2022黄山高三下学期第二次质量检测（二模）数学（理）含答案

黄山市2022届高中毕业班第二次质量检测

数学（理科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.

4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷（选择题  满分60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）

1．已知集合，则

A．    B．    C．     D．

2．已知复数满足，则的虚部为

A．              B．          C．           D．

3. 已知函数，且，则实数的取值范围为

   A.       B.         C.      D.

4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为

   A.               B.    

C.               D.

5. 赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形组成)，如图(1)类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与

空白部分面积之比为

A.           B.      

C.            D.

6．函数

的部分图象如图所示，为了得到的图象，

需将函数的图象至少向右平移

（   ）个单位长度．

A.    B.    C.   D.

7. 将三项式展开，得到下列等式：

广义杨辉三角形

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，

其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第行共有个数.则关于的多项式

的展开式中，项的系数

A.               B．    

C．              D．

8. 若圆关于直线对称,动点在直线上,过点引圆的两条切线、,切点分别为、.则直线恒过定点,点的坐标为

A.            B.          C.            D.  

9．已知抛物线的准线为:,为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于、两点，过作的垂线，垂足分别为，若，则的面积为

A．     B．     C．     D．

10.已知数列满足,设的前项和为,则

的值为

A.     B.     C. 2      D. 1

11.如图，长方体中，,

设点是棱上的动点，在该长方体对角线上随机取一点

，则成立的概率为

A.      B.           C.          D.

12.不等式在上恒成立，则实数的取值范围是

A.      B.      C.     D.

第Ⅱ卷（非选择题   满分90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）

13. 已知，，且向量与的夹角为，则向量的模为         .

14. 已知不等式组表示的平面区域是一个三角形区域，则该三角形区域的

面积为           .

15. 圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点.光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另

一个焦点射出.已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线：的图象以直线为

对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与的交点到中心的距离为            .

16. 设的内角的对边分别为，且满足

，其中，若，则面积的取值范围为              .

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）

17.（本小题满分10分）

已知等差数列和等比数列满足，若数列的前项和为，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列满足：，求数列的前n项和.

18.（本小题满分12分）

如图，侧面水平放置的正三棱台，，且侧棱长为.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）证明：函数有两个极值点.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设B，C是椭圆E上异于下端点A的两点，且|AB|=|AC|，若BC 的中点为G ，求点G的轨迹方程.

21.（本小题满分12分）

“红五月”将至,学校文学社拟举办“品诗词雅韵,看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有2道“是非判断” 题和4道“信息连线”题，其中4道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景(如诗词题名、诗词作者等),要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为:电脑随机同时给出2道“是非判断”和4道“信息连线”题,要求参赛者全都作答,若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.

（1）设甲同学参加个人晋级赛,他对电脑给出的2道“是非判断” 题和4道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对,其余的4题只能随机作答,求甲同学晋级成功的概率.

（2）已知该校高三（1）班共有47位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为X.

（i）问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由.

（ii）求随机变量X的方差.

考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,以轴正半

轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(其中).

（1）若点的直角坐标为,且点在曲线围成的区域内（不含边界）,求实数的取值范围；

（2）若,当变化时,求直线被曲线截得的弦长的取值范围.

23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的图象与轴围城的三角形面积大于，求的取值范围.

黄山市2022届高中毕业班第二次质量检测

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.          14.           15. 2          16.

三、填空题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）

解:（1）由①，

可得（）②，

由①②得（）  …………………………………2分

又也符合上式，所以，

由得，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则有

，

令，有，

令，有  …………………………………4分

解得，或者

取，有，检验得（舍去）

所以，；  …………………………………………6分

（2）由得   …………………………7分

所以

则

两式相减得，   ………9分

   ………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）延长三条侧棱交于一点O.

由于，则为的中位线.

又侧棱长为，所以.

所以，于是

同理可得

因为是平面内两条相交直线.

所以,即平面.  …………………6分

（2）由（1）可知两两垂直，所以可以以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图所示）.

则.  …………………7分

设平面的一个法向量为

即平面的一个法向量为   ……9分

取平面平面的一个法向量为  ……10分

   ……………………………………11分

由于二面角为钝角，则其余弦值为.   …………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）由题可知

因为  ……………………1分

所以当时，；

当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增  ………………………………3分

则.  ………………………………………………………………………4分

（2），.

令，则 ，

令，，则，所以在上单调递减.

又因为，，所以存在，使得

即，当时，，当时，，

所以  在上单调递增，在上单调递减.

即在上单调递增，在上单调递减.  ………………………………8分

所以，  …………………………………………9分

又，

，

所以存在，，使得.   ………………………11分

且当时，，当时，，当时，，所以在处有极小值，在处有极大值，有两个极值点.   ………12分

说明：第2小题最后一步，如果考生利用极限证明，不扣分，简要过程如下：

（同前）所以在上单调递增，在上单调递减.

即在上单调递增，在上单调递减，所以

，

又当时，

当时，（这两个极限非常明显）  …………11分

所以存在，，使得

且当时，，当时，，当时，，所以在处有极小值，在处有极大值，有两个极值点.   ……………12分

20．（本小题满分12分）

【解析】（1）由题意得解得

所以椭圆的方程为．  ……………………………………4分

(2)由（1）可得

若 轴，不符合题意；

若与轴不垂直，设直线BC的方程为，

代入并整理，得

一方面，必须；

另一方面，设，，则， ……………………5分

设的中点 ，则 ，

且 ，  ………………………………………………6分

①当时，轴，由对称性可得点G在椭圆的短轴上.  ………………………7分

②当时，由AG⊥BC ，得，

则即 ，化简得，  …………………………9分

代入，解得．

所以 ，   ……………………………………………………………10分

，则.    ………………………11分

故点（）在定直线上运动．

综上所述，点G轨迹方程为或.   ……12分

注意：第2小题解法二：由（1）可得

①若 轴，不符合题意；  ……………………………………………………………5分

②当轴，由对称性可得点G在椭圆的短轴上，即点G的轨迹为短轴（不含端点）．  …………………………………………………………………………………………………7分

③若与坐标轴都不垂直时，设，，的中点，

则，又，

.  …………………………………………………9分

.   …………………………………………10分

由于点G在椭圆内部，所以.   …………………11分

综上所述，点G轨迹方程为或.   ………12分

21．（本小题满分12分）

0.

②事件C=“共答对五道”，即答错余下的是非判断题，答对余下的三道信息连线题，则

③事件D=“共答对六道”， 即答对余下的四道问题，

所以.  …………………………………………………5分

（2）（i）由题可知，

设最大.  …………………………………………………7分

则………8分

所以X最有可能的取值为19或20.    ……………………………………………………10分

（ii）由题可知，.   ……………………………………………………11分

所以.   ……………………………………………………12分

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 

解：（1）将代入曲线的极坐标方程得. ………2分

由于点在曲线的内部, ∴.  ………………………………4分

解得. ……………………………………………………………………………5分

（2）由于直线的参数方程为 (其中为参数)，则其极坐标方程为. ……………………………………………………………………………4分

将其代入曲线的极坐标方程整理得，

设直线与曲线的两个交点对应的极径分别为，则，. …………………………………………………………………………………………………6分

则直线被曲线截得的弦长为

…………………………………………………………………………………………………8分

因为，∴.

即直线被曲线截得的弦长的取值范围是.   ………………………………10分

23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 

解：（1）当时化为，

当时，不等式化为，解得，无解；

当时，不等式化为,解得；

当时，不等式化为，解得

所以的解集为.  …………………………………………5分

（2）由题设可得， ……………………………………6分

由于，所以函数的图象与轴围成的封闭图形是三角形，它的三个顶点分别为，，，

∴面积为  ……………………………9分

由题设得，

解得

所以的取值范围为.   …………………………10分