四川省达州市开江县2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省达州市开江县八年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 在中，、、的对边分别为、、下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是

A. ，， B.
C.  D. ：：：：

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 已知点和点关于轴对称，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 一次函数与正比例函数为常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A.  B.
C.  D.

5. 下列命题中，真命题是
   若，则
   过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
   若一组数据，，，的极差为，则的值是
   已知点，在一次函数的图象上，则

A.  B.  C.  D.

6. 某酒店管理人员收集了年月日月日每天的用水量单位：吨，整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是

A. 中位数是吨 B. 众数是吨 C. 中位数是吨 D. 众数是吨

7. 如图，将沿着平行于的直线折叠，点落在点处，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

8. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计范围是

A.
B.
C.
D.

9. 某商场按定价销售某种商品时，每件可获利元；按定价的折销售该商品件与将定价降低元销售该商品件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是

A. 元，元 B. 元，元 C. 元，元 D. 元，元

10. 小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知，

小明说：“如果还知道，则能得到”

小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由，

可得到”

小刚说：“一定大于”

小颖说：“如果连接，则一定平行于”
他们四人中，有个人的说法是正确的．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 的算术平方根是______ ．
12. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为______．
13. 某班有人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有参加此次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差后来小颖进行了补测，成绩是分，则该班人的数学测试成绩的方差______填“变小”、“不变”、“变大”．
14. 根据如图所示的程序计算的值，若输入的值为时，输出的的值为，则输入值为时，输出的的值为______．

15. 已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，则______．

16. 如图，在长方形中，已知，，点是边上一动点点不与，重合，连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 计算、解方程组
    计算：；
    解方程组：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 年，是“十四五”规划开局之年，也是巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的起步之年．某校八年级班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校定点帮扶的某地捐赠了图书，全班捐书情况如图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：
    
    该班共有______名学生，并补全条形统计图；
    本次捐赠图书册数的中位数为______册，众数为______册；
    该校八年级共有名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为册的学生人数．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
    画出关于轴对称的图形，并写出顶点关于轴的对称点的坐标；
    已知为轴上一点，若的面积是面积的，求点的坐标．

20. 如图，小明家和地铁口两地恰好处在东西方向上，且相距，学校在他家正北方向的处，公园与地铁口和学校的距离分别和．
    若，求的大小；
    计算公园与小明家的距离．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车．
    每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
    若工厂现在有熟练工人人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？
    
    
    
    
    
    
     
22. 甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程米与时间分钟之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
    ______先到达终点填“甲”或“乙”；甲的速度是______米分钟；
    甲与乙何时相遇？
    在甲、乙相遇之前，何时甲与乙相距米？

23. 如图，，，，是的平分线．
    与平行吗？请说明理由；
    试说明；
    试说明是的平分线．

24. 小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：
    
    【习题回顾】已知：如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点求证：；
    【变式思考】如图，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数；
    【探究延伸】如图，在中，在上存在一点，使得，角平分线交于点的外角的平分线所在直线与的延长线交于点，若，求的度数．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，过点的直线平行于轴，交直线于点，点是直线上一动点异于点，连接、．
    求直线的解析式；
    设，求的面积的表达式用含的代数式表示；
    当的面积为时，则以点为直角顶点作等腰直角，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、，，，，故是直角三角形；
B、由条件，且，可求得，故是直角三角形；
C、由条件可得到，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
D、：：：：，且，可求得，故不是直角三角形
故选：．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，本选项计算错误，不符合题意；
B、，本选项计算错误，不符合题意；
C、，本选项计算正确，符合题意；
D、，本选项计算错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性质，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：点和点关于轴对称，
，，
解得，，
，
．
故选：．
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出、的值，然后代入计算即可得解．
本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

4.【答案】
 

【解析】解：若，，则经过一、二、三象限，经过一、三象限；
若，，则经过一、三、四象限，经过二、四象限；
若，，则经过一、二、四象限，经过二、四象限；
若，，则经过二、三、四象限，经过一、三象限．
故选：．
根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
 

5.【答案】
 

【解析】解：若，因为且，则，所以，则，所以错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以正确；
若一组数据，，，的极差为，则的值是或，所以错误；
已知点，在一次函数的图象上，因为，随的增大而减小，所以，所以正确．
故选：．
根据二次根式有意义的条件得到，则可对进行判断；根据直线平行公理对进行判断；利用为最小值或最大值对进行判断；根据一次函数的性质对进行判断．
本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由折线统计图知，某酒店年月日月用水量由低到高为吨、吨、吨、吨、吨、吨、吨，
所以中位数为第个数据，即中位数为吨，故选项A符合题意，选项C不符合题意；
出现次数最多的是吨和吨，所以众数是吨和吨，故选项B、不符合题意．
故选：．
将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题主要考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

7.【答案】
 

【解析】解：沿着平行于的直线折叠，点落到点，
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，同位角相等可得，再根据翻折变换的性质可得，然后根据平角等于列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分最短，
此时就是圆柱形的高，
即；
，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分最长，
，
此时，
所以．
故选：．
如图，当吸管底部在点时吸管在罐内部分最短，此时就是圆柱形的高；当吸管底部在点时吸管在罐内部分最长，此时可以利用勾股定理在中即可求出
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：设每件商品定价元，进价元，
根据题意得：，
解得：，
即该商品每件进价元，定价每件元，
故选：．
设每件商品定价元，进价元，由题意表示出销售件和销售件的利润，进而列出方程组，求出方程组的解即可．
本题考查了二元一次方程的应用，找出正确等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：已知，，，
若，
，
，
，
．
若，
，
，，
．
不一定平行于，所以不一定大于；
如果连接，则不一定平行于；
综上知：正确的说法有两个．
故选B．
由，，知，然后根据平行线的性质与判定即可得出答案；
本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是掌握平行线的性质与判定．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据乘方运算，可得幂，根据开方运算，可的算术平方根．
本题考查了算术平方根，先求出幂，再求出算术平方根．
 

12.【答案】
 

【解析】解：
解方程组得，
因为方程组的解也是二元一次方程的解，
所以，
解得．
故答案为．
先用含的式子表示、，根据方程组的解也是二元一次方程的解，即可求得的值．
本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解决本题的关键是用含的式子表示、．
 

13.【答案】变小
 

【解析】解：小颖的成绩和其他人的平均数相同，都是分，
该班人的测试成绩的平均分为分，方差变小，
故答案为：变小．
根据平均数，方差的定义计算即可．
本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】
 

【解析】解：当输入的值为时，输出的的值为，即，
所以，
当时，，
故答案为：．
根据数值转换机当输入的数为时，求出的值，再输入进行计算即可．
本题考查函数值，理解数值转换机的运算程序是解决问题的前提，求出的值是正确解答的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，而，，
，
是的角平分线，

又为高线，
，而，
，
．
故答案为：．
根据三角形内角和定理得到，而，，可求得，根据的角平分线的定义得到，而为高线，则，而，于是，然后利用计算即可．
本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为也考查了角平分线的定义．
 

16.【答案】
 

【解析】解：连接，

点和关于对称，
，
在以圆心，为半径的圆上，
当，，三点共线时，最短，
，
，
故答案为：．
当，，三点共线时，线段的长度最小，求出此时的长度即可．
本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质，圆的性质，关键是要考虑到点在以为圆心，为半径的圆上．
 

17.【答案】解：原式

；
原方程组化为，
得，
解得，
把代入得，
解得，
所以原方程组的解为．
 

【解析】先把化为，再利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可；
先把原方程组化为，然后利用加减消元法解方程．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组．
 

18.【答案】   
 

【解析】解：该班学生总人数为人，
捐书册的人数为人，捐书册的人数为人，
补全条形统计图如下：
  
故答案为：；
中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据均为册，
这组数据的中位数为册，
数据出现的次数最多，有个，
众数为册，
故答案为：、；
估计该校八年级学生本次捐赠图书为册的学生人数：人．
从两个统计图中可知，捐“册”书的人数是，人，占调查人数的，根据握频率即可求出调查人数，再根据相应的百分比求出相应的人数；
根据各组的频数，补全条形统计图；
用总人数乘捐“册”书的学生占调查人数的百分比，即可求出八年级学生本次捐赠图书为册的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率是正确解答的关键．
 

19.【答案】解：作出关于轴对称的如图所示．

关于轴的对称点的坐标为：．
，
设点的坐标为，
则，
解得或，
点的坐标为或．
 

【解析】分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
先求出的面积，设点的坐标为，根据题意得出，解之即可得出答案．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
 

20.【答案】解：由题意得：，，，，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
过作，交的延长线于，如图所示：
则，
，
由得：，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
．
公园与小明家的距离为．

 

【解析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证是等腰直角三角形，，则，进而可以解决问题；
过作，交的延长线于，证≌，得，，再由勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】解：设每名熟练工每月可以按装辆电动汽车，每名新工人每月可以按装辆电动汽车，
依题意，得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以按装辆电动汽车，每名新工人每月可以按装辆电动汽车．
设还需要招聘名新工人才能完成一个月的生产计划，
依题意，得：，
解得：．
答：还需要招聘名新工人才能完成一个月的生产计划．
 

【解析】设每名熟练工每月可以按装辆电动汽车，每名新工人每月可以按装辆电动汽车，根据“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设还需要招聘名新工人才能完成一个月的生产计划，根据工作总量工作效率人数结合计划一个月生产辆，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

22.【答案】乙 
 

【解析】解：由函数图象可知甲跑完全程需要分钟，乙跑完全程需要分钟，所以乙先到达终点；
甲的速度 米分钟．
故答案为：乙；．

设甲跑的路程米与时间分钟之间的函数关系式为，
根据图象，可得，
设甲乙相遇后即 ，乙跑的路程米与时间分钟之间的 函数关系式为：．
根据图象，可得，
解得，
答：甲与乙在分钟时相遇；

设此时起跑了分钟，
根据题意得，
解得．
答：在甲、乙相遇之前，分钟时甲与乙相距米．
依据函数图象可得到两人跑完全程所用的时间，从而可知道谁先到达终点，依据速度路程时间可求得甲的速度；
先求得甲的路程与时间的函数关系式，然后求得 时，乙的路程与时间的函数关系式，最后，再求得两个函数图象交点坐标即可；
根据题意列方程解答即可．
本题主要考查的是一次函数的应用，求得甲、乙两人路程与时间的函数关系式是解题的关键．
 

23.【答案】解：，理由如下：
， 已知 
 两直线平行，内错角相等  
又， 已知 
 等量代换 
 同位角相等，两直线平行 ；
，
，
．
是的平分线，
．
，
．
．
，
，
．
．
，
．
．
是的平分线．
 

【解析】首先根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可证得，进而证明，根据同位角相等，两直线平行，即可证得；
根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求得的度数，然后根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求得的度数，从而判断；
在直角中，求得的度数，然后求得的度数，即可证得．．
本题主要考查了平行线的性质和判定的运用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
 

24.【答案】证明：，是高，
，，
，
是角平分线，
，
，
；
解：，，
，
为的角平分线，
，
为边上的高，
，
，
又，，
；
证明：、、三点共线   、为角平分线，
，
又，
，
，，，
，
．
．
 

【解析】由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论；
由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解；
由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解．
本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：直线：交轴于点，
．
．
直线：；

由得：．

，

．
当时，；
当时，；

当时，，
解得，
点，
，
，
，
如图，，，
过点作轴于点，
，，
，
在与中，
，
≌．
．
．
；
如图，是等腰直角三角形，
，
，
以点为直角顶点作等腰直角，点的坐标是或．
当时，，可得，
同法可得或．
综上所述，满足条件的点坐标为或或或．
 

【解析】将代入得到；
由两直线交点的求法得到点的坐标；易得线段的长度，所以根据三角形的面积公式即可得到结论；
根据三角形的面积公式列方程求得，于是得到点，推出．
第种情况，如图，过点作轴于点根据全等三角形的性质得到，于是得到；
第种情况，如图根据全等三角形的性质得到，于是得到；
第种情况，当点在点下方时，得到或．
本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法确定一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，正确的作出图形是解题的关键．