数学必修 第二册1.6 解三角形教学设计

正弦定理

【教学目标】

1、掌握正弦定理的推导方法．

2、能运用正弦定理和面积公式解决基本问题．

3、让学生经历公式的推导过程，培养学生严谨的思维及分类讨论、解决问题的能力．

【教学重点】  正弦定理和面积公式的推导过程及基本应用．

【教学难点】 

1、正弦定理和面积公式的推导过程及基本应用．

2、已知三角形两边及其中一边的对角解的个数．

3、正弦定理的几何意义．

【教学方法】  问题探究式．

【教学手段】  计算机、投影仪．

【核心素养】  数学运算

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

通过对余弦定理的学习，我们知道了三角形的三条边与三个内角的余弦值之间的关系，那么任意三角形的三条边与对应角的正弦值之间有没有什么关系呢？

〖设计意图〗从学生刚学习完的余弦定理入手，类比联想，激发学习兴趣．

二、归纳探索，形成概念

1、设分别为的内角的对边．我们还是先从同学们熟悉的直角三角形入手．

问题1：在中，已知，你能表示出和吗？

预案：，．

问题2：可以通过变形，将上面的两个等式变成一个等式吗？

预案：．

问题3：能让等号连接的三个式子形式一样吗？

预案：因为，所以，从而有：．

2、对于任意的锐角三角形和钝角三角形，这个等式也成立吗？我们先来看锐角三角形．

问题1：在锐角三角形中，如何计算角的正弦值？

预案：构造直角三角形．

问题2：在锐角中，你能通过构造直角三角形表示出吗？

预案：做边上的高，于是有．

问题3：你能利用，表示的面积吗？

预案：因为，从而．所以．

问题4：类比上述方法，你还能写出的其他表达式吗？

预案：，．

问题5：由这三个面积的表达式，你能得出什么？

预案：．

3、在直角三角形和锐角三角形中，我们都得到了上述等式，那在钝角三角形中，有没有类似的等式呢？答案是肯定的，不过证明过程要留给同学们自己完成．

4、你能用自己的语言描述一下我们得到的等式吗？

预案：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．即．

这就是我们这节课要学习的正弦定理．

5、在刚才解决问题的过程中，我们还得到了三角形面积的另一种算法，即．

〖设计意图〗从学生熟悉的直角三角形入手，通过问题串，三角形类型的层层深入，引导学生推导出正弦定理，并能自己归纳出正弦定理的内容和面积公式．

三、掌握证法，适当延展

例1、如图，已知，作正方形，，．

求证：．

证明：

．

又，，，

因而．

同理可证，．

所以．

例2、已知中，，，，，求，．

解：由题意可得．

由正弦定理得       ．

又                 ，

于是               ．

同理可得           ．

例3、在中，分别求下列条件下的和．

（1），，；

（2），，．

解：（1）由正弦定理得，

即                         ，

所以                或．

当时，，

所以                ．

当时，，

所以                      ．

（2）由正弦定理得；

所以               或．

又                 ，，

所以               ．

由此得到，．

因此               ．

〖设计意图〗应用正弦定理解决基本问题，加深对正弦定理的认识．

问题1：例3中的两个小题，都是已知两边，和其中一边的对角解三角形，第一小题有两解，第二小题有一解，还会出现其他情况吗？

预案：以点为圆心，以边长为半径画弧，则此弧与除去顶点的射线的公共点个数即为三角形解的个数．

下图是为锐角时的示意图，此时三角形解的个数有四种情况．

下图是为钝角时的示意图，此时三角形解的个数有两种情况．

问题2：由正弦定理可知，三角形各边与它所对角的正弦的比值相等，那么这个比值有什么几何意义呢？

设的外接圆的圆心为，外接圆的半径为．

（1）若为，设，则．

又，，，于是

．

（2）若为锐角三角形，如图，则点在内．

过，作直径，连接，则，，．

在中，，由此得到．

类似可证，．

于是仍可得．

（3）若为钝角三角形，如图，设，则点在外．

过，作直径，连接，则，，．

在中，，即．

类似可证，．

于是仍可得．

综上可知，对于任意三角形，均成立，这个结果称为扩充的正弦定理，这表明三角形各边与它所对角的正弦的比值为一个常数，这个常数等于该三角形外接圆的直径．

〖设计意图〗进一步加深对正弦定理的认识．

例4、在中，已知，试判断的形状．

解：设的外接圆的半径为，则由扩充的正弦定理可得

，，．

将其代入得

，

即                      ．

又角，，，

所以，因而为等边三角形．

例5、设是的外接圆的半径，是的面积，求证：

（1）；

（2）．

证明：（1）由扩充的正弦定理得，

所以                    ．

（2）由，，得

．

〖设计意图〗应用扩充的正弦定理和面积公式解决基本问题．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1、小结

（1）正弦定理的内容：．

（2）面积公式：．

（3）扩充的正弦定理的内容：．

（4）已知三角形两边及其中一边的对角解的个数．

2、作业