高考专题6 培优点18 隐圆问题（教师版）

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隐圆问题近几年在各地模考和高考的填空题和解答题中都出现过，难度为中、高档题．在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．
【典例】1 (1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)，且m>0.若圆C上存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值是( )
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】 B
【解析】 如图所示，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的半径为1，|OC|＝5，所以圆C上的点到点O距离的最大值为6，最小值为4，由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，连接OP，故|PO|＝eq \f(1,2)|AB|＝m，故4≤m≤6.所以m的最大值是6.
(2)在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝1交x轴于A，B两点，且点A在点B的左侧，若直线x＋eq \r(3)y＋m＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则m的取值范围为________．
【答案】 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，1))
【解析】 由题意得A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，
则由|PA|＝2|PB|，得
eq \r(x＋12＋y2)＝2eq \r(x－12＋y2)，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,3)))2＋y2＝eq \f(16,9)，
因此圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,3)))2＋y2＝eq \f(16,9)与直线x＋eq \r(3)y＋m＝0有交点，即 ≤eq \f(4,3)，解得－eq \f(13,3)≤m≤1.
故m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，1)).
【典例】2 (1)在平面直角坐标系xOy中，点A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，则点P的横坐标的取值范围是( )
A．[0，eq \r(2)] B．[－5eq \r(2)，1]
C．[－eq \r(2)，eq \r(2)] D．[－2,0]
【答案】 B
【解析】 设P(x，y)，由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20可得
(x＋6)2＋(y－3)2≤65，
则点P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝50，,x2＋y2＋12x－6y＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝－5.))
结合图形(图略)可知－5eq \r(2)≤x≤1.
(2)已知等边三角形ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－2λ＋1＝0的点P恰有两个，则实数λ的取值范围是________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(1,2)))
【解析】 如图，以AB的中点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－2λ＋1＝0，即为(－1－x)(1－x)＋y2－2λ＋1＝0，化简得x2＋y2＝2λ(λ>0)，故所有满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－2λ＋1＝0的点P在以O为圆心，eq \r(2λ)为半径的圆上．过点O作OM⊥AC，垂足为点M，由题意知，线段AC与圆x2＋y2＝2λ有两个交点，所以|OM|1，解得a0，所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
3．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝eq \r(2)|PT|，则实数k的取值范围是______________．
【答案】 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(7),7)，\f(3\r(7),7)))
【解析】 由题意知A(－2,0)，C(2,0)，设P(x，y)，
则由|PA|＝eq \r(2)|PT|，得|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，
故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，
化简得(x－6)2＋y2＝36，
所以满足|PA|＝eq \r(2)|PT|的点P在以(6,0)为圆心，6为半径的圆上，
由题意知，直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，所以d＝eq \f(|8k|,\r(k2＋1))≤6，解得－eq \f(3\r(7),7)≤k≤eq \f(3\r(7),7).
4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0,2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________．
【答案】 [0,3]
【解析】 设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10，
可得x2＋(y－1)2＝4，
∴M点在圆x2＋(y－1)2＝4上，
故圆x2＋(y－1)2＝4和圆(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1相交或相切，∴1≤eq \r(a2＋a－32)≤3，∴0≤a≤3.