\s\up7(→))|＝eq \r(m2＋1)，eq \(AB1,\s\up7(→))·eq \(MN,\s\up7(→))＝2m－1．
如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°，那么向量eq \(AB1,\s\up7(→))和eq \(MN,\s\up7(→))的夹角等于45°或135°．
又cs〈eq \(AB1,\s\up7(→))，eq \(MN,\s\up7(→))〉＝eq \f(\(AB1,\s\up7(→))·\(MN,\s\up7(→)),|\(AB1,\s\up7(→))||\(MN,\s\up7(→))|)＝eq \f(2m－1,2\r(2)×\r(m2＋1))．
所以eq \f(2m－1,2\r(2)×\r(m2＋1))＝±eq \f(\r(2),2)，解得m＝－eq \f(3,4)，这与0≤m≤2矛盾．
所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°．