高中人教B版 (2019)1.2.5 空间中的距离当堂达标检测题

这是一份高中人教B版 (2019)1.2.5 空间中的距离当堂达标检测题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为( )
A．eq \r(2) B．2eq \r(11) C．3eq \r(2) D．4eq \r(2)
B [过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′(图略)，则|eq \(AA′,\s\up7(→))|＝3，|eq \(BB′,\s\up7(→))|＝2，|eq \(A′B′,\s\up7(→))|＝5．又eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(AA′,\s\up7(→))＋eq \(A′B′,\s\up7(→))＋eq \(B′B,\s\up7(→))，所以|eq \(AB,\s\up7(→))|2＝32＋52＋22＋2×3×2×eq \f(1,2)＝44，即|eq \(AB,\s\up7(→))|＝2eq \r(11)．]
2．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为( )
A．eq \f(3\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(10),2) D．eq \r(2)
A [eq \(PA,\s\up7(→))＝(－2,0，－1)，|eq \(PA,\s\up7(→))|＝eq \r(5)，eq \f(|\(PA,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(2),2)，则点P到直线l的距离d＝eq \r(\(|\(PA,\s\up7(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(PA,\s\up7(→))·n,|n|)))eq \s\up12(2)))＝eq \r(5－\f(1,2))＝eq \f(3\r(2),2)．]
3．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为( )
A．1 B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,3) D．eq \r(2)
B [建立如图所示的坐标系A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,4,0)，E(2,2,0)，则eq \(AD1,\s\up7(→))＝(－2,0,2)，eq \(CD1,\s\up7(→))＝(0，－4,2)，eq \(ED1,\s\up7(→))＝(－2，－2,2)．
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AD1,\s\up7(→))＝0，,n·\(CD1,\s\up7(→))＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋2z＝0，,－4y＋2z＝0.))
令y＝1，则z＝2，x＝2，
∴n＝(2,1,2)，∴d＝eq \f(|\(ED1,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq \f(|2|,\r(12＋22＋22))＝eq \f(2,3)．]
4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A．eq \r(2)a B．eq \r(3)a C．eq \f(\r(2),3)a D．eq \f(\r(3),3)a
D [由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两
平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，eq \(CA1,\s\up7(→))＝(a，－a，a)，eq \(BA,\s\up7(→))＝(0，－a,0)，连接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，则两平面间的距离d＝eq \f(|\(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq \f(a,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)a．]
5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点E、F分别在A1B、B1D1上，且A1E＝eq \f(1,3)A1B，B1F＝eq \f(1,3)B1D1，则EF与平面ABC1D1的距离为( )
A．eq \f(\r(3),2)a B．eq \f(\r(2),3)a
C．eq \f(\r(3),6)a D．eq \f(\r(2),6)a
B [如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，易得
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a，0，\f(2,3)a))，
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a，\f(1,3)a，a))，
故eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)a，\f(1,3)a，\f(1,3)a))，
eq \(BA,\s\up7(→))＝(a,0,0)，eq \(BC1,\s\up7(→))＝(0，a，a)．
设n＝(x，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BA,\s\up7(→))＝0，,n·\(BC1,\s\up7(→))＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＝0，,ay＋az＝0，))
令z＝1，得n＝(0，－1,1)．
∵eq \(EF,\s\up7(→))·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)a，\f(1,3)a，\f(1,3)a))·(0，－1,1)＝0，
∴eq \(EF,\s\up7(→))⊥n，故EF∥平面ABC1D1．
又eq \(BE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a，0，\f(2,3)a))，
∴eq \(BE,\s\up7(→))·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a，0，\f(2,3)a))·(0，－1,1)＝eq \f(2,3)a，
∴d＝eq \f(|\(BE,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(2),3)a．]
二、填空题
6．已知平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．
2eq \r(6) [设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b，eq \(AA1,\s\up7(→))＝c，易得eq \(AC1,\s\up7(→))＝a＋b＋c，则|eq \(AC1,\s\up7(→))|2＝eq \(AC1,\s\up7(→))·eq \(AC1,\s\up7(→))＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以|eq \(AC1,\s\up7(→))|＝2eq \r(6)．]
7．已知棱长为1的正方体ABCD­EFGH，若点P在正方体内部且满足eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up7(→))，则点P到AB的距离为________．
eq \f(5,6) [建立如图所示的空间直角坐标系，则eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)(1,0,0)＋eq \f(1,2)(0,1,0)＋eq \f(2,3)(0,0,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3)))．
eq \(AB,\s\up7(→))＝(1,0,0)，eq \(AP,\s\up7(→))·eq \f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)＝eq \f(3,4)，
所以P点到AB的距离为d＝eq \r(|\(AP,\s\up7(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up7(→))·\f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)))2)＝eq \r(\f(181,144)－\f(9,16))＝eq \f(5,6)．]
8．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
eq \f(\r(21),7) [建立如图所示的空间直角坐标系，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，B(0,1,0)，B1(0，1,1)，C1(0,0,1)，则eq \(C1A,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－1))，eq \(C1B1,\s\up7(→))＝(0,1,0)，eq \(C1B,\s\up7(→))＝(0,1，－1)．
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(C1A,\s\up7(→))·n＝\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y－1＝0，,\(C1B,\s\up7(→))·n＝y－1＝0，))
解得n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1，1))，则所求距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(C1B1,\s\up7(→))·n,|n|)))＝eq \f(1,\r(\f(1,3)＋1＋1))＝eq \f(\r(21),7)．]
三、解答题
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝eq \f(1,2)AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D．
(1)求BP的长；
(2)求点P到平面EC1D的距离．
[解] (1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
B(1,0,1)，D(0,2,1)，F(1，1,1)，E(0,1,0)，C1(1,2,0)，
设P(a，b,1)，eq \(BP,\s\up7(→))＝λeq \(BD,\s\up7(→))，λ∈[0,1]，eq \(ED,\s\up7(→))＝(0,1,1)，eq \(EC1,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq \(BD,\s\up7(→))＝(－1,2,0)，
则eq \(BP,\s\up7(→))＝(a－1，b,0)＝(－λ，2λ，0)，
∴P(1－λ，2λ，1)，eq \(PF,\s\up7(→))＝(λ，1－2λ，0)，
设平面DEC1的法向量n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(ED,\s\up7(→))＝y＋z＝0，,n·\(EC1,\s\up7(→))＝x＋y＝0，))取x＝1，得n＝(1，－1,1)，
∵PF∥平面EC1D，
∴eq \(PF,\s\up7(→))·n＝λ－1＋2λ＝0，
解得λ＝eq \f(1,3)，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，1))，
∴BP的长|eq \(BP,\s\up7(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)－1))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＋1－12)＝eq \f(\r(5),3)．
(2)由(1)得平面DEC1的法向量n＝(1，－1,1)，eq \(EP,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(1,3)，1))，
∴点P到平面EC1D的距离：
d＝eq \f(|\(EP,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)．
10．已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上且不与点A，B重合，直线MF与由A，D，E三点所确定的平面相交，交点为O．
(1)若M为AB的中点，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
(2)若CE⊥MF，求AM的长度，并求此时点O到平面CDEF的距离．
[解] (1)延长FM交EA的延长线于O，
∵M为AB中点，AE∥BF，∴M为OF中点，
又AB∥EF，∴A为OE中点，
连接DF交CE于N，则DO∥MN，
又DO⊄平面EMC，MN⊂平面EMC，
∴DO∥平面EMC．
(2)取AE中点H，
由题意可知，EF⊥平面DEA，EF⊥平面CFB，
∴∠DEA＝∠CFB＝60°，
∴△DEA与△CFB是全等的正三角形，
以H为原点建立空间坐标系如图，
设AM＝t，则D(0,0，eq \r(3))，M(1，t,0)，E(－1，0,0)，C(0,4，eq \r(3))，F(－1,4,0)，
∴eq \(CE,\s\up7(→))＝(－1，－4，－eq \r(3))，eq \(MF,\s\up7(→))＝(－2,4－t,0)，
∵CE⊥MF，∴eq \(CE,\s\up7(→))·eq \(MF,\s\up7(→))＝2－16＋4t＝0，
解得t＝eq \f(7,2)
∴AM的长度为eq \f(7,2)．
过O作OT⊥DE于T，则由EF⊥平面DEA，得OT⊥平面CDEF，即OT为点O到平面CDEF的距离．
∵eq \f(OA,OE)＝eq \f(AM,EF)，∴eq \f(OA,OA＋2)＝eq \f(\f(7,2),4)，
∴OA＝14，OE＝16，
∴OT＝OEsineq \f( π,3)＝16×eq \f(\r(3),2)＝8eq \r(3)．
∴点O到平面CDEF的距离为8eq \r(3)．
11．如图所示，在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )
A．eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(5),3)
C [建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)．
根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，
则PQ＝eq \r(1－μ2＋μ－λ2＋4λ2)
＝eq \r(2μ2＋5λ2－2λμ－2μ＋1)
＝eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,5)μ))eq \s\up12(2)＋\f(9,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μ－\f(5,9)))eq \s\up12(2)＋\f(4,9))，当且仅当λ＝eq \f(1,9)，μ＝eq \f(5,9)时，线段PQ的长度取得最小值eq \f(2,3)．]
12．(多选题)如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF⊥平面B1DF，则AF的长度为( )
A．a B．eq \r(3)a
C．2a D．2eq \r(3)a
AC [∵CF⊥平面B1DF，∴CF⊥DF．
在矩形ACC1A1中，设AF＝m．
CD2＝DF2＋CF2＝CCeq \\al(2,1)＋DCeq \\al(2,1)＝10a2，①
CF2＝4a2＋m2，DF2＝(3a－m)2＋a2，②
联立①②得m＝a或m＝2a，则AF的长度为a或2a．]
13．(一题两空)如图所示，在已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝eq \r(3)，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离为________，二面角A­BE­C的余弦值为________．
eq \r(2) eq \f(\r(6),4) [如图，以D为原点，eq \(DA,\s\up7(→))、eq \(DC,\s\up7(→))、eq \(DD1,\s\up7(→))分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，eq \r(3)，1)，
过C作AB的垂线交AB于F，易得BF＝eq \r(3)，∴B(1,2eq \r(3)，0)，
∴eq \(AB,\s\up7(→))＝(0,2eq \r(3)，0)，eq \(BE,\s\up7(→))＝(－1，－eq \r(3)，1)．
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\(BE,\s\up7(→))＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2\r(3)y＝0，,－x－\r(3)y＋z＝0，))
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)．
∵eq \(AA1,\s\up7(→))＝(0,0,2)，
∴AB1到平面ABE的距离d＝eq \f(|\(AA1,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)．
又B1(1,2eq \r(3)，2)，∴eq \(BB1,\s\up7(→))＝(0,0,2)，eq \(CB,\s\up7(→))＝(1，eq \r(3)，0)．
设平面BCE的一个法向量为n＝(x′，y′，z′)易得x′＝－eq \r(3)y′，z′＝0，取n′＝(eq \r(3)，－1,0)，n′与n所成的角为θ，
则cs θ＝eq \f(|n·n′|,|n|·|n′|)＝eq \f(\r(3),\r(2)×2)＝eq \f(\r(6),4)．]
14．如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
eq \r(2) [由已知，得AB，AD，AP两两垂直．∴以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，eq \(PB,\s\up7(→))＝(2,0，－2)，eq \(BC,\s\up7(→))＝(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(PB,\s\up7(→))＝0，,n·\(BC,\s\up7(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－2c＝0，,2b＝0，))
∴取n＝(1,0,1)．
又eq \(AB,\s\up7(→))＝(2,0,0)，AD∥平面PBC，
∴所求距离为eq \f(|\(AB,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq \r(2)．]
15．如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离．
[解] 法一：证明：(1)连接B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，
∴ME∥B1C，且ME＝eq \f(1,2)B1C．
又N为A1D的中点，
∴ND＝eq \f(1,2)A1D，
由题设知A1B1DC，
∴B1CA1D，∴MEND，
∴四边形MNDE是平行四边形，所以MN∥ED，
又MN⊄平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE．
(2)过C作C1E的垂线，垂足为H，
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，
∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，
∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，
由已知可得CE＝1，CC1＝4，
∴C1E＝eq \r(17)，故CH＝eq \f(4\r(17),17)，
∴点C到平面C1DE的距离为eq \f(4\r(17),17)．
法二：证明：(1)∵直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，
E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，
以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，
DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
M(1，eq \r(3)，2)，N(1,0,2)，D(0,0,0)，E(0，eq \r(3)，0)，C1(－1，eq \r(3)，4)，eq \(MN,\s\up7(→))＝(0，－eq \r(3)，0)，eq \(DC1,\s\up7(→))＝(－1，eq \r(3)，4)，eq \(DE,\s\up7(→))＝(0，eq \r(3)，0)，
设平面C1DE的法向量n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DC1,\s\up7(→))＝－x＋\r(3)y＋4z＝0，,n·\(DE,\s\up7(→))＝\r(3)y＝0，))
取z＝1，得n＝(4,0,1)，
∵eq \(MN,\s\up7(→))·n＝0，MN⊄平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE．
(2)C(－1，eq \r(3)，0)，eq \(DC,\s\up7(→))＝(－1，eq \r(3)，0)，
平面C1DE的法向量n＝(4,0,1)，
∴点C到平面C1DE的距离
d＝eq \f(|\(DC,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq \f(4,\r(17))＝eq \f(4\r(17),17)．