2021-2022学年湖北省武汉八十一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2021-2022学年湖北省武汉八十一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省武汉八十一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）不透明的袋子中只有3个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是必然事件的是（　　）
A．2个球都是白球 B．2个球都是黑球
C．2个球中有白球 D．2个球中有黑球
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）计算（﹣a3）2的结果是（　　）
A．﹣a5 B．a5 C．a6 D．﹣a6
5．（3分）如图所示几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）两个红球和两个白球，除颜色外无其他差别，随机从中一次抽取两个球，颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣（k是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
8．（3分）甲、乙两人在直线跑道上同起点，同终点，同方向匀速跑200米，先到终点的人原地休息．已知甲先跑8米，乙才出发，在跑步过程中，甲、乙两人的距离s（单位：米）与乙出发的时间t（单位：秒）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　）

A．44 B．46 C．48 D．50
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，直线EF交AO、BO于M、N两点，则S△OMN的值为（　　）

A．10 B．5 C．10 D．5
10．（3分）方程x2+2x﹣1＝0的根可视为直线y＝x+2与双曲线y＝交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围是（　　）
A．0＜x0＜1 B．1＜x0＜2 C．2＜x0＜3 D．3＜x0＜4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算的结果是 　 　．
12．（3分）某校组织党史知识大赛，25名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数是　 　．

13．（3分）方程＝﹣2的解是　 　．
14．（3分）如图，从飞机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，飞机A与楼的水平距离为240m，这栋楼的高度BC是 　 　m（≈1.732，结果取整数）．

15．（3分）下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1的结论：
①该函数图象的对称轴为直线x＝m；
②若函数图象的顶点为M，与x轴交于A、B两点，则S△ABM为定值；
③若P（x1，y1），Q（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＞x2，x1+x2＞2m，则有y1＜y2；
④该函数图象与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，△ABC不可能为直角三角形．
其中正确的结论是 　 　．
16．（3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．
18．（8分）如图，B，E分别是AC，DF上的点，AE∥BF，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．

19．（8分）某校有学生2400人，为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：h）．整理所得数据绘制成不完整的统计图表：
平均每周的课外阅读时间频数分布表
组别
平均每周的课外阅读时间t/h
人数
A
t＜6
16
B
6≤t＜8
a
C
8≤t＜10
b
D
t≥10
8
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 　 　人，a＝　 　；
（2）B组所在扇形的圆心角的大小是 　 　；
（3）请你估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数．

20．（8分）已知在正方形的网格中，点A、B、C都在格点上，仅用无刻度直尺在平面直角坐标系中作图．

（1）如图1，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到BE；
（2）如图1，点N为BC与网格线的交点，在CE上画点M，使MN＝CN；
（3）如图2，在AC画点F，使NF＝CN；
（4）如图3，点H为AC与网格线的交点，在BC画点G，使HG＝AB．

21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC上，CA＝CE，过A、C．E三点作⊙O交AB于F点，AD为⊙O的直径，DE的延长线交AB于M．
（1）求证：AF＝FM；
（2）连CD，若＝＝，求sinB的值．

22．（10分）某产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？
23．（10分）（1）问题背景：如图1，在正方形ABCD中，点P在AC上，PM⊥PB交AD于M，求证：PB＝PM；
（2）问题探究如图2，在矩形ABCD中，BC＝2AB，PM⊥PB交AD于M，求的值；．
（3）延伸拓展如图3，在矩形ABCD中，BC＝nAB，点P在CA的延长线上，连PB，PM⊥PB交直线AD于M，求的值．


24．（12分）已知抛物线y＝x2+mx+n与y轴交于点（0，﹣3），与x轴交于A、B两点，对称轴为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过A的直线y＝x+b交抛物线于另一点M，点P在AM上，PE∥y轴，交抛物线于E，且△PAE是以AE为底的等腰三角形，求E点的横坐标；
（3）如图2，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过点D（0，3）的直线交y＝﹣2x于M点，交抛物线于E、F两点，求﹣的值．



2021-2022学年湖北省武汉八十一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】由相反数的定义可知：﹣2的相反数是2．
【解答】解：实数﹣2的相反数是2，
故选：A．
【点评】本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）不透明的袋子中只有3个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是必然事件的是（　　）
A．2个球都是白球 B．2个球都是黑球
C．2个球中有白球 D．2个球中有黑球
【分析】根据必然事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：袋子中有3个黑球和1个白球，从中随机摸出两个球，根据抽屉原理可知，
这两个球中至少有一个黑球，
因此摸出的两个球中有黑球是必然事件，
故选：D．
【点评】本题考查必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的关键．
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、不是中心对称图形，不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度和原图形完全重合．
4．（3分）计算（﹣a3）2的结果是（　　）
A．﹣a5 B．a5 C．a6 D．﹣a6
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算．
【解答】解：∵（﹣a3）2＝（a3）2，
∴（﹣a3）2＝a6．
故选：C．
【点评】解答此题的关键是注意正确确定幂的符号．
5．（3分）如图所示几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从左面看，一共有三层，底层有2个小正方形，中层和三层的右边各一个小正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
6．（3分）两个红球和两个白球，除颜色外无其他差别，随机从中一次抽取两个球，颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，颜色相同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，颜色相同的结果有4种，
∴颜色相同的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解决本题的关键．
7．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣（k是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）所在的象限，确定y2、y1、y3，大小关系．
【解答】解：∵﹣（k2+1）＜0，
∴反比例函数y＝﹣（k是常数）的图象位于二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
因此点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）在第二象限，而C（2，y3）在第四象限，
∴0＜y2＜y1，y3＜0，
∴y2＞1＞y3，
故选：B．
【点评】考查反比例函数的图象和性质，当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小的性质，利用图象法比较直观．
8．（3分）甲、乙两人在直线跑道上同起点，同终点，同方向匀速跑200米，先到终点的人原地休息．已知甲先跑8米，乙才出发，在跑步过程中，甲、乙两人的距离s（单位：米）与乙出发的时间t（单位：秒）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　）

A．44 B．46 C．48 D．50
【分析】乙的速度为200÷40＝5（米/秒），由追击问题可以求出甲的速度，即可得出结论．
【解答】解：由题意，得
乙的速度为：200÷40＝5（米/秒），
甲的速度为：（5×8﹣8）÷8＝4（米/秒），
a＝（200﹣8）÷4＝48（秒）．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，速度＝路程÷时间的运用，解答本题时认真分析函数图象的含义是解答本题的关键．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，直线EF交AO、BO于M、N两点，则S△OMN的值为（　　）

A．10 B．5 C．10 D．5
【分析】根据三角形内切圆的性质可得出四边形CEOF是正方形，由勾股定理和切线长定理可求出内切圆的半径，利用正方形的性质可求出△MON的高OG＝，由勾股定理求出EF，由锐角三角函数和勾股定理求出ME、FN，进而求出△MON的底MN，由三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：如图，连接OE，OF，分别过点MN分别作OE、OF的垂线，分别交OE、OF的延长线于点P、Q，
∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，OE＝OF，
∵∠C＝90°，
∴四边形CEOF是正方形，
∴OE＝CE＝CF＝OF，
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，
∴AB＝＝10，
设OE＝r，则AF＝AC﹣CF＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，
由切线长定理可得，
AB＝AF+BE，即8﹣r+6﹣r＝10，
解得r＝2，
即OE＝CE＝CF＝OF＝2，
连接OC交MN于G，则OG⊥EF，OG＝EF＝×2＝，
由题意可得，△FNQ、△EMP都是等腰直角三角形，
∴PE＝PM，QF＝QN，
在Rt△OMP中，设PM＝a，则OP＝2+a，
由＝tan∠POM＝tan∠OAF＝得，
＝，
解得a＝1，
即：PM＝PE＝1，
∴EM＝＝，
同理在Rt△ONQ中，可求FN＝2，
∴MN＝ME+EF+FN＝5，
∴S△MON＝MN•OG
＝×5×
＝5，
故选：B．

【点评】本题考查三角形的内切圆，直角三角形的边角关系，圆周角定理以及切线的性质，掌握切线的性质，直角三角形的边角关系以及圆周角定理是正确解答的前提．
10．（3分）方程x2+2x﹣1＝0的根可视为直线y＝x+2与双曲线y＝交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围是（　　）
A．0＜x0＜1 B．1＜x0＜2 C．2＜x0＜3 D．3＜x0＜4
【分析】首先根据题意推断方程y＝x2+3的实根是函数y＝x2+3与y＝的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点，即可判定推断方程实根x所在范围．
【解答】解：依题意得方程x3+3x﹣2＝0的实根是函数y＝x2+3与y＝的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，

∴它们的交点在第一象限，
当x＝1时，y＝x2+3＝4，y＝＝2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x＝时，y＝x2+3＝3，y＝＝4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x＝时，y＝x2+3＝3，y＝＝6，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
…
∴x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围0＜x＜1．
故选：A．
【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算的结果是 　3　．
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
12．（3分）某校组织党史知识大赛，25名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数是　96　．

【分析】根据众数的意义求解即可．
【解答】解：25名参赛同学的得分出现次数最多的是96分，共出现9次，
因此众数是96，
故答案为：96．
【点评】本题考查众数，掌握众数的意义是正确解答的前提．
13．（3分）方程＝﹣2的解是　x＝　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝3﹣2（2x﹣2），
去括号得：2x＝3﹣4x+4，
移项合并得：6x＝7，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：2x﹣2＝﹣2＝≠0，
则x＝是分式方程的解．
故答案为：x＝．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14．（3分）如图，从飞机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，飞机A与楼的水平距离为240m，这栋楼的高度BC是 　554　m（≈1.732，结果取整数）．

【分析】通过作垂线，构造直角三角形，在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数求解即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
根据题意有∠DAC＝60°，∠BAD＝30°，AD＝240m，
在Rt△ADC中，
∵∠DAC＝60°，AD＝240m，
∴DC＝tan60°•AD＝240（m），
在Rt△ADB中，
∵∠DAB＝30°，AD＝240m，
∴DB＝tan30°•AD＝80（m），
∴BC＝240+80＝320≈554（m），
故答案为：554．

【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
15．（3分）下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1的结论：
①该函数图象的对称轴为直线x＝m；
②若函数图象的顶点为M，与x轴交于A、B两点，则S△ABM为定值；
③若P（x1，y1），Q（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＞x2，x1+x2＞2m，则有y1＜y2；
④该函数图象与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，△ABC不可能为直角三角形．
其中正确的结论是 　①②　．
【分析】二次函数对称轴为直线x＝，得到对称轴为x＝m，将二次函数写成顶点式，得到y＝（x﹣m）2﹣1，得到顶点M坐标，令y＝0，解得x＝m±1，得到A和B坐标，或者利用根与系数关系，都可以得到AB＝2，通过计算得到△ABM为定值，用作差法比较y1与y2大小，y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m），利用x1＞x2，x1+x2＞2m，可以得到y1＞y2，
由②可得AB＝2和A，B点坐标，令x＝0，则y＝m2﹣1，可得到C（0，m2﹣1），分别用m表示出AC2和BC2，可以发现BC＞AC，所以假设三角形ABC为直角三角形时，BC和AB均可作为斜边，分类讨论，利用勾股定理，列出方程即可求解．
【解答】解：①二次函数的对称轴为直线x＝，
故①正确，
②由y＝（x﹣m）2﹣1，所以顶点M（m，﹣1），
设A（x1，0），B（x2，0），
令y＝0，则（x﹣m）2﹣1＝0，
∴x1＝m﹣1，x2＝m+1，
∴AB＝|x1﹣x2|＝2，
∴，
∴S△ABM为定值，
故②正确，
③∵P（x1，y1），Q（x2，y2）两点在该函数图象上，
∴，，
∴＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m），
∵x1＞x2，x1+x2＞2m，
∴x1﹣x2＞0，x1+x2﹣2m＞0，
∴y1﹣y2＞0，
∴y1＞y2，
故③错误，
④由②可得，A（m﹣1，0），B（m+1，0），
令x＝0，则y＝m2﹣1，
∴C（0，m2﹣1），
∴AC2＝（m﹣1）2+（m2﹣1）2＝m4﹣m2﹣2m+2，
BC2＝（m+1）2+（m2﹣1）2＝m4﹣m2+2m+2，
∴BC2＞AC2，
当AC2+BC2＝AB2，
∴2m4﹣2m2+4＝4，
∴m＝0或±1，
当AC2+AB2＝BC2，
∴m4﹣m2+2m+2＝m4﹣m2﹣2m+2+4，
∴m＝1，
此时AC＝0，故舍去，
∴当m＝0或±1时，△ABC为直角三角形，
故④错误．
故答案为：①②．
【点评】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数与x轴交点坐标，顶点坐标，还要注意分类讨论思想．
16．（3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝　6　．

【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，
∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，
∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，
在Rt△ABF中，BF＝＝3，
∵∠EAF＝90°，
∴∠BAF+∠BAH＝90°，
∵∠DAH+∠BAH＝90°，
∴∠DAH＝∠BAF，
在△ADH和△ABF中
，
∴△ADH≌△ABF（AAS），
∴DH＝BF＝3，
∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．
故答案为6．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得　x≤1　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x≥﹣3　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣3≤x≤1　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，x≤1；
（Ⅱ）解不等式②，x≥﹣3；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤1．
故答案为：x≤1，x≥﹣3，﹣3≤x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）如图，B，E分别是AC，DF上的点，AE∥BF，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．

【分析】由AE∥BF，可得∠F＝∠AED，由∠C＝∠D根据内错角相等，两直线平行得到AC∥DF，由平行线的性质可得∠AED＝∠A，等量代换即可得结论．
【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠AED＝∠F，
∵∠C＝∠D，
∴AC∥DF，
∴∠AED＝∠A．
∴∠A＝∠F．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
19．（8分）某校有学生2400人，为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：h）．整理所得数据绘制成不完整的统计图表：
平均每周的课外阅读时间频数分布表
组别
平均每周的课外阅读时间t/h
人数
A
t＜6
16
B
6≤t＜8
a
C
8≤t＜10
b
D
t≥10
8
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 　80　人，a＝　32　；
（2）B组所在扇形的圆心角的大小是 　144°　；
（3）请你估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数．

【分析】（1）用A组的人数+所占百分比计算即可，计算D组的百分比，再计算B组的百分比，计算即可；
（2）用B组的百分数乘以360°即可；
（3）用C，D两组的百分数之和乘以2400即可．
【解答】解：（1）这次被调查的同学共有：16÷20%＝80（人）；8÷80＝10%，
∴B组的占比为：1﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝80×40%＝32（人），
故答案为：80；32；
（2）由（1）知B组所占百分数为40%，
∴B组所在扇形的圆心角为：360°×40%＝144°，
故答案为：144°；
（3）根据题意，得C，D两组所占的百分数之和为10%+30%＝40%，
∴估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数为：2400×40%＝960（人）．
【点评】本题考查了扇形统计图，频数分布，样本估计整体，熟练掌握样本容量的计算，圆心角的计算是解题的关键．
20．（8分）已知在正方形的网格中，点A、B、C都在格点上，仅用无刻度直尺在平面直角坐标系中作图．

（1）如图1，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到BE；
（2）如图1，点N为BC与网格线的交点，在CE上画点M，使MN＝CN；
（3）如图2，在AC画点F，使NF＝CN；
（4）如图3，点H为AC与网格线的交点，在BC画点G，使HG＝AB．

【分析】（1）利用旋转变换的性质作出点C的对应点E即可；
（2）利用网格特征作出BC的中点M，连接MN即可；
（3）取格点J，连接BJ交AC于点F，连接NF即可；
（4）取格点M，N连接MN交BC于点G，连接GH，线段GH即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，线段BE即为所求；
（2）如图1中，线段MN即为所求；

（3）如图2中，线段NF即为所求；
（4）如图3中，线段HG即为所求．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC上，CA＝CE，过A、C．E三点作⊙O交AB于F点，AD为⊙O的直径，DE的延长线交AB于M．
（1）求证：AF＝FM；
（2）连CD，若＝＝，求sinB的值．

【分析】（1）连接CF，AE，EF，根据圆周角定理即题意推出∠ACF+∠AFC＝∠ECF+∠CFE＝90°，根据圆周角、弦的关系得出∠AFC＝∠CFE，得到∠ACF＝∠ECF，进而得到CF⊥AE，再根据圆周角定理得到DE⊥AE，则CF∥DE，根据平行线分线段成比例定理即可得解；
（2）根据题意推出四边形CFMD是平行四边形，则AF＝FM＝CD，根据比例的性质及相似三角形的性质得出＝，根据锐角三角函数即可得解．
【解答】（1）证明：如图，连接CF，AE，EF，

∵∠BAC＝90°，
∴CF是直径，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ACF+∠AFC＝∠ECF+∠CFE＝90°，
∵CA＝CE，
∴∠AFC＝∠CFE，
∴∠ACF＝∠ECF，
∴CF⊥AE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，
∴DE⊥AE，
∴CF∥DE，
∴＝，
∵OA＝OD，
∴AF＝FM；
（2）解：如图，

∵AD是直径，
∴∠DCA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∴CD∥AB，
∵CF∥DE，
∴四边形CFMD是平行四边形，
∴CD＝FM，
∴AF＝FM＝CD，
∵＝，
∴＝，
∵CD∥AB，
∴△ВЕМ∽△CED，
∴＝＝，
∴＝，
∵CA＝CE，
∴＝，
∵∠BAC＝90°，
∴sinB＝＝．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
22．（10分）某产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？
【分析】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可；
（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）解：图①可得函数经过点（100，1000），
设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，
解得：a＝，
故y与x之间的关系式为y＝x2．
图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），
设z＝kx+b，则，
解得：，
故z与x之间的关系式为z＝﹣x+30；

（2）W＝zx﹣y＝﹣x2+30x﹣x2
＝﹣x2+30x
＝﹣（x2﹣150x）
＝﹣（x﹣75）2+1125，
∵＜0，∴当x＝75时，W有最大值1125，
∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；

（3）令y＝360，得x2＝360，
解得：x＝±60（负值舍去），
由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，
由W＝﹣（x﹣75）2+1125的性质可知，
当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，
故当x＝60时，W有最大值1080，
答：今年最多可获得毛利润1080万元．
【点评】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求函数解析式，注意培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．
23．（10分）（1）问题背景：如图1，在正方形ABCD中，点P在AC上，PM⊥PB交AD于M，求证：PB＝PM；
（2）问题探究如图2，在矩形ABCD中，BC＝2AB，PM⊥PB交AD于M，求的值；．
（3）延伸拓展如图3，在矩形ABCD中，BC＝nAB，点P在CA的延长线上，连PB，PM⊥PB交直线AD于M，求的值．


【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点F，交AD于点E，则∠BFE＝90°，由四边形ABCD是正方形得∠FBA＝∠BAE＝90°，所以四边形ABFE是矩形，则∠AEP＝90°，BF＝AE，再证明∠EAP＝∠EPA＝45°，得PE＝AE，所以BF＝PE，而∠PBF＝∠MPE＝90°﹣∠BPF，即可证明△PBF≌△MPE，所以PB＝PM；
（2）过点P作PE⊥BC于点F，交AD于点E，证明四边形ABFE是矩形，则∠AEP＝90°，BF＝AE，可证明△PBF∽△MPE，则＝，所以＝，再证明△AEP∽△DAC，得＝，则＝＝2；
（3）过点P作PE⊥BC交CB的延长线于点F，交DM于点E，则∠F＝90°，证明四边形ABFE是矩形，则∠AEP＝90°，BF＝AE，可证明△PBF∽△MPE，得＝，所以＝，再证明△AEP∽△DAC，得＝，则＝＝n．
【解答】（1）证明：如图1，过点P作PE⊥BC于点F，交AD于点E，则∠BFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBA＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠AEP＝90°，BF＝AE，
∴∠BFP＝∠PEM＝90°，
∵AD＝CD，∠D＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠EAP＝∠EPA＝45°，
∴PE＝AE，
∴BF＝PE，
∵PM⊥PB，
∴∠BPM＝90°，
∴∠PBF＝∠MPE＝90°﹣∠BPF，
在△PBF和△MPE中，
，
∴△PBF≌△MPE（ASA），
∴PB＝PM．
（2）如图2，过点P作PE⊥BC于点F，交AD于点E，则∠BFE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBA＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠AEP＝90°，BF＝AE，
∴∠BFP＝∠PEM＝90°，
∵PM⊥PB，
∴∠BPM＝90°，
∴∠PBF＝∠MPE＝90°﹣∠BPF，
∴△PBF∽△MPE，
∴＝，
∴＝，
∵∠AEP＝∠D＝90°，∠EAP＝∠DAC，
∴△AEP∽△DAC，
∴＝，
∴＝，
∵BC＝2AB，AB＝CD，
∴AD＝BC＝2AB＝2CD，
∴＝＝2，
∴＝2，
∴的值是2．
（3）如图3，过点P作PE⊥BC交CB的延长线于点F，交DM于点E，则∠F＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FBA＝∠BCD＝90°，∠EAB＝∠D＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠AEF＝90°，BF＝AE，
∴EF⊥AM，
∴∠PEM＝∠AEP＝90°，
∴∠F＝∠PEM，
∵PM⊥PB，
∴∠BPM＝90°，
∴∠BPF＝∠M＝90°﹣∠FPM，
∴△PBF∽△MPE，
∴＝，
∴＝，
∵∠AEP＝∠D＝90°，∠EAP＝∠DAC，
∴△AEP∽△DAC，
∴＝，
∴＝，
∵BC＝nAB，AB＝CD，
∴AD＝BC＝nAB＝nCD，
∴＝＝n，
∴＝n，
∴的值是n．



【点评】此题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
24．（12分）已知抛物线y＝x2+mx+n与y轴交于点（0，﹣3），与x轴交于A、B两点，对称轴为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过A的直线y＝x+b交抛物线于另一点M，点P在AM上，PE∥y轴，交抛物线于E，且△PAE是以AE为底的等腰三角形，求E点的横坐标；
（3）如图2，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过点D（0，3）的直线交y＝﹣2x于M点，交抛物线于E、F两点，求﹣的值．


【分析】（1）由抛物线y＝x2+mx+n与y轴交于点（0，﹣3），和抛物线的对称轴为x＝1可以求出m，n的值，即可求出函数解析式；
（2）由（1）中解析式可以求出点A坐标，再根据点A在直线y＝x+b上求出直线解析式，设P（a，a+）（a＞﹣1），根据PE∥y轴，交抛物线于E得出E点坐标，再根据MA＝ME求出a的值即可；
（3）根据点M在直线y＝﹣2x上，设M（m，﹣2m），用待定系数法求直线MD解析式，再根据直线MD和抛物线相交于E，F，得出关于x的一元二次方程，再由根与系数的关系得出xE+xF＝﹣，xE•xF＝﹣6，然后根据﹣＝﹣＝m（+）＝m•得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+mx+n的对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴m＝﹣2，
∵抛物线y＝x2+mx+n与y轴交于点（0，﹣3），
∴n＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵直线y＝x+b经过点A，
∴×（﹣1）+b＝0，
解得：b＝，
∴直线AM的解析式为y＝x+，
∵点P在AM上，
∴设P（a，a+）（a＞﹣1），
∵PE∥y轴，交抛物线于E，
∴E（a，a2﹣2a﹣3），
∴PE＝（a+）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+a+，
PA＝＝（a+1），
∵△PAE是以AE为底的等腰三角形，
∴PA＝PE，
即﹣a2+a+＝（a+1），
解得：a＝或a＝﹣1（舍去），
∴E点横坐标为；
（3）∵点M在直线y＝﹣2x上，
∴设M（m，﹣2m），直线DM解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线DM解析式为为y＝（﹣2﹣）x+3，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线DM交于E，F两点，
∴x2﹣2x﹣3＝＝（﹣2﹣）x+3，
即x2+x﹣6＝0，
∵xE，xF是方程x2+x﹣6＝0的根，
∴xE+xF＝﹣，xE•xF＝﹣6，
∵＝＝，＝＝，
∴﹣＝﹣＝m（+）＝m•＝＝＝．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，直线和抛物线交点，根与系数的关系等知识，关键是对二次函数性质的综合运用．