第6讲弦图模型（原卷+解析）学案

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中考数学几何模型6：弦图模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.
（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.

注意局部弦图


（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.

包含“一线三垂直”


典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面积.


变式练习>>>
1．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE，以CE为边作正方形CEFG，点D，F在直线CE的同侧，连接BF，若AE=1，求BF的长.






例题2. 如图，以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF，该正方形的中心为点O，连接AO.若AB=4，AO=，求AC的长.





变式练习>>>
2．如图，点A，B，C，D，E都在同一条直线上，四边形X，Y，Z都是正方形，若该图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是___________.


例题3. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，D为△ABC外一点，满足∠CBD=90°，BC=BD，若，求AC的长.








变式练习>>>
3．点P是正方形ABCD外一点，PB=10cm，△APB的面积是60cm2，△CPB的面积是30cm2．求正方形ABCD的面积.





例题4. 在边长为10的正方形ABCD中，内接有6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积.



变式练习>>>
4．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为　1+　．

【解答】解：在△AOM和△BAN中，，
∴△AOM≌△BAN（AAS），
∴AM＝BN＝，OM＝AN＝，∴OD＝+，BD＝﹣，
∴B（+，﹣），∴双曲线y＝（x＞0）同时经过点A和B，
∴（+）•（﹣）＝k，整理得：k2﹣2k﹣4＝0，
解得：k＝1±（负值舍去），
∴k＝1+；
故答案为：1+．
例题5. 如图，在等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE中，∠AXB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点I在AD上，
（1） 若IC⊥BE，求证：I为AD中点；
（2） 若I为AD中点，求证：IC⊥BE










例题6. 在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，其与x轴交于点A,与y轴交于点B，在直线l移动的过程中，直线y=4上是否存在点P，使得△PAB是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标，如不存在，请说明理由.



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1. 如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，则S2的值是　　．

【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，
∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，
x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，
故答案为：．

2. 我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图1）．它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．在弦图中（如图2），已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，对角线BD分别交AH，CF于点P、Q．在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M，N，且MN经过点O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4．则△APD的面积为　5　．

【解答】解：如图，连接FH，作EK∥MN，OL⊥DG
∵四边形ABCD是正方形，且BD＝2MN＝4
∴MN＝2，AB＝2
∵四边形EFGH是正方形
∴FO＝HO，EH∥FG
∴∠HMO＝∠FNO，∠MHO＝∠NFO，且FO＝HO
∴△MHO≌△FNO（AAS），∴MH＝FN
∵MH＝3ME，∴MH＝FN＝3EM，EH＝EF＝4EM
∴EK∥KN，EH∥FG，∴四边形EMNK是平行四边形
∴MN＝EK＝2，KN＝EM，∴FK＝2EM
∵EF2+FK2＝EK2，∴16EM2+4EM2＝20，∴EM＝1，∴EH＝4，
∵AD2＝（AE+4）2+DH2，且AE＝DH
∴DH＝AE＝2，∴AH＝6
∵PH∥OL，∴，∴PH＝1，∴AP＝5，∴S△APD＝×5×2＝5
故答案为 5

3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（正方形的各边都相等，各角均为90°）
（1）判断CE与BG的关系，并说明理由；
（2）若BC＝3，AB＝5，则AEG面积等于　6　．

【解答】解：（1）如图，
∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，
在△EAC和△BAG中，，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，
∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，
∴∠BPC+∠ABG＝90°，
∴CE⊥BG；
（2）延长GA，过E作EQ⊥AQ，
∵∠EAB＝∠GAC＝90°，
∴∠EAG+∠BAC＝180°，
∵∠EAG+∠EAQ＝180°，
∴∠EAQ＝∠BAC，
∴EQ＝AE•sin∠EAQ＝AB•BC＝3，
∵BC＝3，AB＝5，
∴AC＝＝4，
∴AEG面积＝AG•EQ＝×4×3＝6．




4．【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．

【解答】解：（1）思路一、如图1，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，
在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2，
∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝2，
∵AP＝1，
∴AP2+PP'2＝1+8＝9，
∵AP'2＝32＝9，
∴AP2+PP'2＝AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°；
（2）如图2，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝，
在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，
∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝，
∵AP＝3，
∴AP2+PP'2＝9+2＝11，
∵AP'2＝（）2＝11，
∴AP2+PP'2＝AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．




5．如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上一点，AD＝BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF．
①求证：AF+AB＝BC
②判断FD与DC的关系并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

【解答】（1）证明：①∵AD＝BC，
∴AD＝AB+BD，AF＝BD，∴AF+AB＝BC．
②∵AF⊥AB，∴∠FAD＝90°，
又∵∠DBC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，
∵AF＝BD，AD＝BC，∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD＝CD，∠ADF＝∠BCD，∴∠BDC+∠ADF＝∠BDC+∠BCD＝90°，即DF⊥DC；
（2）解：作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，如图，
∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，
在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD＝DC，∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，∴∠BDC+∠FDA＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD＝45°，
∵AF∥CE，且AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF，∴∠APD＝∠FCD＝45°．

6．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：；
【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为　　；（直接写出结果）
【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝6，BC＝CD＝3，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

【解答】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°，
∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴，∴；
（2）如图2，
∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得，；
∴，
故答案为；

（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝6，AR＝BS．
∵AM⊥DN，
∴由（1）中的结论可得 ．
设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝3+x，RD＝6﹣y，
∴在Rt△CSD中，x2+y2＝9①，
在Rt△ARD中，（3+x）2+（6﹣y）2＝36②，
由②﹣①得x＝2y﹣3③，
解方程组 ，得（舍去），或 ，∴AR＝3+x＝，
∴＝＝．


7．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，EP⊥l于P．
求证：2EP+AD＝2CD．

【解答】证明：作AH⊥BC于H，延长EP交AH于G，
∵l是AD的垂直平分线，∴AM＝MD＝AD，l∥AH，
又∵四边形ABCD是直角梯形，∴四边形AHCD是矩形，∴AH＝CD，
∵PE⊥l，∴EG⊥AH，∴四边形AGPM是矩形，
∴GP＝AM＝AD，∴∠AHB＝∠AGE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，
在正方形ABFE中，AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，
在△ABH和△EAG中，，∴△ABH≌△EAG（AAS），∴AH＝EG，
∴CD＝GP+PE＝AD+PE，即2CD＝AD+2PE．

8．提出问题：
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．
（1）探索CE与BG的关系；
（2）探究△ABC与△AEG面积是否仍然相等？说明理由．
（3）如图2，学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，已知△CDG是直角三角形，∠CGD＝90°，DG＝3m，CG＝4m，四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，则这个六边形花圃ABIHFE的面积为　74m2　．

【解答】解（1）CE＝BG，CE⊥BG；
理由：∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，
在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，
∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，∴∠BPC+∠ABG＝90°，
∴CE⊥BG；即：CE＝BG，CE⊥BG；

（2）如图1，
过点E作EH⊥AG交GA延长线于H；∴∠EHA＝∠90°＝∠BCA，
∵∠EAH+∠BAH＝90°，∠BAC+∠BAH＝90°，
∴∠EAH＝∠BAC，
在△EHA和△BCA中，，
∴△EHA≌△BCA，∴EH＝BC，
∵AC＝AG∴S△ABC＝AC×BC＝AC×EH，
S△AGE＝AG×EH＝AC×EH，
∴S△ABC＝S△AGE，
（3）∵在Rt△CDG中，DG＝3m，CG＝4m，
∴CD＝5m，
∵四边形ABCD，CIHG、GFED均为正方形
∴CG＝GH＝4，DG＝FG＝3，
同（2）的方法得出S△BCI＝S△CDG，S△ADE＝S△CDG
∴S六边形花圃ABIHFE＝S正方形ABCD+S△BCI+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△ADE+S△SDG
＝S正方形ABCD+S△CDG+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△CDG+S△CDG
＝S正方形ABCD+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+3S△CDG
＝CD2+CG2+GH×FG+DG2+3×CG×DG
＝52+42+×4×3+32+×4×3
＝25+16+6+9+18
＝74（m2）．
故答案为74m2．








9．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1＝d3＝1，d2＝2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．

（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为　　．
（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽＝2：1，求矩形ABCD的宽．
（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED＝90°∴∠DGC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∵∠ADE+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠ADE，
∵l3∥l4，∴∠1＝∠DCG，∠ADE＝∠DCG，
在△AED与△DGC中，，∴△AED≌△GDC（AAS），
∴AE＝GD＝1，ED＝GC＝3，∴AD＝＝，
故答案为：；
（2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，
则BE＝1，BF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠FBC＝90°，
∵∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠FBC＝∠EAB，
当AB＜BC时，AB＝BC，∴AE＝BF＝，
∴AB＝＝；
如图3当AB＞BC时，同理可得：BC＝，
∴矩形的宽为：，；
（3）如图4过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，
∵∠OAE′＝30°，则∠E′FN＝60°
∵AE′＝AE＝1，故E′O＝，E′N＝，E′D′＝，
由勾股定理可知菱形的边长为：＝＝．
10．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝1；
①求点F到AD的距离；
②求BF的长；
（3）若BF＝3，请直接写出此时AE的长．

【解答】解：（1）作FH⊥AB于H，如图1所示：则∠FHE＝90°，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD＝CD＝4，EF＝CE，∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°，
∴∠FEH＝∠CED，
在△EFH和△CED中，
，
∴△EFH≌△CED（AAS），
∴FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，
∴BH＝AB+AH＝8，
∴BF＝＝＝4；
（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图2所示：
则FM＝AH，AM＝FH，
①∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝3，
同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），
∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，
即点F到AD的距离为3；
②∴BM＝AB+AM＝4+3＝7，FM＝AE+EH＝5，
∴BF＝＝＝；
（3）分三种情况：
①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD于点H，
交BC延长线于K．如图3所示：
同（1）得：△EFH≌△CED，
∴FH＝DE＝AE+4，EH＝CD＝4，
∴FK＝8+AE，在Rt△BFK中，BK＝AH＝EH﹣AE＝4﹣AE，
由勾股定理得：（4﹣AE）2+（8+AE）2＝（3）2，
解得：AE＝1或AE＝﹣5（舍去），
∴AE＝1；
②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，如图4所示：
同理得：AE＝2+或2﹣（舍去）．
③当点E在AD上时，可得：（8﹣AE）2+（4+AE）2＝90，
解得AE＝5或﹣1，
5＞4不符合题意．
综上所述：AE的长为1或2+．