人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质课时训练

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质课时训练，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
2．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
3．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为eq \f(4,5)，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 ( )
A．9 B．1
C．1或9 D．以上都不对
4．曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
二、填空题
5．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于________．
6．若椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点P(0，eq \r(3))，且椭圆的长轴长是焦距的2倍，则a＝________.
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
三、解答题
8.
如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
9．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝eq \f(1,3)，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的标准方程．
[尖子生题库]
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
课时作业(二十) 椭圆的几何性质
1．解析：c＝1，由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)得a＝2，由b2＝a2－c2得b2＝3.所以椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
答案：D
2．解析：a2＝16，b2＝8，c2＝8.从而e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案：D
3．解析：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,\f(c,a)＝\f(4,5)，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝3，,c＝4.))
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1.
答案：C
4．解析：曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为eq \f(4,5)，焦距为8.曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9)的焦点在x轴上，长轴长为2eq \r(25－k)，短轴长为2eq \r(9－k)，离心率为eq \f(4,\r(25－k))，焦距为8.则C正确．
答案：C
5．解析：由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
答案：3
6．解析：由椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点P(0，eq \r(3))，即b＝eq \r(3).又椭圆的长轴长是焦距的两倍，即2a＝2·2c.∵a＝2c，又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，∴a＝2.
答案：2
7．解析：由eq \(MF1,\s\up12(→))·eq \(MF2,\s\up12(→))＝0得，以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，则a2－c2>c2，所以0答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
8．解析：设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则有F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得y＝±eq \f(b2,a)，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a))).
又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.
所以eq \f(|PF1|,|F1F2|)＝eq \f(|AO|,|OB|)，即eq \f(b2,2ac)＝eq \f(b,a)，所以b＝2c.
则b2＝4c2，即a2－c2＝4c2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,5).
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5).
9．解析：∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，∴a＝3c.
∵b2＝a2－c2，∴b2＝9c2－c2＝8c2.
又点M(c,4)在椭圆上，∴eq \f(c2,9c2)＋eq \f(16,8c2)＝1，
解得c2＝eq \f(9,4)，∴a2＝eq \f(81,4)，b2＝18，
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,\f(81,4))＋eq \f(y2,18)＝1.
10．解析：(1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncs 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．
∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,4)，即e≥eq \f(1,2).
又0(2)证明：由(1)知mn＝eq \f(4,3)b2，
∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)mnsin 60°＝eq \f(\r(3),3)b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．