数学八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形集体备课ppt课件

这是一份数学八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形集体备课ppt课件，共49页。PPT课件主要包含了合作探究，特殊性质如下表，2BC的长，2PAPQ，新知二矩形的判定，有三个直角，有一个直角，对角线相等，对角线互相平分且相等，巩固新知等内容，欢迎下载使用。

新知一 矩形的定义及其性质
1. 定义　有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形也叫长方形.
特别提醒：(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；(2)利用矩形的性质可以证明线段相等或倍分关系、直线平行、角相等等；(3)矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成四个面积相等的等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常转化成直角三角形或等腰三角形来解决.
特别提醒：由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.矩形的定义可以作为判定一个平行四边形是矩形的一种方法.
如图，在矩形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，∠ BOC ＝ 120°，AB ＝ 6，求：(1)对角线的长；
(3)矩形ABCD 的面积．
如图 所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE ⊥ BD 于点E，∠DAE∶∠ BAE=3 ∶ 1，求∠ BAO 和∠ EAO 的度数.
思路点拨：由∠ DAE 与∠ BAE之和为矩形的一个内角及两角之比即可求出∠ DAE 和∠ BAE 的度数，从而得出∠ ABE 的度数，由矩形的性质易得∠BAO=∠ABE，即可求出∠ BAO 的度数，再由∠ EAO= ∠ BAO- ∠ BAE可得∠ EAO 的度数.
如图，已知四边形ABCD 是矩形，△ PBC 和△ QCD都是等边三角形，且点P 在矩形的上方，点Q 在矩形内. 连接PA、PQ.求证：(1)∠ PBA= ∠ PCQ=30°；
证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ ABC= ∠ BCD=90° .∵△ PBC 和△ QCD 都是等边三角形，∴∠ PBC= ∠ PCB= ∠ QCD=60° .∴∠ PBA= ∠ ABC- ∠ PBC=30°，∠ PCD= ∠ BCD- ∠ PCB=30° .∴∠ PCQ= ∠ QCD- ∠ PCD=30° . ∴∠ PBA= ∠ PCQ=30° .
证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴ AB=DC.∵△ PBC 和△ QCD 都是等边三角形，∴ PB=PC，QC=DC=AB.又由(1)知∠ PBA= ∠ PCQ，∴△ PAB ≌△ PQC. ∴ PA=PQ.
思路点拨：(1)矩形的四个内角都等于90°.利用△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠ PBA和∠PCQ的度数，从而得证；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△ PAB ≌△ PQC，从而证得PA=PQ.
2. 易错警示(1)用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角，二是四边形是平行四边形. 也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形；(2)用“对角线相等的平行四边形是矩形”判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，二是四边形是平行四边形. 也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形.
特别解读：1.矩形的判定和性质互为逆定理.2. 矩形判定的常见思路.(1)从角的角度证明：①四边形 矩形；②平行四边形 矩形；(2)从对角线的角度证明：①平行四边形 矩形；②四边形 矩形.
[ 2021·南通] 如图，在平行四边形ABCD 中，E、F为BC 上两点，且BE ＝ CF，AF ＝ DE，求证：(1)△ ABF ≌△ DCE；
证明：∵ BE ＝ CF，BF ＝ BE+EF，CE ＝ CF+EF，∴ BF＝CE．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB＝DC．在△ ABF 和△ DCE 中，AB=DC，BF=CE，AF=DE，∴△ ABF ≌△ DCE．
(2)四边形ABCD 是矩形．
证明：∵△ ABF ≌△ DCE，∴∠ B ＝∠ C．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD．∴∠ B+ ∠ C ＝ 180°．∴∠ B ＝∠ C ＝ 90°．∴ ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
[ 2020·苏州] 如图， 在四边形ABCD 中，AD ∥ BC，AB ∥ DE，AF ∥ DC，E、F 两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．(1)AD 与BC 有何等量关系？请说明理由；
解：BC ＝ 3AD．理由如下：∵ AD ∥ BC，AB ∥ DE，AF ∥ DC，∴四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形．∴ AD ＝ BE，AD ＝ FC.又∵四边形AEFD 是平行四边形，∴ AD ＝ EF．∴ AD ＝ BE ＝ EF ＝ FC．∴ BC ＝ 3AD．
(2)当AB ＝ DC 时，求证： AEFD 是矩形．
证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴ DE ＝ AB，AF ＝ DC．又∵ AB ＝ DC，∴ DE ＝ AF．又∵四边形AEFD 是平行四边形，∴ AEFD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
[ 2020·南昌] 如图，在△ ABC 中，AB ＝ AC，AE ⊥ BC，AD 平分∠ FAC，CD ⊥ AD 于点D．求证：四边形AECD 是矩形．
新知三 两条平行线之间的距离
1. 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
三种距离之间的区别与联系
特别提醒：1. 距离是指垂线段的长度，它是正值.2. 当两条平行线确定后，它们之间的距离是一个定值.3. 平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.4. 任何两条平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是两条平行线间最短线段的长度.
2. 性质 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.数学表达式：如图，A、C 是l1上任意两点.∵ l1∥ l2，AB ⊥ l2，CD ⊥ l2，∴ AB=CD.
3. 拓展(1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等；(2)等底等高的平行四边形(包括矩形等)的面积相等；(3) 平行四边形(包括矩形等)的面积= 底× 高=ah(其中a 是平行四边形的任意一条边长，h 必须是这条边与它的对边之间的距离）. 如图 所示， 在 ABCD 中，AE ⊥ BC 于点E，CF ⊥ AB 于点F， 则S ABCD=BC·AE=AB·CF.
如图，已知直线a ∥ b，点C、D 在直线a 上，点A、B 在直线b 上，线段BC、AD 相交于点E，若△ ABC 的面积为20，AB ＝ 5，CD ＝ 2，则△ ACD 的面积为______．
如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　)A．AB＝CD B．AD＝BC C．∠AOB＝45° D．∠ABC＝90°
【2021·连云港】如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D1，C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于(　　)A．128° B．130° C．132° D．136°
如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF.若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为(　　)A．30° B．45° C．60° D．不能确定
【中考·怀化】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为(　　)A．4 B．6 C．8 D．10
【2021·株洲】如图，线段BC为等腰三角形ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝________．
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝________．
如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证DF＝AB；
证明：在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF.∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°.∴∠DFA＝∠B.又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB(AAS)．∴DF＝AB.
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的长．
解：易知∠DAF＋∠FDA＝90°，∠FDC＋∠FDA＝90°，∴∠DAF＝∠FDC＝30°.∴AD＝2DF.又∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝2×4＝8.
已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F.求证：AE＝BF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F，∴∠AEO＝∠BFO＝90°，又∵∠AOE＝∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE＝BF.
已知在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.(1)如图①，求证：AE＝CF；
解：△ABE，△CDF，△BCE，△ADF.