湖北省武汉市汉阳区二桥中学2021-2022学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份湖北省武汉市汉阳区二桥中学2021-2022学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区二桥中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是A.  B.  C.  D. 木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，下列运算，结果正确的是A.  B.
C.  D. 如图，平行四边形周长是，的周长是，则长
 A.  B.  C.  D. 如图，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水而尺，水池宽尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是A. 尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺如图，网格中每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为A.
B.
C.
D. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是A.
B.
C.
D. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为A.  B.  C.  D. 已知，，则的结果是A.  B.  C.  D. 某小区有一块边长为的正方形场地，规划修建两条宽为的绿化带．方案一如图甲所示，绿化带面积为；方案二如图乙所示，绿化带面积为设，下列选项中正确的是
A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）计算的结果是______．直角三角形的两边长是和，则这个三角形的面积是______．九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______．如图，在平行四边形中，对角线，，，则______．
观察下列等式：
，
，
，

请根据上述规律，写出第个等式______．如图，在中，垂直平分，交于点，，若，，则______．

    三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）计算：
；
；






 化简并求值：，其中，．






 若，求的平方根．
实数，使成立，求的值．






 已知平行四边形，对角线、相交于点，，，，求证：．

  






 如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为，在如图的网格格点处取，，三点，使，，．
请你在图中画出满足条件的；
求的面积；
直接写出点到线段的距离．
  






 如图，一艘渔船正以海里小时的速度由西向东赶鱼群，在处看小岛在船北偏东，分钟后，渔船行至处，此时看见小岛在船的北偏东．
求小岛到航线的距离．
已知以小岛为中心周围海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？






 如图，在四边形中，，，，，．
求四边形的面积．
求对角线的长．







 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．

特例感知：
等腰直角三角形______勾股高三角形请填写“是”或者“不是”；
如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．
深入探究：
如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明；
推广应用：
如图，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点若，试求线段的长度．







答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 2.【答案】
 【解析】解：、，能够成直角三角形，故本选项错误；
B、，能够成直角三角形，故本选项错误；
C、，能够成直角三角形，故本选项错误；
D、，能够成直角三角形，故本选项正确．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 3.【答案】
 【解析】解：．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B.与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C.，此选项错误；
D.，此选项计算正确；
故选：．
本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的乘除运算法则计算可得．
 4.【答案】
 【解析】解：的周长是，
，
的周长是，
，
故选D．
平行四边形的周长为相邻两边之和的倍，即，则，而的周长，所以．
本题考查了平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．
 5.【答案】
 【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的知识点，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键找到题中的直角三角形，芦苇离池边的水平距离为尺，设水深为尺，根据勾股定理即可解答．
【解答】
解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度尺，
故选D．  6.【答案】
 【解析】解：如图，连接，则，
由勾股定理可得，中，，
又，
，
故选：．
连接，由勾股定理求出，即可得出的长．
本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出是解决问题的关键．
 7.【答案】
 【解析】解：将长方体展开，连接、，
根据两点之间线段最短，
如图，，，
由勾股定理得：．


如图，，，
由勾股定理得，．


只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
由于，
故选：．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
 8.【答案】
 【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
，
，
故选：．
由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据大正方形的面积等于个直角三角形的面积与中间小正方形面积的和列出等式，即可求出小正方形的边长．
本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，解题的关键是完全平方公式变形，本题属于基础题型．
 9.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了二次根式的化简求值：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后把字母的值代入或整体代入进行计算．
由，可得到，，再利用二次根式的性质化简得到原式，然后把代入计算即可．
【解答】
解：，，
，，
原式


，
当时，原式．
故选B．  10.【答案】
 【解析】解：，．



故选：．
由题意可求，，代入可求的取值范围．
本题考查了正方形的性质，能用代数式正确表示阴影部分面积是本题的关键．
 11.【答案】
 【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  12.【答案】或
 【解析】解：分两种情况讨论：
当和是两直角边时，
此时三角形的面积为：；
当是斜边时，设另一条直角边为，
由勾股定理得：，
此时三角形的面积为：．
故答案为：或．
分两种情况讨论：当和是两直角边时，直接根据三角形面积公式求解；当是斜边时，先利用勾股定理求出另一条直角边，再根据三角形面积公式求解．
本题考查了三角形面积公式，利用勾股定理求直角三角形的边长以及分类讨论的思想，在解题时要分清斜边和直角边．
 13.【答案】
 【解析】解：设，
，
．
在中，，
，即．
故答案为：．
设，可知，再根据勾股定理列方程即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
 14.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型．利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长．
【解答】
解：▱的对角线与相交于点，
，，
，
，
故答案为．  15.【答案】
 【解析】解：，
，
，

则第个等式为：，
故第个等式为：．
故答案为：．
直接利用式子中数字变化规律，进而得出一般式求出答案即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确得出变化规律是解题关键．
 16.【答案】
 【解析】解：垂直平分，
，，
，
，
的面积，
，
；
故答案为：．
由线段垂直平分线的性质得出，由勾股定理求出，再由三角形面积即可得出答案．
本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 17.【答案】解：原式．
原式．
 【解析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
 18.【答案】解：原式

，
当，时，原式．
 【解析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，合并同类二次根式，把、的值代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
 19.【答案】解：由题意得，
解得：，
把代入已知等式得：，
所以，，
故的平方根是．
，
，
又，，
，．
解得，，
．
 【解析】只有非负数才有平方根，可知两个被开方数都是非负数，即可求得的值，进而得到，从而求解．
利用算术平方根和偶次方的非负数的性质求得、的值，然后代入求值．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为，这几个非负数都为．
 20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
，
．
 【解析】利用平行四边形的性质可得：，，进而得到、的长度，再利用勾股定理逆定理证明即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质．
 21.【答案】解：如图，即为所求．
．

设边上的高为则有，
．
 【解析】利用数形结合的思想作出三角形即可．
利用分割法求出三角形面积即可．
利用三角形面积公式求解即可．
本题考查作图应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题．
 22.【答案】解：作于点，如图所示：

由题意可知：，，
，
即，
，
在中，；
即小岛到航线的距离为海里；
，
这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能，
设为开始进入危险区的位置，为离开危险区的位置，如图所示：

则，
，
，
在中，，
，
，
渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区．
 【解析】作于，由题意得出，从而得出，在中，求得的长即可．
利用勾股定理得出的长进而得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识；结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
 23.【答案】解：连接，
，，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
四边形的面积是：，
即四边形的面积是；
作交的延长线于点，则，
是直角三角形，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，
，
．
 【解析】连接，然后根据勾股定理可以求得的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断的形状，从而可以求得四边形的面积；
作，然后根据三角形全等和勾股定理，可以求得对角线的长．
本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 24.【答案】是
 【解析】解：特例感知：
等腰直角三角形是勾股高三角形．
设等腰直角三角形的直角边长为，
则斜边长，
，等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，
等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；
由勾股定理可得：，，
为勾股高三角形，为勾股顶点，是边上的高，
，
，
解得，；

深入探究：，
证明如下：为勾股高三角形，为勾股顶点且，是边上的高，
，
，
由勾股定理得，，
，
；

推广应用：
过点向引垂线，垂足为，

“勾股高三角形”为等腰三角形，且，
只能是，由上问可知．
又，
，
，
而，
≌，
．
为等腰三角形，
．
又，，
，
．
特例感知：根据勾股高三角形的定义即可判断；
根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案；
深入探究：由可得：，而，即可推出；
推广应用：过点向引垂线，垂足为，只要证明≌，即可解决问题．
本题考查三角形综合题、勾股定理、全等三角形的判定和性质、勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．