2022年九年级中考复习之二次函数压轴之定值问题、定点问题

二次函数压轴之定值、定点问题

1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，为定值，请直接写出该定值．

2．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．

（1）求抛物线解析式；

（2）过点T（t，﹣1）的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．

3.如图1，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴的负半轴交于点C．

（1）求这个函数的解析式；

（2）如图2，点T是抛物线上一点，且点T与点C关于抛物线的对称轴对称，过点T的直线TS与抛物线有唯一的公共点，直线MN∥TS交抛物线于M，N两点，连AM交y轴正半轴于G，连AN交y轴负半轴于H，求OH﹣OG

4．如图1，已知抛物线的解析式为，直线y＝kx﹣4k与x轴交于M，与抛物线相交于点A，B（A在B的左侧）．

（1）当k＝1时，直接写出A，B，M三点的横坐标：xA＝　   　，xB＝　   　，xM＝　   　；

（2）作AP⊥x轴于P，BQ⊥x轴于Q，当k变化时，MP•MQ的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；

5．如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．

（1）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；

（2）如图2，AC与BE交于点F．请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；

6.已知顶点为A的抛物线y＝a（x﹣2）2（a≠0）交y轴于点B（0，2），且与直线l交于不同的两点M、N（M、N不与点A重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若∠MAN＝90°，试说明：直线l必过定点；

7.如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）过定点Q（1，3）的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数的图象相交于M，N两点．证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．

8.已知，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P是抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

9.已知点P（0，﹣4）为平面直角坐标系内一点，直线l绕原点O旋转，交经过点（0，﹣2）的抛物线y＝x2+c于M、N两点．

（1）请求出该抛物线的解析式；

（2）在直线l绕原点O旋转的过程中，请你研究一下（PM+MO）（PN﹣NO）是否定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

10.如图，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C,A（﹣2，0），B（0，2）；

(1)求抛物线的解析式；

(2)在（1）的条件下，设对称轴直线x＝﹣与x轴交于M，点P为抛物线上对称轴左侧一点，直线PM交抛物线于另一点Q，点P关于抛物线对称轴对称点H，直线HQ交抛物线对称轴于G点，在点P运动过程中GM长是否为一定值，若为定值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围．

11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D为（1，﹣1），且经过点B（3，3）．

（1）求这个抛物线相应的函数表达式；

（2）如图1，过点D且平行于x轴的直线l，与直线OB相交于点A，过点B作直线l的垂线，垂足为C．若点Q是抛物线上BD之间的动点（不与B、D重合），连接DQ并延长交BC于点E．如图2，连接BQ并延长交CD于点F，在点Q运动的过程中，FC（AC+EC）的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．

12.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与坐标轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0）和点C．

（1）求出a与c的数量关系式；

（2）如图，若抛物线y=-x2-2x+3与直线y＝（2k1﹣2）x交于E，F两点，与直线y＝（2k2﹣2）x交于M，N两点，且k1k2＝﹣1，点P，Q分别是EF、MN的中点，求证：直线PQ必定经过一个定点，并求出该定点坐标．

13.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过点（4，5）．

（1）若a+b＝﹣3，求抛物线y＝ax2+bx+5的解析式；

（2）在（1）的条件下，经过点A(2,)的任意直线y＝mx+n（m≠0）与（1）中的抛物线交于B，C两点，那么的值是定值吗？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由．

14.如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝OC，其对称轴为直线x＝1．

（1）直接写出抛物线C的解析式；

（2）如图2，将抛物线C平移得到抛物线C1，使C1的顶点在原点，过点P（t，﹣1）的两条直线PM，PN，它们与y轴不平行，都与抛物线C1只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线MN必过定点．

参考答案

1.解：(1)OB=OC,C(0,c)则B(-c,0)，代入抛物线解析式得c2-bc+c=0，c-b+1=0，即当x=-1时，y=1-b+c=0，故抛物线过点(-1，0)，故A(-1，0)，B(3，0)，C(0,-3)抛物线的解析式为y=x2-2x-3

(2)过点M作MG||x轴交AC于点G，作FP||x轴交AM于点P，作CQ||x轴，易知COA~CMG，ACQ~AGM，，即得，而AM平分∠BAC，故AC=CQ，故；同时，即可得，OA=1，AC=，故

2.   解：(1)y=-x2-3x+4

(2)  存在t的值使得OP与OQ的积为定值,t=-4

设E(m,-m2-3m+4)，F(n,-n2-3n+4)，设BE的解析式为y=k(x-1)，将E点坐标代入得k=-m-4，同理k=-n-4,则OP=m+4，OQ=-n-4，故OP∙OQ=(m+4)(-n-4)=-mn-4(m+n)-16，直线CE的解析式为y=k1(x-t)-1，与抛物线y=-x2-3x+4联立得x2+(k1+3)x-k1t-5=0，m+n=-k1-3,mn=-k1t-5,OP∙OQ=k1t+4k1+1=4k1(t+4)+1，当t=-4时，OP∙OQ为定值，故当t=-4时,OP∙OQ=1

3.   解：(1)y=x2-2x-3

(3)  易知T(2，-3),设直线TS的解析式为y=m(x-2)-3，与抛物线y=x2-2x-3联立得x2-(m+2)x+2m=0，有两个相等实根，m2+4m+4-8m=0，故m=2，即TS解析式为y=2x-7,设MN的解析式为y=2x+h,与抛物线联立得x1=2-，x2=2+故M(2+，4+h+2)，N(2-，4+h-2)，直线AM解析式为y1=k1x+b1，得b1=，OG=，同理可得OH=，OH-OG=2

4.   解：(1)-3-2，-3+2,4；

(2)  MP∙MQ的值不变.

y=与y=kx-4k联立得x2+6kx+9-24k=0,xA+xB=6k，xA∙xB=9-24k,M(4，0)，MP∙MQ=(4-xP)(4-xQ)=16-4(xA+xB)+xAxB=16+24k+9-24k=25

5.   解：(1)易得抛物线的解析式为y=x2-x，圆的直径为BE，故∠BDE=90°，且∠BED=∠BAD=45°，作MN⟂OA交BC、OA于点M、N，易知BDMDEN，设DM=NE=m，则CM=ON=m，而OE=2，故m=1，此时D(1，3)

(2)不变，CF∙AD=16，∠DBF=∠BAD=45°，故ADB~CBF，故CF∙AD=AB∙CB=16

6.   解：(1)y=(x-2)2

(2)设直线MN的解析式为y=kx+b，与抛物线联立得x2-(4+2k)x+4-2b=0，xM+xN=4+2k,xM∙xN=4-2b，作ME、NF垂直于x轴，易知AME~NAF，，即有AE∙AF=ME∙NF，ME=kx1+b，NF=kx2+b，AE=2-x1,AF=x2-2，(2-x1)(x2-2)=(kx1+b)(kx2+b)，即有4+2(x1+x2)-x1x2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2，整理得2k+b=0或2k+b-2=0,即当x=2时，y=2,所以直线l必过定点(2,2)

7.   解：(1)y=-x2+2x+3，P(1,4)

(2)联立y=kx-k+3和抛物线y=-x2+2x+3得x2+(k-2)x-k=0,x1+x2=k-2,x1x2=-k,过点M、N作对称轴的垂线ME、NF，tan∠PME==，同理tan∠PFN=，(1-x)(x2-1)=1，故tan∠PME=tan∠FPN,∠PME=∠FPN，故∠MPN=90°，所以无论k为何值，PMN恒为直角三角形.

8.   解:(1)y=-x2+2x+3

(2)的值为定值，设P(t,-t2+2t+3)，直线AP的解析式为y=(3-t)x+3-t，直线BP的解析式为y=(-t-1)x+3t+3,故CE=-t，CF=-3t，故=

9.(1)y=

(2)(PM+MO)(PN-ON)为定值，设直线l的解析式为y=kx，与抛物线联立得x2-4kx-8=0，设M(x1，y1)，N(x2,y2)则有x1x2=-8，PM=，PN=，y1=kx1，

故PM=|x1|，OM=|x1|，同理PN=|x2|,ON=|x2|，故(PM+MO)(PN-ON)=(+|x1|)(|x2|-|x2|)=16，故(PM+MO)(PN-ON)为定值16.

10.解：(1)y=-x2-x+2

(2)连接MH，易知AMP=CMH，设PQ的解析式为y=kx+b1，MH的解析式为y=-kx+b2,分别代入(-，0)得b1=k，b2=k，故PM的解析式为y=kx+k，MH的解析式为y=-kx-k

与抛物线联立得x=,所以Q(,),同理可得H(,)，易知QH的解析式为y=-x+当x=-时，y=，所以G(-,)，所以点P运动过程中GM长为定值

11. 解：(1)y=x2-2x

(2)FC(AC+EC)为定值，设Q(m,m2-2m)，易得BF的解析式为y=(m-1)x-3m，故点F(，-1)，D(1，-1)，DE的解析式为y=(m-1)x-m，E(3，2m-3)，FC=3-=，AC+EC=4+2m-3+1=2m+2，所以FC(AC+EC)=(2m+2)=8

12. 解：(1)c=-3a

(2)联立y=-x2-2x+3与y＝(2k1﹣2)x得x2+2k1x-3=0所以x1+x2=-2k1，y1+y2=-4k12+4k1，故P(-k1，-2k12+2k1)，同理可得Q(-k2，-2k22+2k2)，设直线PQ的解析式为y=kx+b,将P、Q两点代入得y=(2k1+2k2-2)x-2,所以直线PQ过定点(0,-2)

13. 解：(1)y=x2-4x+5

(3)      将坐标系向右平移2个单位，向上平移1个单位，此时抛物线的解析式为y=x2，点A(0，),设B(m,m2),C(n,n2)，则AB=m2+,AC=n2+，故=，同时BC的解析式y=kx+，与抛物线联立得x2-kx-=0，m+n=k,mn=-，故4

14.   解：(1)y=x2-2x-3

(2)      平移后的抛物线的解析式为y=x2,设M(m,m2),N(n,n2)，直线PM的解析式设为y=k1(x-m)+m2，PN的解析式为y=k2(x-n)+n2，与抛物线联立得x2-k1x+k1m-m2=0，此时=0，即有k1=2m，PM的解析式为y=2m(x-m)+m2=2mx-m2同理可得PN的解析式为y=2n(x-n)+n2=2nx-n2，可得P(，mn),mn=-1,MN的解析式为y=(m+n)x+1,故MN过定点(0，1)