2021西藏林芝市、日喀则市高三下学期第一次联考数学（理）含答案

林芝-日喀则2020-2021学年第二学期高三第一次联考

理科数学 试卷

考试时间：120分钟   分值：150分 

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1.已知集合，，则＝（    ）

A．   B.    C．    D．

2.已知为虚数单位，，若是纯虚数,则的值为（    ）

A. -1或1          B. 1             C. -1              D. 3

3.设，则“”是“直线与直线平行”

的 (     ) 条件．

A．充分不必要     B．必要不充分     C．充要          D．既不充分也不必要

4.中，点为上的点，且，若，则的值是（    ）

A．1           B．             C．          D．

5.是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的基站海拔米．从全国范围看，中国发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有个工程队共承建万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（    ）

A．      B．        C．          D．

6.已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为（    ）

A．    B．    C．   D．

7.三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱的长为  （    ）

A.          B.

C.           D.

8.若有下列四个不等式：①；②③；④则下列组合中全部正确的为（    ）

A．①②  B．①③  C．①④  D．②③

9.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的单调递增区间是（     ）

A． B．

C． D．

10.在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自身的特点，决定按一下方法选课:①外语可选英语或日语，②若选历史，则政治和地理至多选一科，③物理和日语最多只能选一个，则这个同学可能的选课方式共有（   ）

A. 6种   B. 11种  C. 12种   D. 16种

11.已知点为抛物线的焦点，点、在该抛物线上且位于轴的两侧， =2（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（    ）

A．2             B．3  C．     D．

12．设分别是函数和的零点(其中),则的取值范围为（    ）

A.    B.  C.  D.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）。

13.二项式的展开式中的系数是_________.（用数字作答）．

14.已知随机变量服从正态分布，且，则______.     

15.设，则的最小值为_________.   

16.已知四棱锥的底面是矩形，其中，侧棱底面，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为___________.

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17——21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）。

17.(本小题满分12分）

在 中，内角的对边分别为 ，已知 .

（1）求的值；

（2）若 ，求的面积.

18.(本小题满分12分）

如图，在四面体中，

，二面角是直二面角，

为的中点,点为线段上一点，且.

（1）求证：平面;

（2）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余         弦值.

19.(本小题满分12分）

已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，直线与椭圆交于两点，若直线均与圆    相切，求的值．

20．（本小题满分12分）

武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.

（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：

现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求；

（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2021年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2011到2020这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：

以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.

该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：

若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2021年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？

21．（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若，求的极值；

（2）若，求正实数的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]

已知在直角坐标系中,曲线的参数方程为，以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）在曲线上是否存在一点,使点到直线的距离最小？若存在,求出距离的最小值及点的直角坐标；若不存在,请说明理由．

23.（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲] 

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意恒成立，求的取值范围．

林芝-日喀则2020-2021学年第二学期高三第一次联考

理科数学 参考答案

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.   280  ， 14.      ， 15.    ， 16.     

三、解答题（共70分）

17.(本小题满分12分）

解：（1）由正弦定理得，

所以                          …………1分

即                …………2分

即有，                                     …………3分

即                                                    …………4分

所以                                                      …………6分

（2）由（1）知，即，又因为 ，所以由余弦定理得：

，即，解得,     …………8分

所以，又因为，所以 ，                    …………10分

故的面积为=.                   …………12分

18. (本小题满分12分）

解：（1）证明：,为的中点                 ……………1分

又因为直二面角即平面平面,平面平面

平面                                                   ………2分

平面                                        ………3分

又因,,平面,平面,

平面                                                    ………5分

（2） 连接，为的中点

.由(1)平面

可以分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图。                                             …………6分

又

，

                         …………7分

由(1)可知平面,为平面的一个法向量,        ………8分

设平面的一个法向量为，则  …………9分

,可取      …………10分

设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则

                                          …………11分

                               …………12分

19. (本小题满分12分）

解：（1）抛物线的焦点为，
则椭圆的焦点为，，即，                                    …………1分

点在椭圆上，
由椭圆的定义可得，         …………2分

即 ，                                            …………3分

则椭圆方程为；                                                 ………5分

（2）由在轴上，直线均与圆相切，
可得，                                                    …………6分

设，则 ，                            …………7分

即有，
由，，
可得，①                                   …………8分

由直线代入椭圆方程可得，                 …………9分

判别式显然成立，
，，                                     ………10分

代入①，可得，                    …………11分

解得．                                                           …………12分

20.（本小题满分12分）

解：（1）年龄在内的游客人数为150，年龄在内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在内的人数为6人，年龄在内的人数为4人.

可得                                                 .…………3分

（2）①当投入1艘型游船时，因客流量总大于1，则（万元）.         …………4分

②当投入2艘型游船时，

若，则，此时；     …………5分

若，则，此时；      …………6分

此时的分布列如下表：

此时（万元）.                                      …………7分

③当投入3艘型游船时，

若，则，此时；          …………8分

若，则，此时；      …………9分

若，则，此时；                    …………10分

此时的分布列如下表：

此时（万元）.                                …………11分

由于，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大.                                                                          …………12 分

21.（本小题满分12分）

解：（1）因为，则函数定义域为， ，          ……………2分

若，则，在单调递减；              ………………3分

若，则，单调递增， ……………………4分

所以当时，的极小值为，无极大值；………5分

（2）法1： ，则，   ……………6分

由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，

所以，所以，

                              ………………………7分

令，，

………………8分

令 ，，

恒成立，所以

所以恒成立，                              ……………………………9分

所以；；；

则                               …………………10分

所以，当且仅当时等号成立。   ……………11分

所以，正实数的取值范围为.                            …………12分

法2：由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，

所以，所以，                  ……………………6分

因为，

所以，所以，（*），………7分

令，，

则

，

因为，所以，

①若，则，

当时，则，所以在单调递增，

当时，则，所以在单调递减，

所以，                                ……………8分

又因为，且和都在处取得最值，

所以当，解得，所以，       ………………9分

②若，则，

当时，，在单调递减；

当时，，在单调递增；

当时，，在单调递减，           ………………10分

所以，与（*）矛盾，不符合题意，舍去      ………………11分

综上，正实数的取值范围为                        ……………12分

22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 

解：（1）曲线的参数方程为,

普通方程为,                                      …………2分
直线的极坐标方程为,, 所以，         ………3分

因为                                            …………4分

所以直线直角坐标方程为；                                …………5分
（2）设点坐标为,
点到直线的距离,           ……………7分
当,即时,                      ……………8分

取最小值,                            ……………9分
此时，点的直角坐标.                                    ……………10分

23.（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲] 

解：（1）当时，原不等式等价于，解得，所以       …1分

当时，原不等式等价于，解得，

所以此时不等式无解                                                       ……………2分  

当时，原不等式等价于，解得，所以       ……3分

综上所述，不等式解集为．                                        ………………5分

（2）由，得，

当时，恒成立，所以；                                    ………………6分

当时，．          ……7分

因为             ………………8分

当且仅当即或时，等号成立，    ……………9分

所以，；

综上，的取值范围是．                                  ………………10分