高考专题2 培优点10 平面向量“奔驰定理”（学生版）

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定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
【典例】 (1)已知点A，B，C，P在同一平面内， eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(QR,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(QB,\s\up6(→))， eq \(RP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(RC,\s\up6(→))，则S△ABC∶S△PBC等于( )
A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6
(2)已知点P，Q在△ABC内，eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(QA,\s\up6(→))＋3eq \(QB,\s\up6(→))＋5eq \(QC,\s\up6(→))＝0，则eq \f(|P\(Q,\s\up6(→))|,|A\(B,\s\up6(→))|)等于( )
A.eq \f(1,30) B.eq \f(1,31) C.eq \f(1,32) D.eq \f(1,33)
(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q， eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(QC,\s\up6(→))＝neq \(BC,\s\up6(→))，则n的值为________．
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1．点P在△ABC内部，满足eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为( )
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为( )
A.eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B.eq \f(4,9)，eq \f(2,9) C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D.eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
3.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为eq \f(1,2)，x，y，则x＋y的最大值是________．