高考 专题32 极坐标系与参数方程（教师版含解析）

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1.(2021年浙江卷数学试题)已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是( )
A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
2．(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
(1)写出的一个参数方程;
(2)过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【答案】(1)，(为参数)；(2)或.
【分析】(1)由题意，的普通方程为，
所以的参数方程为，(为参数)
(2)由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于1可得，
解得，所以切线方程为或，
将，代入化简得
或
3．(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
【答案】(1)；(2)P的轨迹的参数方程为(为参数)，C与没有公共点.
【分析】(1)由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
(2)设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为(为参数)
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点.
4．(2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题)在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
【答案】(1)；(2).
【分析】因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为；
(2)设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，
不妨直线的方程为，即，
联立，消去并整理可得，
设点、，则且.
由韦达定理可得，，
所以，，
设直线的斜率为，同理可得，
因为，即，整理可得，
即，显然，故.
因此，直线与直线的斜率之和为.